四面体 是由四个三角形 面 组成的多面体 ，每两个三角形都有一个共同的边，每三个三角形都有一个共同的顶点 。四面体也可以视为由四个三角形合成的角锥 ，底面为三角形，可以任一面为底 ，因此又称为三角锥 [ 1] 三棱锥 [ 2] 正四面体 、锲形体 等种类，由四个全等的正三角形 组成的四面体称为正四面体 。四面体也可以依角的类型分为锐角四面体 、钝角四面体 、和直角 四面体。
四面体是欧几里德 单纯形 在三维空间 中的特例。
四面体是目前已知两种每个面都与其他所有面相邻的多面体之一，另外一种是希洛西七面体 。[ 3] [ 4]
四面体也是锥体的一种。锥体是指将某个平面上的多面体的所有顶点分别和平面外的一点以线段连接后构成的多面体。按锥体的分类方法，所有四面体都是由某平面上的三角形和平面外一点构成的锥体，所以四面体也被称为三角锥 。[ 1] [ 2]
与所有的凸多面体一样，四面体可以由某个平面图形（展开图 ）折叠而成。这样的展开图通常有两种。
与三角形类似，任何四面体的四个顶点都在同一个球面 上。这个球称为四面体的外接球 。同样地，存在一个与四面体的四个面都相切的球，称为四面体的内切球 。
四面体具有许多与之二维类比三角形相似的性质，例如，像三角形一样，四面体也有内切球、外接球、旁切球和中点四面体。四面体也有各种不同几何意义上的中心，例如内心、外心、旁心、Spieker心 （ 英语 ： Spieker circle ） 九点圆 的三维类比，但它并不总是通过原四面体高的垂足。
加斯帕尔·蒙日 发现了存在于每一个四面体中的一个特殊中心，现在被命名为蒙日点 ：它是四面体六个中位面的交点。四面体的中位面被定义为一个与四面体其中两个顶点连成的边垂直，并且包含由另外两个顶点连成的对边的中点的平面。如果四面体的4条高交于了一点，形成了垂心，那么蒙日点将与垂心重合，并且这样的特殊四面体被称为“垂心四面体 （ 英语 ： Orthocentric tetrahedron ）
从蒙日点引向任意一面的垂线都会交这个面于这个三角形面的垂心与此面上四面体的高的垂足连线的中点。
四面体顶点和其对面形心 的连线叫做四面体的中线 ，而四面体一条边中点和其对边中点的连线叫做四面体的双中线 ，这样，四面体中一共有4条中线和3条双中线。这7条线段都是共点 的，它们的交点即是四面体的形心 。四面体的形心是其蒙日点和外心连线的中点，这3个点一起决定了四面体的欧拉线 ，这是二维三角形欧拉线 的三维类比。
四面体十二点球的球心T 也位于这条欧拉线上。但不像其二维类比，这个球心位于从蒙日点到外心1 /3 处。并且，从这个心到四面体任意一选定面的垂线与另两条垂线共面：第一条是过其对应欧拉点（即蒙日点与该面所对顶点连线与十二点球的交点）到该面的垂线，第二条是过该面形心的垂线。这条十二点心垂线到欧拉点垂线和形心垂线的距离相等。除此以外，十二点心还是四面体任何一面对应欧拉点和该面垂心连线的中点。
四面体十二点球的半径是外接球半径的1 /3 。
对于任意的四面体，我们能给出其二面角之间的关系：
| − 1 cos ( α 12 ) cos ( α 13 ) cos ( α 14 ) cos ( α 12 ) − 1 cos ( α 23 ) cos ( α 24 ) cos ( α 13 ) cos ( α 23 ) − 1 cos ( α 34 ) cos ( α 14 ) cos ( α 24 ) cos ( α 34 ) − 1 | = 0 {\displaystyle {\begin{vmatrix}-1&\cos {(\alpha _{12})}&\cos {(\alpha _{13})}&\cos {(\alpha _{14})}\\\cos {(\alpha _{12})}&-1&\cos {(\alpha _{23})}&\cos {(\alpha _{24})}\\\cos {(\alpha _{13})}&\cos {(\alpha _{23})}&-1&\cos {(\alpha _{34})}\\\cos {(\alpha _{14})}&\cos {(\alpha _{24})}&\cos {(\alpha _{34})}&-1\\\end{vmatrix}}=0\,} 这里α i j {\displaystyle \alpha _{ij}} i 和j 之间的二面角。
任意四面体 的体积 公式可由棱锥 的体积公式给出：
V = 1 3 A 0 h {\displaystyle V={\frac {1}{3}}A_{0}\,h\,} 在这里A 0 {\displaystyle A_{0}} h 是从底面到顶点的高。这个体积公式对四个任意的底面的选择都成立，因此我们可以推断出对同一个四面体，其一个面上的高与这面的面积成反比。
对于一个四个顶点分别为a = ( a 1 , a 2 , a 3 ) {\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})} b = ( b 1 , b 2 , b 3 ) {\displaystyle \mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3})} c = ( c 1 , c 2 , c 3 ) {\displaystyle \mathbf {c} =(c_{1},c_{2},c_{3})} d = ( d 1 , d 2 , d 3 ) {\displaystyle \mathbf {d} =(d_{1},d_{2},d_{3})} 1 6 ⋅ | ( a − d , b − d , c − d ) | {\displaystyle {\frac {1}{6}}\cdot |(\mathbf {a} -\mathbf {d} ,\mathbf {b} -\mathbf {d} ,\mathbf {c} -\mathbf {d} )|} 点积 和叉积 写为：
V = | ( a − d ) ⋅ [ ( b − d ) × ( c − d ) ] | 6 . {\displaystyle V={\frac {|(\mathbf {a} -\mathbf {d} )\cdot [(\mathbf {b} -\mathbf {d} )\times (\mathbf {c} -\mathbf {d} )]|}{6}}.} 如果建立恰当的坐标系统，使得原点与d {\displaystyle \mathbf {d} } d = 0 {\displaystyle \mathbf {d} =0}
V = | a ⋅ ( b × c ) | 6 , {\displaystyle V={\frac {|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|}{6}},} 这里a {\displaystyle \mathbf {a} } b {\displaystyle \mathbf {b} } c {\displaystyle \mathbf {c} } a ⋅ ( b × c ) {\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )} 标量三重积 。将这个公式与计算平行六面体 体积的公式对比，我们发现正四面体的体积等于任何与其共三条交于一顶点的边的平行六面体体积的六分之一。
这个三重积可以用下列行列式 表示：
6 ⋅ V = | a b c | {\displaystyle 6\cdot V={\begin{vmatrix}\mathbf {a} &\mathbf {b} &\mathbf {c} \end{vmatrix}}} 或者 6 ⋅ V = | a b c | {\displaystyle 6\cdot V={\begin{vmatrix}\mathbf {a} \\\mathbf {b} \\\mathbf {c} \end{vmatrix}}} 这里像 a = ( a 1 , a 2 , a 3 ) {\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})\,} 可以被表示为横或纵向量。因此
36 ⋅ V 2 = | a 2 a ⋅ b a ⋅ c a ⋅ b b 2 b ⋅ c a ⋅ c b ⋅ c c 2 | {\displaystyle 36\cdot V^{2}={\begin{vmatrix}\mathbf {a^{2}} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} \\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {b^{2}} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} \\\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} &\mathbf {c^{2}} \end{vmatrix}}} 这里 a ⋅ b = a b cos γ {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =ab\cos {\gamma }} 等。这样，我们能给出：
V = a b c 6 1 + 2 cos α cos β cos γ − cos 2 α − cos 2 β − cos 2 γ , {\displaystyle V={\frac {abc}{6}}{\sqrt {1+2\cos {\alpha }\cos {\beta }\cos {\gamma }-\cos ^{2}{\alpha }-\cos ^{2}{\beta }-\cos ^{2}{\gamma }}},\,} 这里α {\displaystyle \alpha } β {\displaystyle \beta } γ {\displaystyle \gamma } d {\displaystyle \mathbf {d} } α {\displaystyle \alpha } d {\displaystyle \mathbf {d} } b {\displaystyle \mathbf {b} } c {\displaystyle \mathbf {c} } β {\displaystyle \beta } d {\displaystyle \mathbf {d} } a {\displaystyle \mathbf {a} } c {\displaystyle \mathbf {c} } γ {\displaystyle \gamma } d {\displaystyle \mathbf {d} } a {\displaystyle \mathbf {a} } b {\displaystyle \mathbf {b} }
如果我们已知四面体四个顶点之间相互的距离，那么其体积可用Cayley–Menger行列式 （ 英语 ： Cayley–Menger determinant ）
288 ⋅ V 2 = | 0 1 1 1 1 1 0 d 12 2 d 13 2 d 14 2 1 d 12 2 0 d 23 2 d 24 2 1 d 13 2 d 23 2 0 d 34 2 1 d 14 2 d 24 2 d 34 2 0 | {\displaystyle 288\cdot V^{2}={\begin{vmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&d_{12}^{2}&d_{13}^{2}&d_{14}^{2}\\1&d_{12}^{2}&0&d_{23}^{2}&d_{24}^{2}\\1&d_{13}^{2}&d_{23}^{2}&0&d_{34}^{2}\\1&d_{14}^{2}&d_{24}^{2}&d_{34}^{2}&0\end{vmatrix}}} 这里下标i , j ∈ { 1 , 2 , 3 , 4 } {\displaystyle i,\,j\in \{1,\,2,\,3,\,4\}} { a , b , c , d } {\displaystyle \{\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} ,\mathbf {d} \}} d i j {\displaystyle d_{ij}} 塔塔利亚公式 ，被15世纪的画家皮耶罗·德拉·弗朗切斯卡 认为是极其重要的，它被看作是1世纪的三角形面积海伦公式 的三维类比。[ 5]
如果U {\displaystyle U} V {\displaystyle V} W {\displaystyle W} u {\displaystyle u} v {\displaystyle v} w {\displaystyle w} U {\displaystyle U} V {\displaystyle V} W {\displaystyle W} u {\displaystyle u} U {\displaystyle U} v {\displaystyle v} V {\displaystyle V} w {\displaystyle w} W {\displaystyle W} [ 6]
V = ( − a + b + c + d ) ( a − b + c + d ) ( a + b − c + d ) ( a + b + c − d ) 192 u v w {\displaystyle V={\frac {\sqrt {\,(-a+b+c+d)\,(a-b+c+d)\,(a+b-c+d)\,(a+b+c-d)}}{192\,u\,v\,w}}} 这里
a = x Y Z b = y Z X c = z X Y d = x y z X = ( w − U + v ) ( U + v + w ) x = ( U − v + w ) ( v − w + U ) Y = ( u − V + w ) ( V + w + u ) y = ( V − w + u ) ( w − u + V ) Z = ( v − W + u ) ( W + u + v ) z = ( W − u + v ) ( u − v + W ) . {\displaystyle {\begin{aligned}a&={\sqrt {xYZ}}\\b&={\sqrt {yZX}}\\c&={\sqrt {zXY}}\\d&={\sqrt {xyz}}\\X&=(w-U+v)\,(U+v+w)\\x&=(U-v+w)\,(v-w+U)\\Y&=(u-V+w)\,(V+w+u)\\y&=(V-w+u)\,(w-u+V)\\Z&=(v-W+u)\,(W+u+v)\\z&=(W-u+v)\,(u-v+W).\end{aligned}}} 四面体两条相对的边处于两条互相歪斜 （在三维空间中既不相交也不平行，等价于异面 ）的直线上，所以四面体相对边之间的距离就被定义为其所在互相歪斜的直线之间的距离。设d {\displaystyle d} a {\displaystyle \mathbf {a} } b − c {\displaystyle \mathbf {b} -\mathbf {c} }
V = d | [ a × ( b − c ) ] | 6 . {\displaystyle V={\frac {d|[\mathbf {a} \times \mathbf {(b-c)} ]|}{6}}.} 如果O A B C {\displaystyle OABC} O {\displaystyle O} a {\displaystyle \mathbf {a} } b {\displaystyle \mathbf {b} } c {\displaystyle \mathbf {c} } A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} C {\displaystyle C} O {\displaystyle O} a 2 {\displaystyle \mathbf {a} ^{2}} 数量积 a ⋅ a {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} } b 2 {\displaystyle \mathbf {b} ^{2}} c 2 {\displaystyle \mathbf {c} ^{2}}
r = 6 V | b × c | + | c × a | + | a × b | + | ( b × c ) + ( c × a ) + ( a × b ) | {\displaystyle r={\frac {6V}{|\mathbf {b} \times \mathbf {c} |+|\mathbf {c} \times \mathbf {a} |+|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |+|(\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+(\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )|}}\,} 外接圆半径可表示为：
R = | a 2 ( b × c ) + b 2 ( c × a ) + c 2 ( a × b ) | 12 V {\displaystyle R={\frac {|\mathbf {a^{2}} (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {b^{2}} (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+\mathbf {c^{2}} (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )|}{12V}}\,} 于是我们可知十二点圆半径为：
r T = | a 2 ( b × c ) + b 2 ( c × a ) + c 2 ( a × b ) | 36 V {\displaystyle r_{T}={\frac {|\mathbf {a^{2}} (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {b^{2}} (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+\mathbf {c^{2}} (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )|}{36V}}\,} 这里V {\displaystyle V}
6 V = | a ⋅ ( b × c ) | . {\displaystyle 6V=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|.\,} 四面体的各种中心的位置向量是：形心：
G = a + b + c 4 . {\displaystyle \mathbf {G} ={\frac {\mathbf {a} +\mathbf {b} +\mathbf {c} }{4}}.\,} 内心：
I = | b × c | a + | c × a | b + | a × b | c | b × c | + | c × a | + | a × b | + | b × c + c × a + a × b | . {\displaystyle \mathbf {I} ={\frac {|\mathbf {b} \times \mathbf {c} |\,\mathbf {a} +|\mathbf {c} \times \mathbf {a} |\,\mathbf {b} +|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |\,\mathbf {c} }{|\mathbf {b} \times \mathbf {c} |+|\mathbf {c} \times \mathbf {a} |+|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |+|\mathbf {b} \times \mathbf {c} +\mathbf {c} \times \mathbf {a} +\mathbf {a} \times \mathbf {b} |}}.\,} 外心：
O = a 2 ( b × c ) + b 2 ( c × a ) + c 2 ( a × b ) 2 a ⋅ ( b × c ) . {\displaystyle \mathbf {O} ={\frac {\mathbf {a^{2}} (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {b^{2}} (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+\mathbf {c^{2}} (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}{2\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}}.\,} 蒙日点：
M = a ⋅ ( b + c ) ( b × c ) + b ⋅ ( c + a ) ( c × a ) + c ⋅ ( a + b ) ( a × b ) 2 a ⋅ ( b × c ) . {\displaystyle \mathbf {M} ={\frac {\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )(\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} +\mathbf {a} )(\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} +\mathbf {b} )(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}{2\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}}.\,} 欧拉线上的中心之间的关系是：
G = M + 1 2 ( O − M ) {\displaystyle \mathbf {G} =\mathbf {M} +{\frac {1}{2}}(\mathbf {O} -\mathbf {M} )\,} T = M + 1 3 ( O − M ) {\displaystyle \mathbf {T} =\mathbf {M} +{\frac {1}{3}}(\mathbf {O} -\mathbf {M} )\,} 这里T {\displaystyle \mathbf {T} }
a ⋅ O = a 2 2 b ⋅ O = b 2 2 c ⋅ O = c 2 2 {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {O} ={\frac {\mathbf {a^{2}} }{2}}\quad \quad \mathbf {b} \cdot \mathbf {O} ={\frac {\mathbf {b^{2}} }{2}}\quad \quad \mathbf {c} \cdot \mathbf {O} ={\frac {\mathbf {c^{2}} }{2}}\,} 和：
a ⋅ M = a ⋅ ( b + c ) 2 b ⋅ M = b ⋅ ( c + a ) 2 c ⋅ M = c ⋅ ( a + b ) 2 . {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {M} ={\frac {\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )}{2}}\quad \quad \mathbf {b} \cdot \mathbf {M} ={\frac {\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} +\mathbf {a} )}{2}}\quad \quad \mathbf {c} \cdot \mathbf {M} ={\frac {\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} +\mathbf {b} )}{2}}.\,} 以下列表示出了对应四面体的图案，相同颜色的棱在等距同构对称变换中是等价的，而灰色则代表着条边是不同于任何另外一边的。
四面体名称 边 描述 对称性 （ 英语 ： List of spherical symmetry groups ） 弗氏 （ 英语 ： Schönflies_notation ） 考式 （ 英语 ： Coxeter notation ） 轨式 （ 英语 ： Orbifold notation ） 阶 正四面体 四个等边三角形 T d ，与对称群 S 4 同构。 T d T [3,3]+ *332 24 正三棱锥 一个等边三角形 等腰三角形 C 3v ，与对称群 S 3 同构。 C 3v 3 [3]+ *33 6 复正方锲形体 四个全等的等腰三角形 ，具有8个等距同构的对称变换。如果边(1,2)和(3,4)和另外4条边是不同颜色的，那么这8个对称变换是：单位元1、镜面反射(12)和 (34)、和(12)(34)、(13)(24)、(14)(23)的180°旋转以及非严格的(1234)和(1432)90°旋转。这些一起形成了对称群D 2d . D 2d 4 [2+ ,4]+ ,4+ ] 2*2 8 复斜方锲形体 四个全等的任意三角形 柯恩四面体群 V 4 或者Z 2 2 ，表现为点群D2 。 D2 [2,2]+ 222 4 二面体锲形体 两组全等的等腰三角形 。在此对称性下，对边(1,2)和(3,4)是垂直的，但是“颜色”不同，4个等距同构的对称变换是：1、镜面反射(12)和(34)以及(12)(34)的180°旋转。对称群是C 2v ，与柯恩四面体群 V 4 同构 C 2v D 1h [2] *22 4 单锲形体 两个不同的等腰三角形 共用一个底边。它有两对相等的边(1,3)和(1,4)、(2,3)和(2,4)，除此之外再没有相等的边。唯一两个等距同构的对称变换是：1和镜面反射(34)，对应对称群C s 又同构于循环群 Z 2 。 C s C 1h C 1v [ ] * 2 半转四面体 两组全等的任意三角形 。它有两组相等的边(1,3)和(2,4)、(1,4)和(2,3)，除此之外再没有相等的边。唯一两个等距同构的对称变换是：1和旋转(12)(34)， 对应群C 2 ，同构于循环群 Z 2 。 C 2 D 1 [2]+ 22 2 任意四面体 没有相等的边，有4个不相等的任意三角形 平凡群 。 C1 [ ]+ 1 1
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通过通常的三角形正弦定理 ，我们可以得到一个自然的推论，即在以O {\displaystyle O} A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} C {\displaystyle C}
sin ∠ O A B ⋅ sin ∠ O B C ⋅ sin ∠ O C A = sin ∠ O A C ⋅ sin ∠ O C B ⋅ sin ∠ O B A . {\displaystyle \sin \angle OAB\cdot \sin \angle OBC\cdot \sin \angle OCA=\sin \angle OAC\cdot \sin \angle OCB\cdot \sin \angle OBA.\,} 这个等式的两边可以被看作分别是顺时针取向的角的正弦乘积和逆时针取向角的正弦乘积。
通过将不同的顶点置于上式中O {\displaystyle O}
三个角能属于同一个三角形当且仅当 这三个角之和为180°（π {\displaystyle \pi } 充分必要 条件，才能使其为一个四面体表面的12个角呢？首先，我们知道，四面体4个面每个面上的3个角之和都要为180°。因为我们对于这12个角有4个这样的限制，四面体12个角的取值自由度（统计学） 从12降到了8。进一步地，四面体角的4个正弦定理又降低了自由度，但不是降到4而是降到了5，因为第4个四面体正弦定理并不是相对于前3个独立的。因此，我们只要确定了四面体12个表面角中的任意5个角，则这个四面体就被唯一确定了，因此，我们可以用五维空间 中的点来描述所有的四面体，也就是说，所有形状四面体构成的空间是五维的。
更广义地说，四面体泛指所有由四个面构成的多面体。若其在欧氏空间、实数空间、构成面都是平面且未退化的情况下仅有可能是正四面体 或三角锥 。然而在上述条件不满足的情况下，有可能可以建构出不同拓朴结构的四面体，例如皮特里立方体 ，其由4个扭歪六边形 扭歪多边形 ，无法确定其封闭范围及面积，因此无法存在体积与表面积；而退化的四面体例子如四面形 、八面体半形 和二角柱 等。
三角锥 在几何学中，三角锥是一种底面 为三角形 的锥体，这种锥体所有形式都与四面体 有相同的拓朴结构。根据角锥的定义，其由一个底面和一个顶点组成，底面的顶点与底面外的顶点相连接，形成与底面边数相同数量的三角形侧面。而三角锥是指底面为三角形的角锥，因此其会有3个侧面，合计共4个面，且皆为三角形，因此结构基本上与四面体等价，皆为由四个三角形合成的立体。由于底面和侧面皆为三角形，因此视为三角锥时，可以任一面为底，因此词汇“三角锥”与“四面体”有时会被视为同义词[ 1]
虽然“三角锥”与“四面体”有时会被视为同义词[ 1] 正四面体 则要求四个面都要是正三角形。
正三角锥 锥高较低的 正四面体 锥高较高的 斜正三角锥
作为球面镶嵌的二角柱 二角柱是指底面 为二角形 的柱体，由于其底面为二角形，因此在欧几里得空间中，其已经退化无法拥有体积。在球面几何学 中，其可以作为球面镶嵌，此时的二角柱由两个球面二角形和两个球面四边形构成，等价于二角形二面体经截角变换后的结果，因此又可称为截角二角形二面体。这种二角柱共有4个面、6条边和4个顶点，对偶多面体为双二角锥 。
双二角锥是以二角形 为底 的双锥体，为二角柱 的对偶多面体。由于其以二角形为底，因此在欧几里得空间中，其已经退化无法拥有体积。在球面几何学 中，其可以作为球面镶嵌，这种双二角锥可以视为多了两个顶点的四面形 。双二角锥由4个面、6条边和4个顶点组成，其四个面都是三角形，但拓扑结构与非退化的凸四面体不同，其中的两个顶点为对跖点 ，剩下的两个顶点位于赤道面上连结与对跖点相连的两条边。
八面体半形 八面体半形也是一种四面体，可透过将正八面体 对应映射后而获得，它有著正八面体一半的面。它也可以视为没有底面的正四角锥 ，算是一种非严格的锥体 ，换句话说，其为正八面体的一半[ 7]
四面形 （点选观看旋转模型） 类别 多面形 、均匀多面体 、球面镶嵌对偶多面体 四边形二面体 （ 英语 ： Square dihedron ） 数学表示法 考克斯特符号 （ 英语 ： Coxeter-Dynkin diagram ） 施莱夫利符号 {2,4} 威佐夫符号 （ 英语 ： Wythoff symbol ） 4 | 2 2 性质 面 4 边 4 顶点 2 欧拉特征数 F=4, E=4, V=2 （χ=2） 组成与布局 面的种类 二角形 顶点布局 （ 英语 ： Vertex_configuration ） 24 对称性 对称群 D4h , [2,4], (*224), order 16 旋转对称群 （英语 ： Rotation_groups D4 + , (224), order 16
在几何学 中，四面形是一种基底为四边形 的多面形 ，由4个月牙形或球弓形组成的球面镶嵌，并且使得每一个月牙形或球弓形共用相同的两个顶点 。其在施莱夫利符号 中用 {2,4} 表示[ 8] 二角形 组成的球面镶嵌图，又称为四阶二角形镶嵌 或四阶二边形镶嵌 。
四面形是一种退化的四面体，无法拥有体积 ，由四个二角形组成。在球面几何学 中，四面形可以在球面 上以镶嵌 的方式存在，其对偶多面体是四边形二面体 。
四面形由四个二角形组成，每个顶点都是四个二角形的公共顶点。正四面形的每个面都是正二角形，且每个顶点都是四个正二角形的公共顶点，因此正四面形也可以视为一种正多面体，但是因为其已退化，因此不会与柏拉图立体 一同讨论。
四面形具有D4h , [2,4], (*224)的对称性和D4 + 的旋转对称性，且阶数为16，在考克斯特符号中用四角柱 相同，因此四角柱 也可以视为一种与四面形相关的立体，因为四角柱 可以经由四面形透过截角变换 构造。
名称 种类 图像 符号 顶点 边 面 χ 面的种类 对称性 正四面体 正多面体 {3,3} 4 6 4 2 4个正三角形 Td （ 英语 ： Tetrahedral symmetry ） 三角锥 角锥 ( )∨{3} 4 6 4 2 1个三角形底面 C 3v , [3], (*33)二角柱 棱柱 退化 多面体t{2,2} 4 6 4 2 2个二角形 D2h , [2,2], (*222), order 8 双二角锥 双锥体 退化 多面体{ }+{2} 4 6 4 2 4个三角形 D 2h 一角反棱柱 反棱柱 退化 多面体h0,1 {2,2} 2 4 4 2 2个一角形 三角形 D1d , [2+ ,2], (2*1), order 4 四面形 多面形 退化 多面体{2,4} 2 4 4 2 4个二角形 D4h , [2,4], (*224), order 16 皮特里立方体 皮特里对偶 {4,3}π 8 12 4 0 4个正扭歪六边形 皮特里正八面体 皮特里对偶 {3,4}π 6 12 4 -2 4个正扭歪六边形 八面体半形 射影多面体 （ 英语 ： Projective polyhedron ） 抽象多胞形 （ 英语 ： Abstract_polytope ） {3,4}/23 3 6 4 1 4个正三角形 S 4 , order 24{4,4}2 ,1 环形多面体 {4,4}2 ,1 4 8 4 0 4个正方形 {6,3}2 ,1 环形多面体 {6,3}2 ,1 8 8 4 4 4个正六边形
任意非退化的四面体皆是三角锥的一种，因此与其它的锥体有相似的关连。
锥体形式镶嵌系列： 球面镶嵌 锥体 欧式镶嵌 双曲镶嵌 一角锥 1v , [1]二角锥 2v , [2]三角锥 3v , [3]四角锥 4v , [4]五角锥 5v , [5]六角锥 6v , [6]七角锥 7v , [7]八角锥 8v , [8]九角锥 9v , [9]十角锥 10v , [10]... 无限角锥 ∞v , [∞]超无限角锥 iπ/λv , [iπ/λ]
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