詹姆斯·馬克士威 馬克士威方程組 （英語：Maxwell's equations ），或稱馬克士威-黑維塞方程組 （英語：Maxwell-Heaviside equations ）[ 1] 電場 、磁場 與電荷密度 、電流密度 之間關係的偏微分方程 。該方程組由四個方程式組成，分別是描述电荷 如何产生电场的高斯定律 、表明磁单极子 不存在的高斯磁定律 、解釋时变磁场如何产生电场的法拉第感应定律 ，以及說明电流 和时变电场怎样产生磁场的麦克斯韦-安培定律 。馬克士威方程組是因英国物理学家詹姆斯·馬克士威 而命名。馬克士威在19世紀60年代構想出這方程組的早期形式。[ 2]
在不同的領域會使用到不同形式的馬克士威方程組。例如，在高能物理學 與引力物理學 裏，通常會用到時空表述 的馬克士威方程組版本。這種表述建立於結合時間與空間在一起的愛因斯坦 時空 概念，而不是三維空間與第四維時間各自獨立展現的牛頓絕對時空 概念。[ 3] :1ff 愛因斯坦的時空表述明顯地符合狹義相對論 與廣義相對論 。[ 註 1] 量子力學 裏，基於電勢 與磁勢 的馬克士威方程組版本比較獲人們青睞。[ 4] :33
自從20世紀中期以來，物理學者已明白馬克士威方程組不是精確规律，精確的描述需要藉助更能顯示背後物理基礎的量子電動力學 理論，而馬克士威方程組只是它的一種經典場論 近似。儘管如此，對於大多數日常生活中涉及的案例，通過馬克士威方程組計算獲得的解答跟精確解答的分歧甚為微小。而對於非經典光 、雙光子散射 、量子光學 與許多其它與光子 或虛光子 相關的現象，馬克士威方程組不能給出接近實際情況的解答。[ 4] :1 [ 5] :9-13
從馬克士威方程組，可以推論出光波 是電磁波 。馬克士威方程組和勞侖茲力方程式 是經典電磁學 的基礎方程式。得益于這一組基礎方程式以及相關理論，許多現代的電力科技與電子科技得以被發明并快速發展。
馬克士威方程組是由四個一階線性偏微分方程 共同組成。[ 6] :326-333 雖然一階與線性都是良好的數學性質，除了具有高度對稱性 的案例以外，通常找不到它的解析解 ，因此必須使用數值方法來找到它的數值解 。但由於電動力學是一種線性理論 ，可以利用疊加原理 來求解。[ 註 2] [ 5] :9-13 [ 7]
高斯定律 描述電場是怎樣由電荷生成。電場線 開始於正電荷，終止於負電荷。從估算穿過某給定閉曲面 的電場線 數量，即電通量 ，可以得知包含在這閉曲面內的總電荷。更詳細地說，該定律描述穿過任意閉曲面的電通量 與這閉曲面內的電荷數量之間的關係。[ 8] :190-195
根據高斯磁定律 ，磁場線沒有初始點也沒有終止點，而是形成迴圈或延伸到無窮遠。示意圖展示由流動於圓環導體的電流所形成的磁場線。 高斯磁定律 表明，磁單極子 （磁荷）並不存在於宇宙。在實驗方面，物理學者迄今仍尚未發現磁單極子存在的明確證據。[ 9] 偶極子 的位形所生成。磁偶極子 最好是用電流迴路來表示。磁偶極子好似不可分割地被束縛在一起的正磁荷和負磁荷，其淨磁荷為零。磁場線 沒有初始點，也沒有終止點。磁場線會形成迴圈或延伸至無窮遠。換句話說，進入任何區域的磁場線，也必須從那區域離開。以術語來說，通過任意閉曲面的磁通量 等於零，磁場是一個螺線向量場 。[ 8] :201-203
部分学者[ 5] :237-238 [ 6] :321 认为这个定律没有名字或称之为无自由磁单极子定律 。
法拉第感應定律 描述時變磁場怎樣感應出電場。電磁感應 是許多發電機 的運作原理。例如，一塊旋轉的條形磁鐵 會產生時變磁場，這又會生成電場，使得鄰近的閉迴圈因而感應出電流。[ 10] :134 。[ 6] :294-300
馬克士威-安培定律 闡明，磁場可以用兩種方法生成：一種是靠電流（最初安培定律 描述的方法）產生，另一種是靠隨時間變化的電場（馬克士威修正項描述的方法）產生。在電磁學裏，馬克士威修正項意味著時變電場可以生成磁場，而由於法拉第感應定律，時變磁場又可以生成電場。這樣，如果時變電場恰好產生變磁場，則根據這兩個方程式，這種相互產生的電場和磁場（即電磁波）將可以自我持續在空間里傳播（更詳盡內容，請參閱條目電磁波方程式 ）。[ 8] :199-201
這裏展示出馬克士威方程組的兩種等價表述：微觀表述與宏觀表述。
微觀表述專門計算在真空 中原子尺度的有限源電荷與有限源電流所產生的電場與磁場。物質可以視為由點電子與點原子核所組成，而內部其它大部分空間都是真空。但是，由於電子與原子核的數量很大，實際而言，無法一一納入計算。事實上，古典電磁學 也不需要過度精確的答案。使用微觀馬克士威方程組有兩個主要目的，一是推導出宏觀馬克士威方程組，二是從原子性質估算出宏觀物質參數，例如電容率 、磁導率 等等。微觀表述可以給出很多宏觀表述所無法給出的極具價值的信息。[ 11] :1-2
宏觀表述不將物質內部的原子結構納入考量，而是將物質視為一種連續性介質，其性質決定於電容率 、磁導率 等等宏觀物質參數。從做實驗可以獲得宏觀物質參數與物質的本質、密度、溫度等等的關係。宏觀馬克士威方程組可以用來預測帶電粒子、電場與磁場的平均性質。採用這種表述會使得在介電質或磁化物質內各種物理計算更加簡易。[ 5] :248-249 [ 11] :1-2
採用不同的單位制，馬克士威方程組的形式會稍微有所改變，大致形式仍舊相同，只是不同的常數會出現在方程式內部不同位置。國際單位制 (SI)是最常使用的單位制，在工程學 、化學領域大多都採用這種單位制，大學物理教科書也幾乎都使用這種單位制。其它常用的單位制有高斯單位制 、洛伦兹-亥维赛单位制 和普朗克單位制 。由厘米-克-秒制 衍生的高斯單位制，比較適合於教學用途，能夠使得方程式看起來更簡單、更易懂。[ 12] [ 13] 稍後 會詳細闡述高斯單位制。勞侖茲-黑維塞單位制也是衍生於厘米-克-秒制 ，主要用於粒子物理學 。[ 14] :9 普朗克單位制 是一種自然單位制 ，其單位都是根據大自然 的性質定義，不是由人為設定。普朗克單位制 是研究理論物理學 非常有用的工具，能夠在理論論述裏給出很大的啟示。[ 5] :775 [ 15]
在本條目中，除非特別指出，所有方程式都採用國際單位制 。
這種形式的馬克士威方程組又稱為「微觀馬克士威方程組」，可以用來推導出宏觀馬克士威方程組，也可以用來找出原子性質與宏觀性質兩者之間的關聯。[ 11] :1, 4 [ 5] :2, 248
這種形式的馬克士威方程組又稱為「宏觀馬克士威方程組」，特別適用於描述在介电质 中的電磁性質，稍後 會有更詳細論述。[ 11] :1 [ 5] :2, 248
以下表格給出每一個符號所代表的物理意義，和其單位：
在經典電磁學 裏，微觀尺度指的是系統尺寸的數量級大於10−14 公尺的尺度範圍。滿足微觀尺度，電子和原子核可以視為點電荷 ，微觀馬克士威方程組成立；否則，必需將原子核內部的電荷分佈納入考量。在微觀尺度計算出來的電場與磁場仍舊變化相當劇烈，空間變化的距離數量級小於10−10 公尺，時間變化的週期數量級在10−17 至10−13 秒之間。因此，從微觀馬克士威方程組，必需經過經典平均運算，才能得到平滑、連續、緩慢變化的宏觀電場與宏觀磁場。宏觀尺度的最低極限為10−8 公尺。這意味著電磁波 的反射 與折射 行為可以用宏觀馬克士威方程組來描述。以這最低極限為邊長，體積為10−24 立方公尺的立方體大約含有106 個原子核和電子。這麼多原子核和電子的物理行為，經過經典平均運算，足以平緩任何劇烈的漲落 。根據可靠文獻記載，經典平均運算只需要在空間作平均運算，不需要在時間作平均運算，也不需要考慮到原子的量子效應 。[ 5] :248-249
經典平均運算是一種比較簡單的平均程序，給定函數F ( r , t ) {\displaystyle F(\mathbf {r} ,t)}
F ( r , t ) = ∫ V w ( r ′ ) F ( r − r ′ , t ) d 3 r ′ {\displaystyle F(\mathbf {r} ,t)=\int _{\mathbb {V} }w(\mathbf {r} ')F(\mathbf {r} -\mathbf {r} ',t)\ \mathrm {d} ^{3}r'} 其中，V {\displaystyle \mathbb {V} } w ( r ′ ) {\displaystyle w(\mathbf {r} ')} 權重函數 。
很多函數都可以選為優良的權重函數，高斯函數 正是一例：
w ( r ) = 1 ( π R 2 ) 3 / 2 e − r 2 / R 2 {\displaystyle w(\mathbf {r} )={\frac {1}{(\pi R^{2})^{3/2}}}e^{-r^{2}/R^{2}}} 最早出現的馬克士威方程式和其相關理論是為宏觀物質設計的，是一種現象學 。在那時候，物理學者並不清楚造成電磁現象的基本原因。後來，按照物質的粒子繪景，才推導出微觀馬克士威方程式。二十世紀前半期，在量子力學、相對論、與粒子物理學領域的突破與發展，其嶄新理論與微觀馬克士威方程組相結合，成為建立量子電動力學 的關鍵基石。這是物理學中最準確的理論，所計算出的結果能夠精確地符合實驗數據[ 16] :1-2 。
馬克士威方程組形似超定組 （ 英语 ： overdetermined system ） 電荷守恆 的物理量），但卻是由八個方程式所組成（兩個高斯定律共有兩個方程式，法拉第定律與馬克士威-安培定律各有三個方程式）。經過仔細分析，即可明白，實際上並不是這麼簡單。
馬克士威方程組的方程式具有「獨立性」──從方程組內的任何一個或多個方程式，都不能推導出方程組內的任何其它方程式。這意味著馬克士威方程組不是超定組，其內中沒有重複任何功能的方程式。馬克士威方程組、洛仑兹力方程式 與牛頓第二運動定律 總合起來具有「完備性」，他們可以說明所有經典電動力學 的現象，不需要使用到任何其它方程式。在某區域內，給定適當的初始條件與邊界條件，則馬克士威方程組的解答具有「唯一性」，即每一個應變量只能有一種函數形式，其內部只含有常數或自變量，不含有任何其它應變量。[ 17] [ 5] :239
法拉第定律與馬克士威-安培定律共同主導著在空間內電磁場隨著時間流易的演化，而高斯定律與高斯磁定律則是約束方程式，電磁場必須在所有時間與空間遵守這兩個約束方程式。理論而言，可以假設某種電磁場在所有空間服從法拉第定律與馬克士威-安培定律的指揮，反之，如果他們不遵守高斯定律與高斯磁定律的約束，則它們無法實際存在於真實世界。換句話說，法拉第定律與馬克士威-安培定律會給出額外的解答，其不符合高斯定律與高斯磁定律的約束。[ 18] [ 19] :1019-1020
舉例而言，假設電荷源與電流源為零，採用直角坐標系 ，根據高斯定律與高斯磁定律，對於電場與磁場在空間每一個位置可以分別自由設定兩個分量，E x {\displaystyle E_{x}} E y {\displaystyle E_{y}} B x {\displaystyle B_{x}} B y {\displaystyle B_{y}}
∂ E z ∂ z = − ∂ E x ∂ x − ∂ E y ∂ y {\displaystyle {\frac {\partial E_{z}}{\partial z}}=-{\frac {\partial E_{x}}{\partial x}}-{\frac {\partial E_{y}}{\partial y}}} ∂ B z ∂ z = − ∂ B x ∂ x − ∂ B y ∂ y {\displaystyle {\frac {\partial B_{z}}{\partial z}}=-{\frac {\partial B_{x}}{\partial x}}-{\frac {\partial B_{y}}{\partial y}}} 只要在任意一個xy-平面的每一個位置分別設定E z {\displaystyle E_{z}} B z {\displaystyle B_{z}} E z {\displaystyle E_{z}} B z {\displaystyle B_{z}} E {\displaystyle \mathbf {E} } B {\displaystyle \mathbf {B} } E {\displaystyle \mathbf {E} } B {\displaystyle \mathbf {B} }
前面所表述的馬克士威方程組的兩種形式，在數學上等價。
電磁波是橫波，電場方向與磁場方向相互垂直，又都垂直於傳播方向。 在自由空間 裏，不需要考慮到介電質或磁化物質。假設源電流和源電荷為零，則馬克士威方程組寫為[ 註 3] [ 8] :209-213
∇ ⋅ E = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =0} ∇ ⋅ B = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0} ∇ × E = − ∂ B ∂ t {\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-\ {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}} ∇ × B = μ 0 ε 0 ∂ E ∂ t {\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}} 從這方程組，應用一些向量恆等式 ，經過一番簡單的運算，可以得到電場與磁場的波動方程式 ：
1 c 2 ∂ 2 E ∂ t 2 − ∇ 2 E = 0 {\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {E} =0} 1 c 2 ∂ 2 B ∂ t 2 − ∇ 2 B = 0 {\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {B} =0} 對於這兩個波動方程式，平面行進正弦波 是個解答波，其電場和磁場相互垂直，並且分別垂直於行進的方向，因此是個橫波。電場與磁場同相位 地以光速c {\displaystyle c} [ 註 4]
c = 1 μ 0 ε 0 {\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}} 仔細地觀察馬克士威方程組，就可以發現這方程組很明確地解釋了電磁波怎樣傳播於空間。根據法拉第感應定律，時變磁場會生成電場；根據馬克士威-安培定律，時變電場又生成了磁場。這不停的循環使得電磁波能夠以光速傳播於空間。
1856年，威廉·韋伯 和鲁道夫·科尔劳施 作萊頓瓶 實驗，從實驗數據計算出c {\displaystyle c} [ 21] :259-260 從這實驗結果，馬克士威正確地斷定光波 就是一種電磁輻射 。[ 21] :283
左半圖展示一群微觀電偶極子 ，它們所產生的電場，可以視為分別位於最上端與最下端的表面電荷所產生的電場。右半圖展示一群微觀電流迴路共同形成了一個宏观電流迴路。假若微觀電流迴路均勻分佈，則位於內部的電流迴路的貢獻會相互抵銷，但是位於邊界的電流迴路不會被抵銷，因此會形成宏观的電流迴路。 假設，施加外電場於介電質。施加這個電場的結果是，介電質的分子會形成一個微觀的電偶極子，其伴隨著電偶極矩 。分子的原子核會朝著電場的方向稍微遷移位置，而電子則會朝著相反方向稍微遷移位置。這形成了介電質的電極化 。如右圖的理想狀況所示，雖然，所有涉及的電荷都仍舊束縛於其原本的分子，由於這些微小遷移所造成的電荷分佈，變得好像是在介電質的一邊形成了一薄層正表面電荷，在另一邊又形成了一薄層負表面電荷。電極化強度 定義為介電質內部的電偶極矩密度 ，也就是單位體積的電偶極矩。在介電質內部，假設電極化強度P {\displaystyle \mathbf {P} } P {\displaystyle \mathbf {P} } P {\displaystyle \mathbf {P} } [ 6] :166-175
與靜電學 有些類似的是，在靜磁學 裏，假設施加外磁場於物質，響應這動作，物質會被磁化，原子成分會顯示出磁矩 。在本質上，這磁矩與原子的各個亞原子粒子 的角動量 有關。其中，響應最顯著的是電子 。這角動量的連結，不禁令人聯想到一副圖畫，在圖畫中，磁化物質變成了一群微觀的束縛電流迴路。雖然每一個電荷只是移動於其原子的微觀迴路，一群微觀的束縛電流迴路聚集在一起會形成宏观的束縛電流循環流動於物質的表面。這些束縛電流可以用磁化強度 M {\displaystyle \mathbf {M} } 磁偶極矩 在一個磁化物質內的密度 ，也就是單位體積的磁偶極矩。[ 6] :262-268
這些非常複雜與粗糙的束縛電荷與束縛電流的物理行為，在宏观尺度，可以分別以電極化強度P {\displaystyle \mathbf {P} } M {\displaystyle \mathbf {M} } [ 5] :14
為了要應用宏观馬克士威方程組，必須分別找到D {\displaystyle \mathbf {D} } E {\displaystyle \mathbf {E} } H {\displaystyle \mathbf {H} } B {\displaystyle \mathbf {B} } 本構關係 的物理性質，設定了束縛電荷和束縛電流對於外場的響應。它們實際地對應於物質響應外場作用而產生的電極化 或磁化 。[ 22] :44-45
本構關係式的基礎建立於附屬場D {\displaystyle \mathbf {D} } H {\displaystyle \mathbf {H} } [ 8] :413-414
D ( r , t ) = d e f ϵ 0 E ( r , t ) + P ( r , t ) {\displaystyle \mathbf {D} (\mathbf {r} ,t)\ {\stackrel {def}{=}}\ \epsilon _{0}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)} H ( r , t ) = d e f 1 μ 0 B ( r , t ) − M ( r , t ) {\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {r} ,t)\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)-\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t)} 其中，P {\displaystyle \mathbf {P} } M {\displaystyle \mathbf {M} }
電極化強度與磁化強度都是源自於物質對於外電場與外磁場的響應。電極化強度是電場的函數，磁化強度是磁場的函數。因此，本構關係式的一般形式為[ 5] :14
D = D [ E , B ] {\displaystyle \mathbf {D} =\mathbf {D} [\mathbf {E} ,\mathbf {B} ]} H = H [ E , B ] {\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {H} [\mathbf {E} ,\mathbf {B} ]} 在這裏，使用方括號，而不是圓括號，這樣標記主要是在提醒讀者，函數與參數彼此之間的關係並不簡單，很可能相當複雜，可能與過去歷史有關，也可能是非線性相關。大多數實際物質的本構關係式的獲得都需要使用近似手段，通常是從做實驗找到結果。
在自由空間 （即理想真空 ）裏，不需考慮介電質和磁化物質，本構關係式變得很簡單：[ 5] :2
D = ε 0 E {\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} } H = B / μ 0 {\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu _{0}} 將這些本構關係式代入宏观馬克士威方程組，則得到的方程組很像微觀馬克士威方程組，當然，在得到的高斯定律方程式和馬克士威-安培方程式內，總電荷密度和總電流密度分別被自由電荷密度和自由電流密度替代。這符合期待的結果，因為，在自由空間裏，沒有束縛電荷、束縛電流和極化電流。
更一般而言，對於線性 物質，本構關係式為[ 22] :44-45
D = ε E {\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} } H = B / μ {\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu } 其中，ε {\displaystyle \varepsilon } 電容率 ，μ {\displaystyle \mu } 磁導率 。
儘管只是線性案例，仍舊可能很複雜。[ 5] :14-16
如同其它微分方程組一般，必須設定邊界條件 [ 24] :1ff [ 25] :261 ff 與初始條件 [ 26] :17ff ，才能給出馬克士威方程組的唯一解答。
在經典電磁學裏，在一個不含有任何自由電荷和自由電流的區域R {\displaystyle \mathbb {R} } R {\displaystyle \mathbb {R} } 散射 的例子，一個來自於散射區域之外的電磁波，遭遇到散射區域內的一個靶子，被這靶子散射出去。在這散射過程裏，由於電磁波與靶子之間相互作用，散射的電磁波含有很多與這靶子性質相關的信息。經過仔細地分析，將這些信息萃取出來，就可以更詳細地了解這靶子的性質[ 27] :45ff 。
對於某些案例，譬如波導 或空腔共振器 （ 英语 ： cavity resonator ） [ 28] 光導纖維 或薄膜 ，解答區域時常會被分割為幾個亞區域，每個亞區域都有其簡單獨自的性質。通過亞區域與亞區域之間界面的邊界條件，可以將每一個亞區域的解答連結起來[ 29]
應用邊界條件，有時也可以簡化問題，使得問題更容易被了解。例如，均勻物體的電極化 可以被更換為在這物體外表的一層面電荷分佈，[ 6] :166-175 或者，均勻物體的磁化 被更換為在這物體外表的一層面電流分佈。[ 6] :263-265 詳盡細節，請參閱束縛電荷和束縛電流 段落。
厘米-克-秒單位制 的三個基本單位是長度單位公分、質量單位克、時間單位秒。在經典力學 裏，厘米-克-秒單位制的單位是一致的；但在電磁學裏，卻出現了幾種變型。高斯單位制 是其中一種變形。採用高斯單位制，馬克士威方程組的形式為[ 12] [ 30] :11, 42
馬克士威方程組與狹義相對論 之間的關係密切。不只是因為馬克士威方程組對於狹義相對論的初始發展，做了相當大的貢獻，也因為狹義相對論激盪出一種更簡潔的表述，能以協變張量 來表達馬克士威方程組。
自由空間的馬克士威方程組的形式，對於任意慣性坐標系 ，都是一樣的。在狹義相對論裏，為了要更明確地表達出這論點，必須以四維向量 和張量 寫出協變形式的馬克士威方程組。這表述的一個構成要素為電磁張量 ，其是結合了電場和磁場在一起的二階反對稱 張量。電磁張量F α β {\displaystyle F_{\alpha \beta }} [ 6] :535-537
F α β = ( 0 − E x / c − E y / c − E z / c E x / c 0 − B z B y E y / c B z 0 − B x E z / c − B y B x 0 ) {\displaystyle F_{\alpha \beta }=\left({\begin{matrix}0&-{E_{x}}/{c}&-{E_{y}}/{c}&-{E_{z}}/{c}\\{E_{x}}/{c}&0&-B_{z}&B_{y}\\{E_{y}}/{c}&B_{z}&0&-B_{x}\\{E_{z}}/{c}&-B_{y}&B_{x}&0\\\end{matrix}}\right)} 。 使用閔考斯基度規 η {\displaystyle \eta }
η α β = d i a g ( − 1 , 1 , 1 , 1 ) = ( − 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) {\displaystyle \eta ^{\alpha \beta }=diag(-1,1,1,1)=\left({\begin{matrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{matrix}}\right)} ， 將下標拉高為上標，可以得到反變張量F μ ν {\displaystyle F^{\mu \nu }}
F μ ν = d e f η α μ η β ν F α β = ( 0 E x / c E y / c E z / c − E x / c 0 B z − B y − E y / c − B z 0 B x − E z / c B y − B x 0 ) {\displaystyle F^{\mu \nu }\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\,\eta ^{\alpha \mu }\,\eta ^{\beta \nu }\,F_{\alpha \beta }=\left({\begin{matrix}0&{E_{x}}/{c}&{E_{y}}/{c}&{E_{z}}/{c}\\{-E_{x}}/{c}&0&B_{z}&-B_{y}\\{-E_{y}}/{c}&-B_{z}&0&B_{x}\\{-E_{z}}/{c}&B_{y}&-B_{x}&0\end{matrix}}\right)} 。 F α β {\displaystyle F^{\alpha \beta }} G μ ν {\displaystyle G^{\mu \nu }}
G μ ν = ( 0 B x B y B z − B x 0 − E z / c E y / c − B y E z / c 0 − E x / c − B z − E y / c E x / c 0 ) {\displaystyle G^{\mu \nu }=\left({\begin{matrix}0&B_{x}&B_{y}&B_{z}\\-B_{x}&0&-{E_{z}}/{c}&{E_{y}}/{c}\\-B_{y}&{E_{z}}/{c}&0&-{E_{x}}/{c}\\-B_{z}&-{E_{y}}/{c}&{E_{x}}/{c}&0\end{matrix}}\right)} 。 另外一個要素是四維電流密度 J α {\displaystyle J^{\alpha }} [ 6] :537-539
J α = ( c ρ , J ) {\displaystyle J^{\alpha }=(c\rho ,\mathbf {J} )} 其中，ρ {\displaystyle \rho } J {\displaystyle \mathbf {J} }
藉著這些要素，採用愛因斯坦求和約定 ，馬克士威方程組可以寫為
∂ F α β ∂ x β = μ 0 J α {\displaystyle {\frac {\partial F^{\alpha \beta }}{\partial x^{\beta }}}=\mu _{0}J^{\alpha }} ∂ G α β ∂ x β = 0 {\displaystyle {\frac {\partial G^{\alpha \beta }}{\partial x^{\beta }}}=0} 其中，∂ α = d e f ∂ ∂ x α = d e f ( 1 c ∂ ∂ t , ∇ ) {\displaystyle \partial _{\alpha }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right)} 四維梯度 。[ 5] :543
這兩個張量方程式等價於馬克士威方程組。第一個張量方程式表達兩個非齊次馬克士威方程式，高斯定律和馬克士威-安培定律。第二個張量方程式表達兩個齊次馬克士威方程式，高斯磁定律和法拉第感應定律。
在高等经典力學裏，電勢 與磁矢勢 可以較為便利地表達與分析電磁理論。這種表述稱為「勢場表述」。在量子力學層次，電動力學幾乎完全使用勢場表述。[ 4] :33 電場與磁場分別以電勢ϕ {\displaystyle \phi } A {\displaystyle \mathbf {A} } [ 4] :35-37
E = − ∇ ϕ − ∂ A ∂ t {\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \phi -\ {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}} B = ∇ × A {\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} } 從這兩個定義式，兩個齊次馬克士威方程式自動成立，另外兩個非齊次方程式變為
∇ 2 ϕ + ∂ ∂ t ( ∇ ⋅ A ) = − ρ ε 0 {\displaystyle \nabla ^{2}\phi +{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)=-\ {\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}} ( ∇ 2 A − 1 c 2 ∂ 2 A ∂ t 2 ) − ∇ ( ∇ ⋅ A + 1 c 2 ∂ ϕ ∂ t ) = − μ 0 J {\displaystyle \left(\nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}\right)-\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)=-\mu _{0}\mathbf {J} } 這兩個勢場方程式組合起來，具有與原本馬克士威方程組同樣的功能和完備性。由於電場和磁場各有三個分量，原本的馬克士威方程組需要解析六個分量。勢場表述只需要解析四個分量，因為電勢只有一個分量，磁矢勢有三個分量。可是，勢場表述涉及了二次微分，方程式也比較冗長。
許多不同的ϕ {\displaystyle \phi } A {\displaystyle \mathbf {A} } 規範自由 。恰當的選擇可以簡化方程式的形式，或者，可以專門適用於某特別狀況。採用勞侖次規範
∇ ⋅ A + 1 c 2 ∂ ϕ ∂ t = 0 {\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {A} }+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}=0} 勢場的兩個向量方程式可以寫為兩個具有勞侖茲不變性 的方程式：
∇ 2 ϕ − 1 c 2 ∂ 2 ϕ ∂ t 2 = − ρ ε 0 {\displaystyle \nabla ^{2}\phi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}=-\ {\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}} ∇ 2 A − 1 c 2 ∂ 2 A ∂ t 2 = − μ 0 J {\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\mathbf {J} } 利用達朗白算符 來表示將會更簡潔，
◻ ϕ = − ρ ε 0 {\displaystyle \Box \phi =-\ {\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}} ◻ A = − μ 0 J {\displaystyle \Box \mathbf {A} =-\mu _{0}\mathbf {J} } 其中，◻ = ∂ 2 = ∂ α ∂ α = ( ∇ 2 − 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 ) {\displaystyle \Box =\partial ^{2}=\partial _{\alpha }\partial ^{\alpha }=\left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\ {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)}
由磁矢勢和電勢共同組成的四維勢以方程式定義為
A μ = d e f ( φ , A ) {\displaystyle A^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ \left(\varphi ,\mathbf {A} \right)} 二十世紀初，阿諾·索末菲 提出了四維向量方程式，這是波恩哈德·黎曼 先前想出的一個方程式的推廣，因此，這個方程被命名為「黎曼-索莫菲方程式」，[ 31] :37-38 或馬克士威方程組的勢場表述的協變形式：[ 32] :102
◻ A μ = − μ 0 j μ {\displaystyle \Box A^{\mu }=-\mu _{0}j^{\mu }} 物質和能量會造成時空 彎曲。這是廣義相對論 的主題。時空彎曲會影響電動力學 的物理。一個電磁場所擁有的能量和動量也會造成時空彎曲。將平直時空的方程組中的偏導數 改換為協變導數 ，就可以得到彎曲時空中的馬克士威方程組：[ 33] :247
∇ β F α β = μ 0 j α {\displaystyle \nabla _{\beta }F^{\alpha \beta }=\mu _{0}j^{\alpha }} ∇ α F β γ + ∇ γ F α β + ∇ β F γ α = 0 {\displaystyle \nabla _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\nabla _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\nabla _{\beta }F_{\gamma \alpha }=0} 其中，F α β {\displaystyle F^{\alpha \beta }} 電磁張量 。
注意到二階張量的協變導數 為[ 33] :229
∇ β F μ ν = ∂ β F μ ν + Γ μ α β F α ν + Γ ν α β F μ α {\displaystyle \nabla _{\beta }F^{\mu \nu }=\partial _{\beta }F^{\mu \nu }+{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }F^{\alpha \nu }+{\Gamma ^{\nu }}_{\alpha \beta }F^{\mu \alpha }} 其中，Γ α β μ {\displaystyle \Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }} 克里斯托費爾符號 。
所以，馬克士威方程組又可以表示為
∂ β F α β + Γ α ω β F ω β + Γ β ω β F α ω = μ 0 j α {\displaystyle \partial _{\beta }F^{\alpha \beta }+{\Gamma ^{\alpha }}_{\omega \beta }F^{\omega \beta }+{\Gamma ^{\beta }}_{\omega \beta }F^{\alpha \omega }=\mu _{0}j^{\alpha }} ∂ α F β γ + ∂ γ F α β + ∂ β F γ α = 0 {\displaystyle \partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }=0} 如同的費曼圖 所示，在雙光子散射 裡，兩個光子會生成電子正子對，極短暫片刻之後，電子正子對又會湮滅，從而發射出兩個新的光子。[ 5] :10-11 雖然馬克士威方程組能夠非常成功地解釋與預測各種各樣電磁現象，它對於真實物理給出的是一個近似描述，對於某些特別案例，它所估算出的結果可能會不夠準確。例如，在極強勁場狀況下產生的雙光子散射 （電場極值約為1020 V/m，位於經典電子表面的電場）、在兩個電荷之間相隔極短距離所產生的真空極化 現象（距離約為電子康普頓波長 3.86×10-13 m）。馬克士威方程組無法對於很多現象給出正確解釋，例如，非經典光 、電磁場的量子糾纏 等等。由於馬克士威方程組完全不能表達光子的概念，任何涉及到單獨光子的現象，例如光電效應 、普朗克定律 、單光子探測器 （ 英语 ： Single-photon avalanche diode ） 量子電動力學 的理論來給予解釋。[ 5] :9-13
馬克士威方程組明白顯示出，在宇宙裏，磁荷 不存在，只有電荷存在。至今為止，確實從未有任何實驗發現磁荷的存在。假若磁荷存在，則高斯磁定律與法拉第感應定律都需要修改，馬克士威方程組內會增添兩個新的變量，磁荷ρ m {\displaystyle \rho _{m}} J m {\displaystyle \mathbf {J} _{m}} [ 30] :18 [ 4] :20, 70
c ρ e → ρ m E → c B c j e → j m ρ m → − c ρ e c B → − E j m → − c j e {\displaystyle {\begin{matrix}c\rho _{e}\to \rho _{m}\quad &\mathbf {E} \to c\mathbf {B} \quad &c\mathbf {j} _{e}\to \mathbf {j} _{m}\\\rho _{m}\to -c\rho _{e}\quad &c\mathbf {B} \to -\mathbf {E} \quad &\mathbf {j} _{m}\to -c\mathbf {j} _{e}\end{matrix}}} 。 這種對調運作是一種廣義對偶變換 （ 英语 ： general duality transformation ）
近期，物理學者發現，有些凝聚體 ，例如自旋冰 （ 英语 ： spin ice ） 湧現 行為。儘管這些事件被描述為發現盼望已久的磁單極子，它們只是模擬真正的磁單極子。真正的磁單極子必須滿足方程式∇ ⋅B ≠ 0 ∇ ⋅B = 0 ∇ ⋅H ≠ 0 [ 34]
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