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類球面

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椭圆围绕一个垂直轴旋转而成的类球面
扁球面長球面

類球面是一種二次曲面。二維的橢圓有兩個主軸，稱為長軸與短軸。在三維空間裏，將一個橢圓繞著其任何一主軸旋轉，則可得到一個類球面。

  • 假若，這旋轉主軸是長軸，則這個類球面為長球面。例如，英式足球裏所用的橄欖球是長球形狀。
  • 假若，這旋轉主軸是短軸，則這個類球面為扁球面。例如，地球在北極與南極稍微有點扁平，在赤道又有點凸漲。所以，地球是扁球形狀。
  • 假若，生成的橢圓是圓圈，則這個類球面為完全對稱的圓球面。

方程式

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对类球面半轴的赋值。如果c <a则为扁球面（左图）而如果c >a则为长球面（右图）。

用另外一種方法來描述，類球面是一種橢球面。採用直角坐標(x, y, z){\displaystyle (x,\ y,\ z)\,\!}，橢球面可以表達為

x2a2+y2b2+z2c2=1{\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1}；

其中，a{\displaystyle a\,\!}與b{\displaystyle b\,\!}分別是橢球面在x-軸與y-軸的赤道半徑，c{\displaystyle c\,\!}是橢球面在z-軸的極半徑，這三個正值實數的半徑決定了橢球面的形狀。 以z-轴为旋转轴的类球面a=b{\displaystyle a=b\,}，它的方程为：

x2+y2a2+z2c2=1{\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1}。
  • 假若，三個半徑都相等，則這橢球面是圓球面：
a=c{\displaystyle a=c\,\!}。
  • 假若，類球面的赤道半徑小於極半徑，則這是類球面是長球面：
a<c{\displaystyle a<c\,\!}。
  • 假若，類球面的赤道半徑大於極半徑，則這是類球面是扁球面：
a>c{\displaystyle a>c\,\!}。

性质

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面積

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扁球面c <a，它的表面积为：

Soblate=2πa2(1+1−e2eartanhe)=2πa2+πc2eln⁡(1+e1−e){\displaystyle S_{\rm {oblate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {1-e^{2}}{e}}{\text{artanh}}\,e\right)=2\pi a^{2}+\pi {\frac {c^{2}}{e}}\ln \left({\frac {1+e}{1-e}}\right)\quad }其中e2=1−c2a2{\displaystyle \,e^{2}=1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}}。

扁球面是半长轴为a而半短轴为c的椭圆围绕z-轴旋转而形成的，因此e可看作为离心率[1]。

长球面c >a，它的表面积为：

Sprolate=2πa2(1+caearcsine){\displaystyle S_{\rm {prolate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {c}{ae}}\arcsin \,e\right)\qquad }其中e2=1−a2c2{\displaystyle \,e^{2}=1-{\frac {a^{2}}{c^{2}}}}。

长球面是半长轴为c而半短轴为a的椭圆围绕z-轴旋转而形成的，因此e可看作离心率[2]。

體積

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類球的體積是43πa2c{\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi a^{2}c\,\!}。

曲率

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假若，一個類球面被參數化為

σ(β, λ)=(acos⁡βcos⁡λ, acos⁡βsin⁡λ, bsin⁡β){\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\beta ,\ \lambda )=(a\cos \beta \cos \lambda ,\ a\cos \beta \sin \lambda ,\ b\sin \beta )\,\!} ;

其中，β{\displaystyle \beta \,\!}是參數緯度（parametric latitude），−π2<β<π2{\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<\beta <{\frac {\pi }{2}}\,\!}，λ{\displaystyle \lambda \,\!}是經度，−π<λ<+π{\displaystyle -\pi <\lambda <+\pi \,\!}。

那麼，類球面的高斯曲率（Gaussian curvature）是

K(β,λ)=b2(a2+(b2−a2)cos2⁡β)2{\displaystyle K(\beta ,\lambda )={b^{2} \over (a^{2}+(b^{2}-a^{2})\cos ^{2}\beta )^{2}}\,\!}。

類球面的平均曲率（mean curvature）是

H(β,λ)=b(2a2+(b2−a2)cos2⁡β)2a(a2+(b2−a2)cos2⁡β)3/2{\displaystyle H(\beta ,\lambda )={b(2a^{2}+(b^{2}-a^{2})\cos ^{2}\beta ) \over 2a(a^{2}+(b^{2}-a^{2})\cos ^{2}\beta )^{3/2}}\,\!}。

對於類球面，這兩種曲率永遠是正值的。所以，類球面的每一點都是橢圓的。

參閱

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引用

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  1. ^A derivation of this result may be found atWeisstein, Eric W. (编).Oblate Spheroid. atMathWorld--A Wolfram Web Resource.Wolfram Research, Inc. [24 June 2014]. （原始内容存档于2018-01-24）（英语）. 
  2. ^A derivation of this result may be found atWeisstein, Eric W. (编).Prolate Spheroid. atMathWorld--A Wolfram Web Resource.Wolfram Research, Inc. [24 June 2014]. （原始内容存档于2019-10-21）（英语）. 
检索自“https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=類球面&oldid=74738157”
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