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雙線性形式

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在域F{\displaystyle F}中，向量空間V{\displaystyle V}的雙線性形式指的是一个V×V→F{\displaystyle V\times V\rightarrow F}上的线性函数B{\displaystyle B}，满足：

∀v∈V{\displaystyle \forall v\in V}，映射：
w↦B(v,w){\displaystyle w\mapsto B(v,w)}
w↦B(w,v){\displaystyle w\mapsto B(w,v)}

都是线性的。這個定義也適用於交換環的模，这时线性函数要改为模同态。

注意一個雙線性形式是特別的双线性映射。

坐標表示法

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如果V{\displaystyle V}是n維向量空間，设C={e1,…,en}{\displaystyle C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}是V{\displaystyle V}的一组基。定义n×n{\displaystyle n\times n} 阶的矩阵A{\displaystyle A}使得(Aij)=B(ei,ej){\displaystyle (A_{ij})=B(e_{i},e_{j})}。当n×1{\displaystyle n\times 1}的矩阵x{\displaystyle x}和y{\displaystyle y}表示向量u{\displaystyle u}及v{\displaystyle v}时，双线性形式B{\displaystyle B}可表示为:

B(u,v)=uTBv{\displaystyle B(u,v)=\mathbf {u} ^{T}\mathbf {Bv} }

考虑另一组基C′=[e1′⋯en′]=[e1⋯en]S{\displaystyle C'={\begin{bmatrix}e'_{1}&\cdots &e'_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}e_{1}&\cdots &e_{n}\end{bmatrix}}S} ，其中S是一个可逆的n×n{\displaystyle n\times n} 阶矩阵（基底转换矩阵），则双线性形式在C′{\displaystyle C'}下的矩阵A′{\displaystyle A'}的形式为：

A′=ST⋅A⋅S{\displaystyle A'=S^{T}\cdot A\cdot S}

对偶空间映射

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V{\displaystyle {\textbf {V}}}的每一個雙線性形式B{\displaystyle B}都定義了一對由V{\displaystyle V}射到它的对偶空间V∗{\displaystyle V^{*}}的線性函数。定义B1,B2:V→V∗{\displaystyle B_{1},B_{2}\colon V\to V^{*}} ：

B1(v)(w)=B(v,w){\displaystyle B_{1}(v)(w)=B(v,w)\,}
B2(v)(w)=B(w,v){\displaystyle B_{2}(v)(w)=B(w,v)\,}

常常記作：

B1(v)=B(v,−){\displaystyle B_{1}(v)=B(v,{-})\,}
B2(v)=B(−,v){\displaystyle B_{2}(v)=B({-},v)\,}

這裡的(–)是放变量的位置。

如果V{\displaystyle V}是有限维空间的话，V{\displaystyle V}和它的雙对偶空間V∗∗{\displaystyle V^{**}}是同构的，这时B2{\displaystyle B_{2}}是B1{\displaystyle B_{1}}的轉置映射（如果V{\displaystyle V}是无限维空间，B2{\displaystyle B_{2}}限制在V{\displaystyle V}在V∗∗{\displaystyle V^{**}}的像下的部分是B1{\displaystyle B_{1}}的轉置映射）。 定義B{\displaystyle B}的轉置映射為雙線性形式：

B∗(v,w)=B(w,v).{\displaystyle B^{*}(v,w)=B(w,v).\,}

如果V{\displaystyle V}是有限维空间，B1{\displaystyle B_{1}}及B2{\displaystyle B_{2}}的秩相等。如果他们的秩等于V{\displaystyle V}的維数的话，B1{\displaystyle B_{1}}和B2{\displaystyle B_{2}}就是由V{\displaystyle V}到V∗{\displaystyle V^{*}}的同构映射（显然B1{\displaystyle B_{1}}是同构当且仅当B2{\displaystyle B_{2}}是同构），此时，B{\displaystyle B}是非退化的。实际上在有限维空间里，这常常作为非退化的定义：B{\displaystyle B}是非退化的当且仅当

(∀w,B(v,w)=0)⇒v=0.{\displaystyle (\forall w,B(v,w)=0)\Rightarrow v=0.}

镜像對稱性和正交性

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雙線性形式B:V×V→F{\displaystyle B:V\times V\rightarrow F}是镜像對稱的当且仅当:

B(v,w)=0⟺B(w,v)=0{\displaystyle B(v,w)=0\Longleftrightarrow B(w,v)=0}
有了镜像對稱性，就可以定义正交：两个向量v{\displaystyle v}和w{\displaystyle w}关于一个镜像對稱的双线性形式正交当且仅当：
B(v,w)=0{\displaystyle B(v,w)=0\,} 。
一个双线性形式的根是指与所有其他向量都正交的向量的集合。一个矩阵表示为x{\displaystyle x}的向量v{\displaystyle v}属于双线性形式的根当且仅当Ax=0{\displaystyle Ax=0\,}（等价于xTA=0{\displaystyle x^{T}A=0\,}），根一般是V{\displaystyle V}的子空间，

当A{\displaystyle A}是非奇异矩阵，即当B{\displaystyle B}是非退化时，根都是零子空间{0}{\displaystyle \{0\}}。

设W{\displaystyle W}是一个子空间，定义W⊥={v|B(v,w)=0 ∀w∈W}{\displaystyle W^{\perp }=\{v|B(v,w)=0\ \forall w\in W\}}。

当B{\displaystyle B}是非退化时，映射W→W⊥{\displaystyle W\rightarrow W^{\perp }}是双射，所以W⊥{\displaystyle W^{\perp }}的维数等于dim⁡(V)−dim⁡(W){\displaystyle \dim(V)-\dim(W)}。

可以证明，雙線性形式B{\displaystyle B}是镜像對稱的当且仅当它是以下两者之一：

每个交替形式都是斜对称(skew-symmetric)（或称反对称(antisymmetric)）的，只要展开

B(v+w,v+w){\displaystyle B(v+w,v+w)}就可看出。

当F{\displaystyle F}的特征不为2时，逆命题也是真的。斜对称的形式必定交替。然而，当char(F)=2{\displaystyle {\text{char}}(F)=2}时，斜对称就是对称，因此不全是交替的。

一个双线性形式是对称的(反对称的)当且仅当它对应的矩阵是对称的(反对称的)。一个双线性形式是交替的当且仅当它对应的矩阵是反对称的，且主对角线上都是零。（在F的特征不为2时的情况下）

一个双线性形式是对称的当且仅当B1,B2:V→V∗{\displaystyle B_{1},B_{2}\colon V\to V^{*}} 相等，是旋钮对称的当且仅当B1=−B2{\displaystyle B_{1}=-B_{2}}。char(F)≠2{\displaystyle {\text{char}}(F)\neq 2}时，一个双线性形式可以按成对称和反对称部分分解：

B±=12(B±B∗){\displaystyle B^{\pm }={1 \over 2}(B\pm B^{*})}

其中B∗{\displaystyle B^{*}}是B{\displaystyle B}的转置映射。

不同空間的推廣

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這套理論有很大一部份可推廣到雙線性映射的情形：

B:V×W→F{\displaystyle B:V\times W\rightarrow F}。

此時仍有從V{\displaystyle V}到W{\displaystyle W}的對偶、及從W{\displaystyle W}到V{\displaystyle V}的對偶的映射。當V{\displaystyle V},W{\displaystyle W}皆有限維，則只要其中之一是同構，另一個映射也是同構。在此情況下B{\displaystyle B}稱作完美配對。

張量積關係

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由張量積的泛性質，V{\displaystyle V} 上的雙線性形式一一對映至線性映射V⊗V→F{\displaystyle V\otimes V\rightarrow F}：若B{\displaystyle B} 是V{\displaystyle V} 上的雙線性形，則相應的映射由下式給出

v⊗w↦B(v,w).{\displaystyle v\otimes w\mapsto B(v,w).}

所有從V⊗V{\displaystyle V\otimes V} 到F{\displaystyle F} 的線性映射構成V⊗V{\displaystyle V\otimes V} 的對偶空間，此時雙線性形式遂可視為下述空間的元素：

(V⊗V)∗≅V∗⊗V∗.{\displaystyle (V\otimes V)^{*}\cong V^{*}\otimes V^{*}.}

同理，對稱雙線性形式可想成二次對稱冪S2V∗{\displaystyle S^{2}V^{*}}的元素，而交代雙線性形式則可想成二次外冪Λ2V∗{\displaystyle \Lambda ^{2}V^{*}}的元素。

參见

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外部链接

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集合 / 子集
拓撲向量空間
映射拓扑
线性算子
集合运算
算子理论
定理
分析
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