照射激光束 於偏硼酸鋇晶體，會因第二型自發參量下轉換 機制，在兩個圓錐面交集的兩條直線之處，製備出很多偏振 相互垂直的糾纏光子對。 量子糾纏 ，即在量子力學 裏，當幾個基礎粒子 在彼此相互作用後，由於各個粒子所擁有的特性已綜合成為整體性質，無法單獨描述各個粒子的性質，只能描述整體系統的性質，則稱這現象為量子缠结 或量子纠缠 （quantum entanglement）[ 1] 經典力學 裏，找不到類似的現象[ 2] :121 。
假若對於兩個相互糾纏的基礎粒子分別測量其物理性質，像位置 、動量 、自旋 、偏振 等，則會發現量子關聯現象。例如，假設一個零自旋粒子衰變為兩個以相反方向移動分離的粒子。沿著某特定方向，對於其中一個粒子測量自旋，假若得到結果為上旋，則另外一個粒子的自旋必定為下旋，假若得到結果為下旋，則另外一個粒子的自旋必定為上旋；更特別地是，假設沿著兩個不同方向分別測量兩個粒子的自旋，則會發現結果違反貝爾不等式 ；除此以外，還會出現貌似佯谬般的現象：當對其中一個粒子做測量，另外一個粒子似乎知道測量動作的發生與結果，儘管尚未發現任何傳遞信息的機制，儘管兩個粒子相隔甚遠。
阿爾伯特·愛因斯坦 、鮑里斯·波多爾斯基 和納森·羅森 於1935年發表的爱因斯坦-波多尔斯基-罗森佯谬 （EPR佯谬）論述到上述現象[ 3] 埃爾溫·薛丁格 稍後也發表幾篇關於量子糾纏的論文，並且給出「量子糾纏」這一術語[ 4] [ 5] 定域實在論 ，稱之為「鬼魅般的超距作用」(spooky action at a distance)，他總結，量子力學的標準表述不具完備性 。然而，多年來完成的多個實驗證實量子力學的反直覺預言正確無誤，還檢試出定域實在論不可能正確[ 6] [ 7] [ 8] [ 9] [ 10] :421-422 。可是，這效應不能被用來以超光速 傳輸經典信息，因此并不違反因果律 [ 10] :428 。詳情見通信禁律 （ 英语 ： No-communication theorem ）
量子糾纏是很熱門的研究領域。像光子 、電子 一類的微觀粒子，或者像分子 、巴克明斯特富勒烯 、甚至像小鑽石一類的介觀 粒子，都可以觀察到量子糾纏現象[ 11] :263-270 [ 12] 通訊 、計算機 領域的用途[ 2] :150 ，然而，物理學者仍舊不清楚量子糾纏的基礎機制。
1935年5月4日，紐約時報 首頁的頭條新聞標題，有關愛因斯坦-波多爾斯基-羅森佯谬 (EPR佯谬)。 1935年，在普林斯頓高等研究院 ，愛因斯坦、博士後 羅森、研究員波多爾斯基合作完成論文《物理實在的量子力學描述能否被認為是完備的？》，並且將這篇論文發表於5月份的《物理評論 》[ 13] :303 。這是最早探討量子力學理論對於強關聯系統所做的反直覺預測的一篇論文。在這篇論文裏，他們詳細表述EPR佯谬，試圖藉著一個思想實驗來論述量子力學的不完備性質[ 3]
薛丁格閱讀完畢EPR論文之後，有很多心得感想，他用德文寫了一封信給愛因斯坦，在這封信裏，他最先使用了術語Verschränkung （他自己將之翻譯為「糾纏」），這是為了要形容在EPR思想實驗裏，兩個暫時耦合的粒子，不再耦合之後彼此之間仍舊維持的關聯[ 13] :313 。不久之後，薛丁格發表了兩篇重要論文，對於「量子糾纏」這術語給予定義，並且研究探索相關概念[ 14] [ 15] [ 4] 相對論 中對於信息傳遞所設定的速度極限[ 16] 鬼魅般的超距作用 [ 17]
EPR論文很顯然地引起了眾多物理學者的興趣，啟發他們探討量子力學的基礎理論。但是除了這方面以外，物理學者認為這論題與現代量子力學並沒有甚麼牽扯，在之後很長一段時間，物理學術界並沒有特別重視這論題，也沒有發現EPR論文可能有甚麼重大瑕疵[ 2] :38 。EPR論文試圖建立定域性隱變量理論 來替代量子力學理論。1964年，約翰·貝爾 提出論文表明，對於EPR思想實驗，量子力學的預測明顯地不同於定域性隱變量理論。概略而言，假若測量兩個粒子分別沿著不同軸向的自旋，則量子力學得到的統計關聯性 結果比定域性隱變量理論要強很多，貝爾不等式 定性地給出這差別，做實驗應該可以偵測出這差別[ 18]
1972年，约翰·克劳泽 與史達特·弗利曼 （Stuart Freedman）首先完成這種檢試實驗[ 19] 阿蘭·阿斯佩 的博士論文是以這種檢試實驗為題目[ 20] [ 21]
這些年來，眾多的卓越研究結果促成了應用這些超強關聯來傳遞信息的可能性，從而導致了量子密碼學 的成功發展，最著名的有查尔斯·贝内特 （Charles Bennett）與吉勒·布拉薩 （Gilles Brassard）發明的BB84協議 、阿圖爾·艾克特 （Artur Eckert）發明的E91協議 。
2017年6月16日，量子科学实验卫星 墨子號 首先成功實現，兩個量子纠缠光子 被分发到相距超過1200公里的距離後，仍可繼續保持其量子糾纏的狀態。[ 22]
2018年4月25日，芬蘭阿爾托大學 教授麥卡·習嵐帕 （Mika Sillanpää）領導的實驗團隊成功地量子糾纏了兩個獨自振動的鼓膜。每個鼓膜的寬度只有15微米 ，約為頭髮的寬度，是由1015 個金屬鋁 原子製成。通過超導 微波 電路，在接近絕對零度 （-273°C）下，兩個鼓膜持續進行了約30分鐘的互動。這實驗演示出巨觀的量子糾纏。[ 23]
EPR佯谬的思想實驗：[ 10] :421-422 π介子 衰變成一個電子 與一個正電子 ，這兩個衰變產物各自朝著相反方向移動至區域A、B。由於量子糾纏，假若位於區域A的愛麗絲與位於區域B的鮑勃分別測量粒子沿著同樣軸向的自旋，則愛麗絲會測得上旋若且唯若鮑勃會測得下旋，愛麗絲會測得下旋若且唯若鮑勃會測得上旋。 假設一個零自旋中性π介子 衰變成一個電子 與一個正電子 [ 10] :421-422 。這兩個衰變產物各自朝著相反方向移動。電子移動到區域A，在那裏的觀察者「愛麗絲」會觀測電子沿著某特定軸向的自旋；正電子移動到區域B，在那裏的觀察者「鮑勃」也會觀測正電子沿著同樣軸向的自旋。在測量之前，這兩個糾纏粒子共同形成了零自旋的「糾纏態」| ψ ⟩ {\displaystyle \left|\psi \right\rangle } 疊加 ，以狄拉克標記 表示為
| ψ ⟩ = 1 2 ( | ↑ ⟩ ⊗ | ↓ ⟩ − | ↓ ⟩ ⊗ | ↑ ⟩ ) {\displaystyle \left|\psi \right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\bigg (}\left|\uparrow \right\rangle \otimes \left|\downarrow \right\rangle -\left|\downarrow \right\rangle \otimes \left|\uparrow \right\rangle {\bigg )}} 其中，| ↑ ⟩ {\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle } | ↓ ⟩ {\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }
在圓括弧內的第一項| ↑ ⟩ ⊗ | ↓ ⟩ {\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle \otimes \left|\downarrow \right\rangle } | ↓ ⟩ ⊗ | ↑ ⟩ {\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle \otimes \left|\uparrow \right\rangle } 反關聯 ，對於兩個粒子的自旋分別做測量，假若電子的自旋為上旋，則正電子的自旋為下旋，反之亦然；假若電子的自旋下旋，則正電子自旋為上旋，反之亦然。量子力學不能預測到底是哪一組數值，但是量子力學可以預言，獲得任何一組數值的概率為50%[ 10] :421-422 。
愛麗絲測量電子的自旋，她可能會得到兩種結果：上旋或下旋，假若她得到上旋，則根據哥本哈根詮釋，糾纏態塌縮為第一個項目所代表的量子態| ↑ ⟩ ⊗ | ↓ ⟩ {\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle \otimes \left|\downarrow \right\rangle } | ↓ ⟩ ⊗ | ↑ ⟩ {\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle \otimes \left|\uparrow \right\rangle }
設想一個類比的經典統計學實驗，將一枚硬幣沿著圓周切成兩半，一半是正面，另一半是反面，將這兩枚半幣分別置入兩個信封，然後隨機交給愛麗絲與鮑勃。假若愛麗絲打開信封，查看她得到的是哪種硬幣，她將無法預測這結果，因為得到正面或反面的機率各為50%。鮑勃也會遇到同樣的狀況。可以確定的是，假若愛麗絲得到正面，則鮑勃會得到反面；假若愛麗絲得到反面，則鮑勃會得到正面。這件事完全地反關聯[ 註 1]
在先前的量子糾纏實驗裏，愛麗絲與鮑勃分別測量粒子沿著同樣軸向的自旋，雖然這涉及到量子關聯，他們仍舊會得到與經典關聯實驗同樣的結果。怎樣區分量子關聯與經典關聯？假若愛麗絲與鮑勃分別測量粒子沿著不同軸向的自旋，而不是沿著同樣軸向，然後檢驗實驗數據是否遵守貝爾不等式 ，則他們會發覺，量子糾纏系統必定違反貝爾不等式，而經典物理 系統必定遵守貝爾不等式。因此，貝爾不等式乃是一種很靈敏的偵測量子糾纏的工具。量子糾纏實驗所涉及的量子關聯 現象無法用經典統計物理學概念來解釋，在經典統計物理學裏，找不到類似案例[ 24] :61-65 [ 註 2]
粒子沿著不同軸向的自旋彼此之間是不相容可觀察量 ，對於這些不相容可觀察量作測量必定不能同時得到明確結果，這是量子力學的一個基礎理論。在經典力學裏，這基礎理論毫無意義，理論而言，任何粒子性質都可以被測量至任意準確度。貝爾定理 意味著一個事實，一個已被實驗檢試的事實，即對兩個不相容可觀察量做測量得到的結果不遵守貝爾不等式[ 25]
不確定性原理 的維持必須倚賴量子糾纏機制。例如，設想先前的一個零自旋中性π介子 衰變案例，兩個衰變產物各自朝著相反方向移動，現在分別測量電子的位置與正電子的動量，假若量子糾纏機制不存在，則可藉著守恆定律 預測兩個粒子各自的位置與動量，這違反了不確定性原理。由於量子糾纏機制，粒子的位置與動量遵守不確定性原理。
從以相對論性 速度移動的兩個參考系分別測量兩個糾纏粒子的物理性質，儘管在每一個參考系，測量兩個粒子的時間順序不同，獲得的實驗數據仍舊違反貝爾不等式，仍舊能夠可靠地複製出兩個糾纏粒子的量子關聯[ 26] [ 27]
以下各小節是為那些具有量子力學正式的數學描述的一個良好的工作知識的讀者而寫，包括文章推导中熟悉的形式和理論框架：狄拉克符号 (BRA-KET符號)和量子力學的數學表述 。本章節涉及到密度算符概念，若不熟悉密度算符相關概念，請先閱讀條目密度算符 。
假設一個複合系統是由兩個子系統A、B所組成[ 註 3] 希爾伯特空間 分別為H A {\displaystyle H_{A}} H B {\displaystyle H_{B}} H A B {\displaystyle H_{AB}} 張量積
H A B = H A ⊗ H B {\displaystyle H_{AB}=H_{A}\otimes H_{B}} 設定子系統A、B的量子態分別為| α ⟩ A {\displaystyle |\alpha \rangle _{A}} | β ⟩ B {\displaystyle |\beta \rangle _{B}} | ψ ⟩ A B {\displaystyle |\psi \rangle _{AB}} | α ⟩ A ⊗ | β ⟩ B {\displaystyle |\alpha \rangle _{A}\otimes |\beta \rangle _{B}}
假設一個複合系統是由兩個不相互作用的子系統A、B所組成，子系統A、B的量子態分別為| α ⟩ A {\displaystyle |\alpha \rangle _{A}} | β ⟩ B {\displaystyle |\beta \rangle _{B}} | ψ ⟩ A B {\displaystyle |\psi \rangle _{AB}}
| ψ ⟩ A B = | α ⟩ A ⊗ | β ⟩ B {\displaystyle |\psi \rangle _{AB}=|\alpha \rangle _{A}\otimes |\beta \rangle _{B}} 這種形式的量子態稱為直積態 （product state）。量子態| ψ ⟩ A B {\displaystyle |\psi \rangle _{AB}} 可分性 （separability），是「可分態」。對於子系統A做測量，必定不會影響到子系統B；反之亦然。因此，對於這種複合系統，測量任意子系統的可觀察量時，不必考慮到另外一個子系統。
假設子系統A、B相互耦合，則複合系統的量子態| ψ ⟩ A B {\displaystyle |\psi \rangle _{AB}} 量子疊加 表示。量子態| ψ ⟩ A B {\displaystyle |\psi \rangle _{AB}} { | a i ⟩ A } {\displaystyle \{|a_{i}\rangle _{A}\}} { | b j ⟩ B } {\displaystyle \{|b_{j}\rangle _{B}\}} H A {\displaystyle H_{A}} H B {\displaystyle H_{B}} 規範正交基 。在希爾伯特空間H A ⊗ H B {\displaystyle H_{A}\otimes H_{B}} | ψ ⟩ A B {\displaystyle |\psi \rangle _{AB}}
| ψ ⟩ A B = ∑ i , j c i j | a i ⟩ A ⊗ | b j ⟩ B {\displaystyle |\psi \rangle _{AB}=\sum _{i,j}c_{ij}|a_{i}\rangle _{A}\otimes |b_{j}\rangle _{B}} 其中，c i j {\displaystyle c_{ij}}
例如，假設| 0 ⟩ A {\displaystyle |0\rangle _{A}} | 1 ⟩ A {\displaystyle |1\rangle _{A}} { | a i ⟩ A } {\displaystyle \{|a_{i}\rangle _{A}\}} | 0 ⟩ B {\displaystyle |0\rangle _{B}} | 1 ⟩ B {\displaystyle |1\rangle _{B}} { | b j ⟩ B } {\displaystyle \{|b_{j}\rangle _{B}\}} | ψ ⟩ A B {\displaystyle |\psi \rangle _{AB}}
| ψ ⟩ A B = 1 2 ( | 0 ⟩ A ⊗ | 1 ⟩ B − | 1 ⟩ A ⊗ | 0 ⟩ B ) {\displaystyle |\psi \rangle _{AB}={1 \over {\sqrt {2}}}{\bigg (}|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}{\bigg )}} 現在假設愛麗絲、鮑勃分別是子系統A、B的觀察者，規範正交基{ | a i ⟩ A } {\displaystyle \{|a_{i}\rangle _{A}\}} | 0 ⟩ A {\displaystyle |0\rangle _{A}} | 1 ⟩ A {\displaystyle |1\rangle _{A}} O A {\displaystyle O_{A}} 0 {\displaystyle 0} 1 {\displaystyle 1} { | b j ⟩ B } {\displaystyle \{|b_{j}\rangle _{B}\}} | 0 ⟩ B {\displaystyle |0\rangle _{B}} | 1 ⟩ B {\displaystyle |1\rangle _{B}} O B {\displaystyle O_{B}} 0 {\displaystyle 0} 1 {\displaystyle 1} O A {\displaystyle O_{A}} [ 28]
愛麗絲測量可觀察量O A {\displaystyle O_{A}} | 0 ⟩ A | 1 ⟩ B {\displaystyle |0\rangle _{A}|1\rangle _{B}} O B {\displaystyle O_{B}} 愛麗絲測量可觀察量O A {\displaystyle O_{A}} | 1 ⟩ A | 0 ⟩ B {\displaystyle |1\rangle _{A}|0\rangle _{B}} O B {\displaystyle O_{B}} 由此可見，愛麗絲對子系統A測量可觀察量O A {\displaystyle O_{A}} EPR佯谬 。
由於愛麗絲測量得到的結果具有隨機性，愛麗絲不知道複合系統會怎樣塌縮，她不能夠以超光速傳遞這信息給鮑勃，因此，沒有違反因果性 （causality）。更詳盡內容，請參閱不可通訊定理 （no-communication theorem）。
混合態是由幾種純態依照統計機率 組成的量子態。假設一個量子系統處於純態| ψ 1 ⟩ {\displaystyle |\psi _{1}\rangle } | ψ 2 ⟩ {\displaystyle |\psi _{2}\rangle } | ψ 3 ⟩ {\displaystyle |\psi _{3}\rangle } w 1 {\displaystyle w_{1}} w 2 {\displaystyle w_{2}} w 3 {\displaystyle w_{3}} 密度算符 ρ {\displaystyle \rho }
ρ = d e f ∑ i w i | ψ i ⟩ ⟨ ψ i | {\displaystyle \rho \ {\stackrel {def}{=}}\ \sum _{i}w_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|} 注意到所有機率的總和為1：
∑ i w i = 1 {\displaystyle \sum _{i}w_{i}=1} 將先前對於純態的可分性所做的定義加以延伸，具有可分性的兩體混合態，其密度算符可以寫為[ 2] :131-132
ρ = ∑ i w i ρ i , A ⊗ ρ i , B {\displaystyle \rho =\sum _{i}w_{i}\rho _{i,A}\otimes \rho _{i,B}} 其中，w i {\displaystyle w_{i}} ρ i , A {\displaystyle \rho _{i,A}} 密度算符 ，ρ i , B {\displaystyle \rho _{i,B}}
假若兩體混合態可以以上述方程式表示，則這混合態具有可分性，其量子系統遵守貝爾不等式 ，不被量子糾纏；否則，這混合態具有不可分性，是糾纏態，其量子系統被量子糾纏，但並不一定會違反貝爾不等式[ 2] :131-132 。
一般而言，很不容易辨識任意混合態量子系統到底是否被量子糾纏。一般兩體案例已被證明為NP困難 [ 29] 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} 2 × 3 {\displaystyle 2\times 3} 佩雷斯-霍羅德基判據 （Peres-Horodecki criterion）是可分性的充要條件[ 30]
怎樣做實驗製成混合態？試想非偏振態 光子是怎樣製成的。一種方法是利用處於動力學平衡的系統，這系統擁有很多個微觀態 （microstate），伴隨每一個微觀態都有其發生的機率（波茲曼因子 ），它們會因熱力學漲落 （thermal fluctuation）從一個微觀態變換到另一個微觀態。熱力學隨機性可以解釋白熾燈怎樣發射非偏振光子。另一種方法是引入不確定性於系統的製備程序，例如，將光束通過表面粗糙的雙折射晶體 ，使得光束的不同部分獲得不同偏振。第三種方法應用EPR機制 ，有些放射性衰變會發射兩個光子朝著反方向移動離開，這糾纏系統的量子態為( | R , L ⟩ + | L , R ⟩ ) / 2 {\displaystyle (|R,L\rangle +|L,R\rangle )/{\sqrt {2}}} | R ⟩ {\displaystyle |R\rangle } | L ⟩ {\displaystyle |L\rangle } 右旋圓偏振態 、左旋圓偏振態 。整個系統是處於純態，但是每一個光子子系統的物理行為如同非偏振態光子，從分析光子子系統的約化密度算符，可以得到這結論。
約化密度算符的點子最先由保羅·狄拉克 於1930年提出[ 31] | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } 密度算符 ρ {\displaystyle \rho }
ρ = | ψ ⟩ ⟨ ψ | {\displaystyle \rho =|\psi \rangle \langle \psi |} 這密度算符也是投影算符 ，能夠將複合系統的希爾伯特空間H A B {\displaystyle H_{AB}} | ϕ ⟩ {\displaystyle |\phi \rangle } | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle }
ρ | ϕ ⟩ = | ψ ⟩ ⟨ ψ | ϕ ⟩ {\displaystyle \rho |\phi \rangle =|\psi \rangle \langle \psi |\phi \rangle } 取密度算符ρ {\displaystyle \rho } ρ A {\displaystyle \rho _{A}}
ρ A = d e f ∑ j ⟨ b j | B ( | ψ ⟩ ⟨ ψ | ) | b j ⟩ B = Tr B ( ρ ) {\displaystyle \rho _{A}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{j}\langle b_{j}|_{B}\left(|\psi \rangle \langle \psi |\right)|b_{j}\rangle _{B}={\hbox{Tr}}_{B}(\rho )} 例如，先前提到的糾纏態| ψ ⟩ A B = ( | 0 ⟩ A ⊗ | 1 ⟩ B − | 1 ⟩ A ⊗ | 0 ⟩ B ) / 2 {\displaystyle |\psi \rangle _{AB}=(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B})/{\sqrt {2}}} ρ A {\displaystyle \rho _{A}}
ρ A = 1 2 ( | 0 ⟩ A ⟨ 0 | A + | 1 ⟩ A ⟨ 1 | A ) {\displaystyle \rho _{A}={\frac {1}{2}}{\bigg (}|0\rangle _{A}\langle 0|_{A}+|1\rangle _{A}\langle 1|_{A}{\bigg )}} 如同預想，這公式演示出，子系統A的約化密度算符ρ A {\displaystyle \rho _{A}}
在量子統計力學 （quantum statistical mechanics）裏，馮紐曼熵 （von Neumann entropy）是經典統計力學關於熵 概念的延伸。對於約化密度矩陣 為ρ A {\displaystyle \rho _{A}} 馮紐曼熵 的定義為[ 32] :301
S 1 = d e f − ∑ i ω i log ω i {\displaystyle S_{1}\ {\stackrel {def}{=}}\ -\sum _{i}\omega _{i}\log \omega _{i}} 其中，ω i {\displaystyle \omega _{i}} ρ A {\displaystyle \rho _{A}} i {\displaystyle i} 本徵態 的本徵值 。[來源請求] 信息論 裏的夏農熵 相關[ 32]
由於一個被定義在A部份的算符O A {\displaystyle O_{A}} ⟨ O A ⟩ {\displaystyle \langle O_{A}\rangle }
⟨ O A ⟩ = ∑ i ω i ⟨ ω i | O A | ω i ⟩ {\displaystyle \langle O_{A}\rangle =\sum _{i}\omega _{i}\langle \omega _{i}|O_{A}|\omega _{i}\rangle } 可以視每一個本徵值ω i {\displaystyle \omega _{i}} | ω i ⟩ {\displaystyle |\omega _{i}\rangle } O A = 1 {\displaystyle O_{A}=1} ω i {\displaystyle \omega _{i}}
從定義的數學形式來看，假若探測到第i {\displaystyle i} 本徵態 的機率為ω i = 0 {\displaystyle \omega _{i}=0}
lim ω i → 0 ( ω i log ω i ) = 0 {\displaystyle \lim _{\omega _{i}\to 0}(\omega _{i}\log \omega _{i})=0} 假若ρ A {\displaystyle \rho _{A}} | ω i ⟩ {\displaystyle |\omega _{i}\rangle } ω i = 1 {\displaystyle \omega _{i}=1}
1 log 1 = 0 {\displaystyle 1\log 1=0} 因此從數學而言，馮紐曼熵的下極限為零。馮紐曼熵愈大表示ω i {\displaystyle \omega _{i}} N × N {\displaystyle N\times N} 1 / N {\displaystyle 1/N}
S 1 = − ∑ i ( 1 N log 1 N ) = log N {\displaystyle S_{1}=-\sum _{i}\left({\frac {1}{N}}\log {\frac {1}{N}}\right)=\log N} 馮紐曼熵可以被視為量子系統無序現象的一種度量，純態的馮紐曼熵最小，數值為0 {\displaystyle 0} log N {\displaystyle \log N}
倫伊熵 （Rényi entropy）以匈牙利數學家倫伊·阿爾弗雷德 （ 英语 ： Alfréd Rényi ） 馮紐曼熵 的一種推廣。定義為
S α = 1 1 − α log ( ∑ i ω i α ) {\displaystyle S_{\alpha }={\frac {1}{1-\alpha }}\log \left(\sum _{i}\omega _{i}^{\alpha }\right)} 其中，α ≥ 0 {\displaystyle \alpha \geq 0} α → 1 {\displaystyle \alpha \to 1} 倫伊熵 就是馮紐曼熵 。
糾纏能譜 或稱糾纏譜 (entanglement spectrum) 是一个由 Li 和 Haldane 在2008年提出的量子力学 概念[ 33] 糾纏熵 的推廣，用來分析量子多體系統的波函數 。糾纏能量 的數學定義是
ξ i = − ln ω i − ln Z {\displaystyle \xi _{i}=-\ln \omega _{i}-\ln Z} 其中Z {\displaystyle Z} ω i {\displaystyle \omega _{i}} 糾纏譜 就是所有糾纏能量 的集合{ ξ i } {\displaystyle \{\xi _{i}\}}
根據定義可推得馮紐曼熵 是糾纏能量 的期望值。
S 1 = ∑ i ω i ξ i + ln Z {\displaystyle S_{1}=\sum _{i}\omega _{i}\xi _{i}+\ln Z} 對於兩體純態系統，糾纏度量S ( ρ ) {\displaystyle S(\rho )} ω i {\displaystyle \omega _{i}} 量子糾纏與量子系統失序現象、量子信息喪失程度密切相關。量子糾纏越大，則子系統越失序，量子信息喪失越多；反之，量子糾纏越小，子系統越有序，量子信息喪失越少。因此，馮紐曼熵可以用來定量地描述量子糾纏，另外，還有其它種度量也可以定量地描述量子糾纏。對於兩體複合系統，這些糾纏度量較常遵守的幾個規則為[ 34] [ 2] :129-130
糾纏度量必須映射 從密度算符至正實數。 假若整個複合系統不處於糾纏態，則糾纏度量必須為零。 對於純態複合系統，糾纏度量必需約化為馮紐曼熵。 對於命定性 的定域運算與經典通訊 （local operation and classical communication）變換，糾纏度量不會增加。 對於兩體純態| ψ ⟩ A B {\displaystyle |\psi \rangle _{AB}} 施密特分解 （Schimidt decomposition）[ 2] :129-130
S A = S B = − ∑ i ω i log ω i {\displaystyle S_{A}=S_{B}=-\sum _{i}\omega _{i}\log \omega _{i}} 其中，S A {\displaystyle S_{A}} S B {\displaystyle S_{B}} ω i {\displaystyle \omega _{i}}
所以，整個複合系統的糾纏度量S ( ρ ) {\displaystyle S(\rho )}
S ( ρ ) = − ∑ i ω i log ω i {\displaystyle S(\rho )=-\sum _{i}\omega _{i}\log \omega _{i}} 對於兩體純態| ψ ⟩ A B {\displaystyle |\psi \rangle _{AB}}
ϱ = 1 N [ 1 0 0 ⋯ 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 ] {\displaystyle \varrho ={\frac {1}{N}}{\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\\\end{bmatrix}}} ， 則這兩體純態具有最大可能的糾纏度量S ( ρ ) = log N {\displaystyle S(\rho )=\log N} N × N {\displaystyle N\times N} N {\displaystyle N} 1 / N {\displaystyle 1/N} log N {\displaystyle \log N} 馮紐曼熵 和倫伊熵 都能夠量度量子糾纏，因為它能夠滿足某些量度量子糾纏必須遵守的判據。雖然如此，但是馮紐曼熵 具有熱力學熵 的相加性，倫伊熵 則沒有熱力學熵 的相加性。
至於混合態，目前量度量子糾纏並沒有好的方法。
假設一個量子系統是由幾個處於量子糾纏的子系統組成，而整體系統所具有的某種物理性質，子系統不能私自具有，這時，不能夠對子系統給定這種物理性質，只能對整體系統給定這種物理性質，它具有「不可分性」。不可分性不一定與空間有關，處於同一區域的幾個物理系統，只要彼此之間沒有任何糾纏，則它們各自可擁有自己的物理性質。物理學者艾雪·佩雷斯 給出不可分性的數學定義式，可以計算出整體系統到底具有可分性還是不可分性。假設整體系統具有不可分性，並且這不可分性與空間無關，則可將它的幾個子系統分離至兩個相隔遙遠的區域，這動作凸顯出不可分性與定域性的不同──雖然幾個子系統分別處於兩個相隔遙遠的區域，仍舊不可將它們個別處理。在EPR佯谬 裏，由於兩個粒子分別處於兩個相隔遙遠的區域，整體系統被認為具有可分性，但因量子糾纏，整體系統實際具有不可分性，整體系統所具有明確的自旋z分量，兩個粒子各自都不具有[ 2] :52-53 。
量子糾纏是一種物理資源，如同時間、能量、動量等等，能夠萃取與轉換。應用量子糾纏的機制於量子信息學 ，很多平常不可行的事務都可以達成：[ 35]
量子密鑰分發 能夠使通信雙方共同擁有一個隨機、安全的密鑰，來加密和解密信息，從而保證通信安全。在量子密鑰分發機制裏，給定兩個處於量子糾纏的粒子，假設通信雙方各自接受到其中一個粒子，由於測量其中任意一個粒子會摧毀這對粒子的量子糾纏，任何竊聽動作都會被通信雙方偵測發覺。密集編碼 （superdense coding）應用量子糾纏機制來傳送信息，每兩個經典位元 的信息，只需要用到一個量子位元 ，這科技可以使傳送效率加倍。量子隱形傳態 應用先前發送點與接收點分享的兩個量子糾纏子系統與一些經典通訊技術來傳送量子態或量子信息（編碼為量子態）從發送點至相隔遙遠距離的接收點[ 36] 量子算法 （quantum algorithm）的速度時常會勝過對應的經典算法很多。但是，在量子算法裏，量子糾纏所扮演的角色，物理學者尚未達成共識。有些物理學者認為，量子糾纏對於量子算法的快速運算貢獻很大，但是，只倚賴量子糾纏並無法達成快速運算[ 35] :93 。在量子計算機 體系結構裏，量子糾纏扮演了很重要的角色。例如，在一次性量子計算機 （one-way quantum computer）的方法裏，必須先製備出一個多體糾纏態，通常是圖形態 （graph state）或簇態 （cluster state），然後藉著一系列的測量來計算出結果。 以下列出一些常遇到的糾纏態：
貝爾態 （Bell state）有兩個量子位元| ⟩ A {\displaystyle |\ \rangle _{A}} | ⟩ B {\displaystyle |\ \rangle _{B}}
| Φ ± ⟩ = 1 2 ( | 0 ⟩ A ⊗ | 0 ⟩ B ± | 1 ⟩ A ⊗ | 1 ⟩ B ) {\displaystyle |\Phi ^{\pm }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}\pm |1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B})} | Ψ ± ⟩ = 1 2 ( | 0 ⟩ A ⊗ | 1 ⟩ B ± | 1 ⟩ A ⊗ | 0 ⟩ B ) {\displaystyle |\Psi ^{\pm }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}\pm |1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B})} 這四個純態都是最大糾纏態（根據馮紐曼熵計算），它們共同形成規範正交基 在兩個量子位元的希爾伯特空間 裏。貝爾定理 主要使用貝爾態來做出重要論述。
GHZ態 （GHZ state）的量子位元數M {\displaystyle M}
| G H Z ⟩ = | 0 ⟩ ⊗ M + | 1 ⟩ ⊗ M 2 {\displaystyle |\mathrm {GHZ} \rangle ={\frac {|0\rangle ^{\otimes M}+|1\rangle ^{\otimes M}}{\sqrt {2}}}} 假若M = 2 {\displaystyle M=2} | Φ + ⟩ {\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle } M = 3 {\displaystyle M=3} 量子三元 （qutrit）是量子位元的推廣。量子三元的三個基態分別為| 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } | 2 ⟩ {\displaystyle |2\rangle } 自旋 為1的粒子，其自旋自由度有三，所對應的本徵值 為+1, 0, -1，此種粒子可用來製備量子三元。
NOON態 （NOON state）是兩個項目的量子疊加，一個項目是N {\displaystyle N} a {\displaystyle a} 0 {\displaystyle 0} b {\displaystyle b} 0 {\displaystyle 0} a {\displaystyle a} N {\displaystyle N} b {\displaystyle b}
| ψ N O O N ⟩ = ( | N ⟩ a | 0 ⟩ b + | 0 ⟩ a | N ⟩ b ) / 2 {\displaystyle |\psi _{\mathrm {NOON} }\rangle =(|N\rangle _{a}|0\rangle _{b}+|0\rangle _{a}|N\rangle _{b})/{\sqrt {2}}} 在量子計量學 （quantum metrology）裏，光學干涉儀 利用NOON態來準確地量度相位 [ 37] :23-26 。
Ca40 激發態的兩種衰變路徑，其分別對應的兩個量子態由於量子疊加，衰變過程中發射的兩個光子被糾纏在一起。在此圖中，淡綠色、淡藍色波形線分別表示551.3nm波長與422.7nm波長的光子，j {\displaystyle j} m {\displaystyle m} 量子糾纏通常是因為亞原子粒子直接耦合而產生的。早期，原子級聯 （ 英语 ： Collision cascade ） ( | L ⟩ 1 | L ⟩ 2 + | R ⟩ 1 | R ⟩ 2 ) / 2 {\displaystyle (|L\rangle _{1}|L\rangle _{2}+|R\rangle _{1}|R\rangle _{2})/{\sqrt {2}}} | L ⟩ {\displaystyle |L\rangle } | R ⟩ {\displaystyle |R\rangle } 1 {\displaystyle 1} 2 {\displaystyle 2} [ 38] :18-19 。
現今最常用的方法之一是自發參量下轉換 。這自發參量下轉換方法的一種實現是照射激光束 於偏硼酸鋇 晶體（beta-barium borate crystal，一種非線性晶體 ），大多數光子會穿透過晶體，只有少數光子，會因第二型自發參量下轉換，生成一對一對的孿生光子。這些孿生光子對的直線軌道分別包含於兩個圓錐面，如引言段落的繪圖所示，一個圓錐面包含水平偏振軌道，另一個圓錐面包含垂直偏振軌道，而兩個圓錐面的交集是兩條直線，軌道為這兩條直線的兩個光子可以具有水平偏振或垂直偏振，假若一個具有水平偏振，則另一個具有垂直偏振；假若一個具有垂直偏振，則另一個具有水平偏振。假若不做測量，則不能知道到底哪個光子具有水平偏振，哪個光子具有垂直偏振，因此，這兩個偏振 相互垂直的光子糾纏在一起，糾纏態為( | H ⟩ 1 | V ⟩ 2 + | V ⟩ 1 | H ⟩ 2 ) / 2 {\displaystyle (|H\rangle _{1}|V\rangle _{2}+|V\rangle _{1}|H\rangle _{2})/{\sqrt {2}}} | H ⟩ {\displaystyle |H\rangle } | V ⟩ {\displaystyle |V\rangle } [ 39] :205 。
在凝聚態 量子計算機裏，最具有潛力的候選之一是量子點 科技。量子點是一種半導體 奈米晶體 ，能夠束縛激子 於微小三維空間內。激子是一對電子與電洞 因靜電庫侖作用 相互吸引而構成的束縛態。假若電子與電洞復合，造成激子衰變，過剩能量會以光子形式發射釋出。在量子點裏，也可能找到雙激子 （biexciton），這是由兩個電子與兩個電洞組成的束縛態。雙激子會先發射一個光子，衰變成一個激子，然後再發射一個光子，衰變至基態。假若第一個光子具有水平偏振，則第二個光子也具有水平偏振，否則，兩個光子都具有垂直偏振。這兩種過程疊加而生成一對偏振糾纏的光子，其糾纏態為( | H ⟩ 1 | H ⟩ 2 + | V ⟩ 1 | V ⟩ 2 ) / 2 {\displaystyle (|H\rangle _{1}|H\rangle _{2}+|V\rangle _{1}|V\rangle _{2})/{\sqrt {2}}} [ 38] :20-21 [ 40]
在光学谐振腔 內，里德伯原子 會因拉比振動 發射或吸收光子的機制，應用這機制來交換光子，兩個或三個里德伯原子可以形成糾纏態[ 41]
幾個囚禁在離子阱 內的囚禁離子 可以被糾纏在一起。給定離子的兩個內態分別為基態| g ⟩ {\displaystyle |g\rangle } | e ⟩ {\displaystyle |e\rangle } 諧振子 位勢 內的離子會擁有離散的振動能級n {\displaystyle n} | n ⟩ {\displaystyle |n\rangle } 邊帶頻率 （sandband frequency）Ω ± ω n {\displaystyle \Omega \pm \omega _{n}} 激光 於離子，可以將內態與振動能級態糾纏在一起，糾纏態為| g , n ⟩ + | e , n ± 1 ⟩ {\displaystyle |g,n\rangle +|e,n\pm 1\rangle } Ω {\displaystyle \Omega } | g ⟩ {\displaystyle |g\rangle } | e ⟩ {\displaystyle |e\rangle } 拉比頻率 ，ω n {\displaystyle \omega _{n}} n {\displaystyle n} n ± 1 {\displaystyle n\pm 1} [ 42]
多電子原子的電子殼層總是由糾纏電子組成。 只有考慮電子糾纏才能計算 出正確的電離能[ 43]
亞瑟·愛丁頓 認為，能量的緩慢散佈是時間流向不可逆反的證據。但是，從基本的物理定律，並無法觀測到時間流向；順著時間流向或逆著時間流向，這些物理定律都能同樣成立，這引起物理學者極大的困惑，他們只能從熱力學的統計分佈給出時間流向的理論論述。物理學者賽斯·勞埃德 （Seth Lloyd）在1988年博士論文裏猜想，量子糾纏是時間流向的源頭；時間的流向是關聯遞加的方向，這機制源自於量子糾纏。起初，這點子並未受到學術界重視。後來，越來越多物理學者在這方面有所突破，他們發現了時間流向的更基礎源頭，微觀粒子彼此相互作用產生量子糾纏，因此形成能量散佈與平衡的現象，關於微觀粒子的信息通過量子糾纏機制，從一至十、從十至百，逐步洩露到整個環境，因此顯示出時間流向[ 44]
有些物理學者主張，時間是一種從量子糾纏衍生出來的凸顯現象[ 45] [ 46] 惠勒－德威特方程式 嘗試將量子力學與廣義相對論 連結在一起，但是，這方程式並沒有將時間納入考量，因此引發了時間問題 （problem of time）。直到1983年為止，這是學術界一大難題。在那年，檔恩·佩吉 （Don Page）與威廉·烏特斯 （William Wooters）找到一個建基於量子糾纏現象的解答，說明怎樣用量子糾纏來測量時間[ 47]
2013年，義大利都靈 的國立計量研究院（Istituto Nazionale di Ricerca Metrologica）實驗團隊完成實驗檢試佩吉與烏特斯的點子，證實這點子值得進一步研究[ 47]
洛伦兹蟲洞（史瓦西蟲洞）的電腦繪圖。 將兩個黑洞 糾纏在一起，然後再將它們分離，就可製成一個蟲洞 連結在它們之間[ 48] 史丹福大學 教授李奧納特·色斯金 與普林斯頓高等研究院 教授胡安·馬爾達西那 共同提出了ER=EPR 猜想，认为兩個量子糾纏的粒子彼此之間的連結是一個蟲洞[ 49] [ 50] 弦理論 來檢視，糾纏兩個夸克 也會有同樣的作用[ 51] [ 52]
這些理論結果為一些新理論提供支持。這些新理論表明，引力 與它的物理性質不是基礎的，而是來自於量子糾纏。雖然量子力學正確地描述在微觀層次的相互作用，它尚未能夠解釋引力。量子引力理論應該能夠演示出古典引力不是基礎的，就如同阿爾伯特·愛因斯坦 所提議，而是從更基礎的量子現象產生[ 51]
施溫格效應 （Schwinger effect）從真空 生成的糾纏粒子對，處於電場 的作用下，可以被捕獲，不讓它們湮滅回真空。這些被捕獲的粒子相互糾纏，可以映射到閔可夫斯基時空 。閔可夫斯基時空 的意思為三維的空間和一維的時間，也被人們常誤會為四維空間 。與之不同，有些物理學者認為，引力存在於第五維。按照愛因斯坦的定律，將時空彎曲與變形[ 51]
根據全息原理 （holographic principle），所有在第五維的事件可以變換為在其它四維的事件[ 53] [ 51]
以兩顆向相反方向移動但速率 相同的電子 為例，即使一顆行至太陽 邊，一顆行至冥王星 邊，在如此遙遠的距離下，它們仍保有關聯性（correlation）；亦即當其中一顆被操作（例如量子測量 ）而狀態發生變化，另一顆也會即時發生相應的狀態變化。如此現象導致了鬼魅似的超距作用 之猜疑，彷彿兩顆電子擁有超光速 的秘密通信一般，似與狹義相對論 中所謂的定域性原理 相違背。這也是當初阿爾伯特·愛因斯坦 與同僚玻理斯·波多斯基 、納森·羅森 於1935年提出的EPR佯谬 來質疑量子力學 完備性 的理由。
具有量子纏結的兩顆電子——電子1和電子2，其自旋 性質之纏結態可以下面式子為例：
Ψ = ( | 00 ⟩ 12 + | 11 ⟩ 12 ) / 2 = ( | 0 ⟩ 1 ⊗ | 0 ⟩ 2 + | 1 ⟩ 1 ⊗ | 1 ⟩ 2 ) / 2 {\displaystyle \Psi =(|00\rangle _{12}+|11\rangle _{12})/{\sqrt {2}}=(|0\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}+|1\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2})/{\sqrt {2}}} 無法寫成| ψ ⟩ 1 ⊗ | ϕ ⟩ 2 {\displaystyle |\psi \rangle _{1}\otimes |\phi \rangle _{2}} | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } z {\displaystyle z} | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } z {\displaystyle z}
太陽邊的科學家決定對電子1做投影式量子測量 ，其測到的隨機性結果不是| 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } ( | 00 ⟩ 12 + | 11 ⟩ 12 ) / 2 {\displaystyle (|00\rangle _{12}+|11\rangle _{12})/{\sqrt {2}}} | 00 ⟩ 12 {\displaystyle |00\rangle _{12}} | 0 ⟩ 1 | 0 ⟩ 2 {\displaystyle |0\rangle _{1}|0\rangle _{2}} | 0 ⟩ 1 ⊗ | 0 ⟩ 2 {\displaystyle |0\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}} | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } | 00 ⟩ {\displaystyle |00\rangle }
注意到：| 0 ⟩ 1 ⊗ | 0 ⟩ 2 {\displaystyle |0\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}}
^ 經典關聯通常出自於某種守恆定律，例如，當零自旋π介子衰變成一個電子與一個正電子時，它們會遵守自旋守恆定律，從沿著同樣軸向測量到的電子自旋可以預言正電子自旋[ 11] :30-31 。 ^ 假設愛麗絲先做測量電子的自旋，然後鮑勃再做測量，則當愛麗絲做測量之時刻，兩個粒子彼此之間的量子關聯也會變為經典關聯[ 11] :30-31 。 ^ 複合系統是由多個粒子組成的系統。在粒子物理學裏，除了基本粒子以外，其它所有的粒子都是複合系統；在多世界詮釋 裏，整個宇宙是一個特大的波函數。所以，在區分複合系統與非複合系統方面，必須就各個案例而論。例如，在雙縫實驗 裏，照射粒子束於擋板的兩條狹縫，移動通過狹縫的粒子內部結構並沒有因此改變，並不是實驗參數，只有整個粒子的位置、動量等等是實驗參數，因此可以視粒子為非複合系統。但是，假設照射光子束於粒子，想要知道粒子是通過兩條狹縫中的哪一條狹縫，這偵測動作會造成光子與粒子短暫時間耦合，因此必須將這粒子與光子視為一個複合系統。 ^ quantum entanglement - 量子糾纒；量子纏結 . 國家教育研究院雙語詞彙、學術名詞暨辭書資訊網. [2022-10-08 ] . （原始内容存档 于2022-10-14）. ^2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 Laloe, Franck, Do We Really Understand Quantum Mechanics, Cambridge University Press, 2012,ISBN 978-1-107-02501-1 ^3.0 3.1 Einstein A, Podolsky B, Rosen N.Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete? . Phys. Rev. 1935,47 (10): 777–780.Bibcode:1935PhRv...47..777E doi:10.1103/PhysRev.47.777 ^4.0 4.1 Schrödinger E; Born, M. Discussion of probability relations between separated systems. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1935,31 (4): 555–563.doi:10.1017/S0305004100013554 ^ Schrödinger E; Dirac, P. A. M. Probability relations between separated systems. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1936,32 (3): 446–452.doi:10.1017/S0305004100019137 ^ 75 years of entanglement - Science News . [13 October 2014] . （原始内容 存档于2012-10-26）. ^ Juan Yin; et al.Bounding the speed of `spooky action at a distance . Phys. Rev. Lett. 110, 260407. 2013 [2013-09-11 ] . （原始内容存档 于2021-04-27）. ^ Chinese Physicists Measure Speed of“Spooky Action At a Distance” . MIT Technology Review. March 7, 2013 [2013-09-11 ] . （原始内容 存档于2019-07-01）. ^ Matson, John.Quantum teleportation achieved over record distances . Nature. 13 August 2012 [2013-09-11 ] . （原始内容存档 于2021-04-22）. ^10.0 10.1 10.2 10.3 10.4 Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall, 2004,ISBN 0-13-111892-7 ^11.0 11.1 11.2 Maximilian A. Schlosshauer. Decoherence And the Quantum-To-Classical Transition. Springer Science & Business Media. 1 January 2007.ISBN 978-3-540-35773-5 ^ K. C. Lee, M. R. Sprague, B. J. Sussman, J. Nunn, N. K. Langford, X.-M. Jin, T. Champion, P. Michelberger, K. F. Reim, D. England, D. Jaksch, I. A. Walmsley.Entangling macroscopic diamonds at room temperature . Science. 2 December 2011,334 (6060): 1253–1256 [2013-06-16 ] .doi:10.1126/science.1211914 存档 于2015-11-13）.简明摘要 . ^13.0 13.1 Kumar, Manjit.Quantum: Einstein, Bohr, and the Great Debate about the Nature of Reality Reprint. W. W. Norton & Company. 2011: 305–306.ISBN 978-0393339888 ^ E. Schrödinger. Die gegenwärtige Situation in der Quantenmechanik. Naturwissenschaften. 1935,23 : 807 – 812.doi:10.1007/BF01491891 ^ E. Schrödinger. Discussion of Probability Relations between Separated Systems. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1935,31 (4): 555 – 563.doi:10.1017/S0305004100013554 ^ Alisa Bokulich, Gregg Jaeger,Philosophy of Quantum Information and Entanglement , Cambridge University Press, 2010, xv. ^ Letter from Einstein to Max Born, 3 March 1947;The Born-Einstein Letters; Correspondence between Albert Einstein and Max and Hedwig Born from 1916 to 1955 , Walker, New York, 1971. (cited inM. P. Hobson; et al, Quantum Entanglement and Communication Complexity (1998), SIAM J. Comput., 1998,30 (6): 1829–1841 ^ Bell, John.On the Einstein Podolsky Rosen Paradox , Physics1 3, 195-200, Nov. 1964 ^ Freedman, Stuart J.; Clauser, John F. Experimental Test of Local Hidden-Variable Theories. Physical Review Letters. 1972,28 (14): 938–941.Bibcode:1972PhRvL..28..938F doi:10.1103/PhysRevLett.28.938 ^ A. Aspect, P. Grangier, and G. Roger. Experimental Realization of Einstein-Podolsky-Rosen-Bohm Gedankenexperiment: A New Violation of Bell's Inequalities. Physical Review Letters. 1982,49 (2): 91–94.Bibcode:1982PhRvL..49...91A doi:10.1103/PhysRevLett.49.91 ^ Aspect A.Bell's inequality test: more ideal than ever (PDF) . Nature. 1999-03-18,398 (6724): 189–90 [2010-09-08 ] .Bibcode:1999Natur.398..189A doi:10.1038/18296 存档 (PDF) 于2011-05-14）. ^ Castelvecchi, Davide.China's quantum satellite clears major hurdle on way to ultrasecure communications . Nature News. Nature. 2017-06-15 [2017-06-16 ] . （原始内容存档 于2019-02-06）. ^ C. F. Ockeloen-Korppi; et al.Stabilized entanglement of massive mechanical oscillators . Nature. 2018-04-25,556 : 478–482 [2018-05-02 ] .doi:10.1038/s41586-018-0038-x 存档 于2021-05-06）. ^ Haroche, Serge; Raimond, Jean-Michel.Exploring the Quantum: Atoms, Cavities, and Photons 1st. Oxford University Press. 2006.ISBN 978-0198509141 ^ Cirel'son, B. S. Quantum generalizations of Bell's inequality. Letters in Mathematical Physics. 1980,4 (2): 93–100.Bibcode:1980LMaPh...4...93C doi:10.1007/BF00417500 ^ H. Zbinden, et.al. Experimental test of nonlocal quantum correlations in relativistic configurations. Phys. Rev. A. 2001.doi:10.1103/PhysRevA.63.022111 ^ Some of the history of both referenced Zbinden, et. al. experiments is provided in Gilder, L.,The Age of Entanglement , Vintage Books, 2008, pp. 321-324. ^ Nielsen, Michael A.; Chuang, Isaac L.Quantum Computation and Quantum Information .Cambridge University Press . 2000:112 –113.ISBN 0-521-63503-9 ^ Gurvits, L.Classical deterministic complexity of Edmonds' Problem and quantum entanglement . Proceedings of the thirty-fifth annual ACM symposium on Theory of computing. 2003:10 .ISBN 1-58113-674-9doi:10.1145/780542.780545 ^ Horodecki M, Horodecki P, Horodecki R.Separability of mixed states: necessary and sufficient conditions . Physics Letters A. 1996,223 : 210.Bibcode:1996PhLA..223....1H arXiv:quant-ph/9605038 doi:10.1016/S0375-9601(96)00706-2 ^ Dirac, P. A. M. Note on Exchange Phenomena in the Thomas Atom. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 2008,26 (3): 376.Bibcode:1930PCPS...26..376D doi:10.1017/S0305004100016108 ^32.0 32.1 Bengtsson, Ingemar; Zyczkowski, Karol. Geometry of Quantum States: An Introduction to Quantum Entanglement 1st. ^ Hui Li and F. D. M. Haldane, Entanglement Spectrum as a Generalization of Entanglement Entropy: Identification of Topological Order in Non-Abelian Fractional Quantum Hall Effect States,Phys. Rev. Lett.101 , 010504 (2008) ^ Plenio; Virmani. An introduction to entanglement measures. Quant. Inf。. Comp. 2007,1 : 1–51.Bibcode:2005quant.ph..4163P arXiv:quant-ph/0504163 ^35.0 35.1 Horodecki, Ryszard; et al.Quantum Entanglement . Review of Modern Physics. 2009,81 (2): 865–942 [2013-09-16 ] .doi:10.1103/RevModPhys.81.865 存档 于2021-04-28）. ^ Bouwmeester, Dik; Pan, Jian-Wei; Mattle, Klaus; Eibl, Manfred; Weinfurter, Harald; Zeilinger, Anton.Experimental Quantum Teleportation (PDF) . Nature. 1997,390 (6660): 575–579 [2013-09-16 ] .Bibcode:1997Natur.390..575B S2CID 4422887 arXiv:1901.11004 doi:10.1038/37539 存档 (PDF) 于2017-07-21）. ^ Quantum Entanglement and Information Processing: Lecture Notes of the Les Houches Summer School 2003. Elsevier. 2004-11-05.ISBN 978-0-08-053542-5 ^38.0 38.1 Benoît Deveaud; Antonio Quattropani; Paolo Schwendimann. Quantum Coherence in Solid State Systems. IOS Press. 2009-01-01.ISBN 978-1-60750-039-1 ^ Anton Zeilinger. The super-source and closing the communication loophole. Dance of the Photons: From Einstein to Quantum Teleportation. Farrar, Straus and Giroux. 12 October 2010.ISBN 978-1-4299-6379-4 ^ Pfanner, Gernot; et al.Entangled photon sources based on semiconductor quantum dots: The role of pure dephasing (PDF) . Phys. Rev. B: 195410. [2013-09-24 ] . （原始内容存档 (PDF) 于2021-04-28）. ^ Raimond, J. M.; et al,Manipulating quantum entanglement with atoms and photons in a cavity (PDF) , Reviews of Modern Physics, 2001,73 (3): 565–582 [2013-09-25 ] ,doi:10.1103/RevModPhys.73.565 存档 (PDF) 于2015-07-23） ^ Blatt, Rainer; Wineland, David,Entangled states of trapped atomic ions (PDF) , Nature, 2008,453 : 1008–1015 [2013-09-25 ] ,doi:10.1038/nature07125 存档 (PDF) 于2013-09-27） ^ Frank Jensen:Introduction to Computational Chemistry. Wiley, 2007,ISBN 978-0-470-01187-4 . ^ New Quantum Theory Could Explain the Flow of Time . WIRED. [13 October 2014] . （原始内容存档 于2021-04-28）. ^ [1310.4691] Time from quantum entanglement: an experimental illustration . [13 October 2014] . （原始内容存档 于2021-04-28）. ^ Entangled toy universe shows time may be an illusion . [13 October 2014] . （原始内容存档 于2015-07-02）. ^47.0 47.1 Quantum Experiment Shows How Time ‘Emerges’ from Entanglement . Medium. [13 October 2014] . （原始内容存档 于2017-06-03）. ^ Maldacena, Juan.Entanglement and the Geometry of Spacetime . Institute Letter. Institute of Advanced Science. Fall 2013 [May 22, 2014] . （原始内容 存档于2014年5月18日）. ^ Maldacena, Juan; Susskind, Leonard. Cool horizons for entangled black holes. Fortsch. Phys. 2013,61 (9): 781–811.Bibcode:2013ForPh..61..781M arXiv:1306.0533 doi:10.1002/prop.201300020 Lorentzian wormholes are not traversable1 ^ Cowen, Ron.The quantum source of space-time . Nature. 16 November 2015,527 (7578) [2015-11-21 ] . （原始内容存档 于2021-04-28）. ^51.0 51.1 51.2 51.3 You can't get entangled without a wormhole: Physicist finds entanglement instantly gives rise to a wormhole . Sciencedaily.com. 2013-12-05 [2013-12-09 ] .doi:10.1103/PhysRevLett.111.211603 存档 于2021-04-28）. ^ Sonner, Julian.Holographic Schwinger effect and the geometry of entanglement (PDF) . Physical Review Letters. 2013,111 (21) [2014-02-09 ] .doi:10.1103/PhysRevLett.111.211603 存档 (PDF) 于2019-07-01）. ^ ' Holographic Duality' Hints at Hidden Subatomic World - Wired Science [2013-12-09 ] . （原始内容存档 于2014-03-16）.
