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逻辑与

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文氏图A∧B{\displaystyle A\land B}

在逻辑和数学中，逻辑合取或逻辑与或且是一个二元逻辑運算符。如果其两个变量的真值都为“真”，其结果为“真”，否则其结果为“假”。[1][2][3]

相关名称

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基本符号：∧{\displaystyle \land }
英文名：logical conjunction
中文名：逻辑与，合取，交集，按位与，逻辑乘，与门，...
命题逻辑中的二元连接词合取，是一个两元算子，集合论中的交集算子，二进制中的逻辑乘算子，按位与（Bitwise AND），逻辑门中的“与”门（AND gate），编程语言中的&或and运算符等等。
逻辑联结词
NOT¬A,−A,A¯,∼A{\displaystyle \neg A,-A,{\overline {A}},\sim A}
ANDA∧B,A⋅B,AB,A & B,A && B{\displaystyle A\land B,A\cdot B,AB,A\ \&\ B,A\ \&\&\ B}
NANDA∧¯B,A↑B,A∣B,A⋅B¯{\displaystyle A{\overline {\land }}B,A\uparrow B,A\mid B,{\overline {A\cdot B}}}
ORA∨B,A+B,A∣B,A∥B{\displaystyle A\lor B,A+B,A\mid B,A\parallel B}
NORA∨¯B,A↓B,A+B¯{\displaystyle A{\overline {\lor }}B,A\downarrow B,{\overline {A+B}}}
XNORA⊙B,A∨¯B¯{\displaystyle A\odot B,{\overline {A{\overline {\lor }}B}}}
└equivalentA≡B,A⇔B,A⇋B{\displaystyle A\equiv B,A\Leftrightarrow B,A\leftrightharpoons B}
XORA∨_B,A⊕B{\displaystyle A{\underline {\lor }}B,A\oplus B}
└nonequivalentA≢B,A⇎B,A↮B{\displaystyle A\not \equiv B,A\not \Leftrightarrow B,A\nleftrightarrow B}
impliesA⇒B,A⊃B,A→B{\displaystyle A\Rightarrow B,A\supset B,A\rightarrow B}
nonimplication (NIMPLY)A⇏B,A⊅B,A↛B{\displaystyle A\not \Rightarrow B,A\not \supset B,A\nrightarrow B}
converseA⇐B,A⊂B,A←B{\displaystyle A\Leftarrow B,A\subset B,A\leftarrow B}
converse nonimplication（英语：Converse nonimplication）A⇍B,A⊄B,A↚B{\displaystyle A\not \Leftarrow B,A\not \subset B,A\nleftarrow B}
相关概念
应用

基本定义

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逻辑与（logical conjunction）是两个逻辑变量的一种运算，经常是两个命题的运算。它满足：当且仅当其两个变量的真值都为真时，其结果为真。
逻辑与∧{\displaystyle \land }是个二元算子，运算结果取值为真的条件是，当且仅当两个命题的取值都真时。命题是取值要么是真要么是假的二值语句，没有第三种取值，或说值域为{真，假}或是{T,F}或是{0,1}。未知真又未知假的语句是猜想；既真又假，既不真又不假的语句是悖论。
复合命题 A∧B{\displaystyle ~A\land B}，读作A合取B，在GCT逻辑中，也叫联言命题。也有称为合取命题的。

真值表定义

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A与B的真值表（也写作A∧{\displaystyle \land }B（逻辑学），A && B（计算机科学），或A⋅{\displaystyle \cdot }B（电子学））。

 A∧B{\displaystyle ~A\land B} 的真值表:

输入输出
A{\displaystyle A}B{\displaystyle B}A∧B{\displaystyle A\land B}
真真真
真假假
假真假
假假假

推理規則

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合成与分解规则

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合取引入规则

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合取引入规则（∧+）（conjunction introduction rule）或联言推理的合成式，是经典逻辑中简单且有效的论证形式。这个论证形式有两个前提，A和B，可以直观地推出他们的合取。

其形式如下：

A,
B.
因此A且B.

形式化为：

A,{\displaystyle \mathbf {A} ,}
B{\displaystyle \mathbf {B} }
⊢A∧B{\displaystyle \vdash A\land B}

下面的例子是满足联言推理的合成式的论证：

小橘子是正妹。
小橘子是車神。
因此小橘子是正妹也是車神。

另一個例子如下：

1小于2
6大于5
因此，1小于2，而且6大于5。

還有一個例子如下：

有一些PSPACE問題不是NL問題
有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題
因此有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題，而且有一些PSPACE問題不是NL問題

合取消去规则

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合取消去规则（∧-）（Conjunction elimination rule）或联言推理的分解式，是另一个在经典逻辑中简单且有效的论证形式。从任何合取式中都可以直观地推论出两个前提中的任意一个。

其形式如下：

A且B。
因此A。

...或者，

A且B.
因此B.

用逻辑运算符描述为，

形式化为:

A∧B{\displaystyle A\land B}
⊢A{\displaystyle \vdash A}

或者,

A∧B{\displaystyle A\land B}
⊢B{\displaystyle \vdash B}

例如:

有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題，而且有一些PSPACE問題不是NL問題
因此有一些PSPACE問題不是NL問題

或者

有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題，而且有一些PSPACE問題不是NL問題
因此有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題

另一個例子如下：

1小于2，而且6大于5。
因此1小于2。

或者

1小于2，而且6大于5。
因此6大于5。

還有一個例子如下：

小橘子是正妹也是車神。
因此小橘子是正妹。

或者

小橘子是正妹也是車神。
因此小橘子是車神。

性质

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逻辑与满足以下性质：

(A∨(B∧C))≡((A∨B)∧(A∨C)){\displaystyle (A\lor (B\land C))\equiv ((A\lor B)\land (A\lor C))}
(A→B)→((A∧C)→(B∧C)){\displaystyle (A\rightarrow B)\rightarrow ((A\land C)\rightarrow (B\land C))}
  • 保真性: 所有变量的真值皆为“真”的命题在逻辑与运算后的结果为真。
  • 保假性: 所有变量的真值皆为“假”的命题在逻辑与运算后的结果为假。

如果用二进制来表达真（1）和假（0），逻辑与运算与算术乘法运算一致。

计算机科学中的运用

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与门

位运算

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逻辑与常在位运算中使用，比如：

  • 0 and 0 = 0
  • 0 and 1 = 0
  • 1 and 0 = 0
  • 1 and 1 = 1
  • 1100 and 1010 = 1000

编程中的使用

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在高等计算机编程中，逻辑合取“与”通常由内置算符and或&号来表达。很多编程语言还提供与逻辑与相应的短路求值控制结构。

布尔“与”也在SQL的运算符中使用。有些数据库区分大小写，需要"AND"符号。

在计算机科学中，AND运算符可以用来构造位屏蔽，以选择二进制序列的一部分。比如10011101 AND 00001000 = 00001000用来取二进制序列的第五位。

交集运算

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集合论中的交运算是用逻辑与来定义的：x∈A∩B{\displaystyle x\in A\cap B} 当且仅当(x∈A)∧(x∈B){\displaystyle (x\in A)\land (x\in B)}。因此逻辑与有很多与交集运算相同的性质，诸如结合律，交换律，分配律，及德·摩根定律。

註釋

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  1. ^Comprehensive List of Logic Symbols. Math Vault. 2020-04-06 [2020-09-02]. （原始内容存档于2021-05-13）（美国英语）. 
  2. ^Conjunction, Negation, and Disjunction. philosophy.lander.edu. [2020-09-02]. （原始内容存档于2021-04-21）. 
  3. ^2.2: Conjunctions and Disjunctions. Mathematics LibreTexts. 2019-08-13 [2020-09-02]. （原始内容存档于2020-11-05）（英语）. 

参见

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相关网页

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维基共享资源上的相关多媒体资源：逻辑与
基本概念
定理
（列表（英语：Category:Theorems in the foundations of mathematics）及悖论（英语：Paradoxes of set theory））
逻辑
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集合种类
映射与势
集合理论
句法（英语：Syntax (logic)）及语言
公理系统示例
（列表（英语：List of first-order theories））
证明论
模型论
可计算性理论
其他相关

template:Common logical symbols（英语：template:Common logical symbols）

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