在数学中，特别是在算子理论和C*-代数理论中，连续函数演算是一种允许将连续函数作用于C*-代数中的正规元的函数演算。

在进阶的理论中，这种函数演算的应用非常自然，以至于往往它甚至不会被提及。毫不夸张地说，连续函数演算将C*-代数与更一般的巴拿赫代数区分了开来，对于后者只能定义全纯函数演算。

对于巴拿赫代数${\displaystyle \mathcal{A}}$ 中的成员${\displaystyle a}$ ，若要将其谱${\displaystyle \sigma (a)}$ 上的多项式函数演算推广到谱上的连续函数，似乎有一个明显的思路：依照魏尔施特拉斯逼近定理用多项式来逼近连续函数，然后将多项式中的数换成${\displaystyle \mathcal{A}}$ 中成员${\displaystyle a}$ ，再证明这些${\displaystyle a}$ 的多项式序列收敛为${\displaystyle \mathcal{A}}$ 中元素。

谱集${\displaystyle \sigma (a)\subset \mathbb{C}}$ 上的连续函数由${\displaystyle z}$ 和${\displaystyle \overline{z}}$ 的形如${\displaystyle p(z,\overline{z})=\sum _{k,l=0}^N{c}_{k,l}{z}^k{\overline{z}}^l\left(c_{k,l}\in \mathbb{C}\right)}$ 的多项式来逼近，其中${\displaystyle \overline{z}}$ 表示${\displaystyle z}$ 的复共轭，而复共轭是复数上的一个對合。在将${\displaystyle z}$ 替换为${\displaystyle a}$ 时，为使${\displaystyle \overline{z}}$ 也有对应，须考虑${\displaystyle \mathcal{A}}$ 为巴拿赫*-代数，即配备了一个对合运算${\displaystyle \ast }$ 的巴拿赫代数，这时${\displaystyle \overline{z}}$ 就被替换为${\displaystyle a^{\ast }}$ 。由于多项式环${\displaystyle \mathbb{C}[z,\overline{z}]}$ 是交换环，为得到一个${\displaystyle \mathbb{C}[z,\overline{z}]\to \mathcal{A}}$ 的代數同態，须限制在${\displaystyle \mathcal{A}}$ 中的正规元（即满足${\displaystyle a^{\ast }a=a{a}^{\ast }}$ 的成员）上。

须保证：若多项式序列${\displaystyle (p_n(z,\overline{z}){)}_n}$ 在${\displaystyle \sigma (a)}$ 上一致收斂于一连续函数${\displaystyle f}$ ，则${\displaystyle \mathcal{A}}$ 上的序列${\displaystyle (p_n(a,a^{\ast }){)}_n}$ 收敛于${\displaystyle f(a)\in \mathcal{A}}$ 。对这个收敛性的问题进行细致分析之后，就会发现有必要采用C*-代数。这些考量最终将导向所谓的连续函数演算。

由于*-同态性质，有以下对任意函数${\displaystyle f,g\in \mathcal{C}(\sigma (a))}$ 与标量${\displaystyle \lambda ,\mu \in \mathbb{C}}$ 有效的计算规则：^[3]

因此，可以同寻常连续函数那样看待连续函数在正规元上的推广，它的上述代数运算性质同寻常的连续复函数情况没有区别。

对于单位元的要求并不是一个强的限制。如果需要，可以添加一个单位元（英语：Rng (algebra)#Adjoining an identity element (Dorroh extension)），得到一个扩大了的C*-代数${\displaystyle {\mathcal{A}}_1}$ 。对于${\displaystyle a\in \mathcal{A}}$ 和满足${\displaystyle f(0)=0}$ 的${\displaystyle f\in \mathcal{C}(\sigma (a))}$ ，有${\displaystyle 0\in \sigma (a)}$ 和${\displaystyle f(a)\in \mathcal{A}\subset {\mathcal{A}}_1}$ 。^[4]

下面给出连续函数演算的存在性和唯一性的证明概要：

在泛函分析中，常对正规算子${\displaystyle T}$ 的连续函数演算感兴趣，即${\displaystyle \mathcal{A}}$ 是希尔伯特空间${\displaystyle H}$ 上的有界算子所构成的C*-代数${\displaystyle \mathcal{B}(H)}$ 的情况。在文献中，通常仅对此情况的自伴算子的连续函数演算作了证明。在这种情况下，证明不需要用到盖尔范德表示。^[7]

连续函数演算${\displaystyle {\mathrm{\Phi }}_a}$ 是到${\displaystyle a}$ 和${\displaystyle e}$ 所生成的C*-子代数${\displaystyle C^{\ast }(a,e)}$ 的等距同构，即：^[6]

• $${\displaystyle \mathrm{\forall }f\in \mathcal{C}(\sigma (a)),\Vert {\mathrm{\Phi }}_a(f)\Vert ={\Vert f\Vert }_{\sigma (a)}.}$$于是${\displaystyle {\mathrm{\Phi }}_a}$显然是连续的。
• $${\displaystyle {\mathrm{\Phi }}_a\left(\mathcal{C}(\sigma (a))\right)=C^{\ast }(a,e)\subseteq \mathcal{A},}$$ 也就是说${\displaystyle C^{\ast }(a,e)}$ 是连续函数演算的值域。

由于${\displaystyle a}$ 是${\displaystyle \mathcal{A}}$ 中的正规元，由${\displaystyle a}$ 和${\displaystyle e}$ 生成的C*-子代数是一个交换代数。特别地，${\displaystyle f(a)}$ 也是一个正规元，且函数演算的所有成员间都对易。^[3]

全纯函数演算可无歧义地扩张为连续函数演算。^[8]因此，连续函数演算在多项式${\displaystyle p(z,\overline{z})}$ 上重合于多项式函数演算^[2]：$${\displaystyle \mathrm{\forall }{c}_{k,l}\in \mathbb{C},{\mathrm{\Phi }}_a(p(z,\overline{z}))=p(a,a^{\ast })=\sum _{k,l=0}^N{c}_{k,l}{a}^k(a^{\ast }{)}^l,}$$其中${\displaystyle p(z,\overline{z})=\sum _{k,l=0}^N{c}_{k,l}{z}^k{\overline{z}}^l}$ 。

对于${\displaystyle \sigma (a)}$ 上一致收敛于函数${\displaystyle f\in \mathcal{C}(\sigma (a))}$ 的函数序列${\displaystyle f_n\in \mathcal{C}(\sigma (a))}$ ，${\displaystyle f_n(a)}$ 收敛于${\displaystyle f(a)}$ 。^[9]对于${\displaystyle \sigma (a)}$ 上绝对且一致地收敛的幂级数$f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{z}^n$ ，就有$f(a)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{a}^n$ 。^[10]

若有${\displaystyle f\in \mathcal{C}(\sigma (a))}$ 和${\displaystyle g\in \mathcal{C}(\sigma (f(a)))}$ ，那么它们的函数演算的复合满足${\displaystyle (g\circ f)(a)=g(f(a))}$ 。^[4]

设有两个正规元${\displaystyle a,b\in {\mathcal{A}}_N}$ 满足${\displaystyle f(a)=f(b)}$ ，且无论限制在${\displaystyle \sigma (a)}$ 还是${\displaystyle \sigma (b)}$ 上时${\displaystyle g}$ 都是${\displaystyle f}$ 的反函数，那么必然有${\displaystyle a=b}$ ，因为${\displaystyle a=(f\circ g)(a)=f(g(a))=f(g(b))=(f\circ g)(b)=b}$ 。^[11]

谱映射定理$${\displaystyle \mathrm{\forall }f\in \mathcal{C}(\sigma (a)),\sigma (f(a))=f(\sigma (a))}$$ 也成立^[6]。

对于${\displaystyle b\in \mathcal{A}}$ ，若有${\displaystyle ab=ba}$ ，那么也有$${\displaystyle \mathrm{\forall }f\in \mathcal{C}(\sigma (a)),f(a)b=bf(a).}$$也就是说若${\displaystyle b}$ 与${\displaystyle a}$ 对易，则它也与${\displaystyle a}$ 的在连续函数下的像${\displaystyle f(a)}$ 对易。^[12]

设${\displaystyle \mathrm{\Psi }:\mathcal{A}\to \mathcal{B}}$ 是C*-代数${\displaystyle \mathcal{A}}$ 和${\displaystyle \mathcal{B}}$ 间的保单位元的*-同态，那么${\displaystyle \mathrm{\Psi }}$ 与连续函数演算间的复合是对易的。也就是说：$${\displaystyle \mathrm{\forall }f\in C(\sigma (a)),\mathrm{\Psi }(f(a))=f(\mathrm{\Psi }(a)).}$$特别地，连续函数演算与盖尔范德表示是对易的。^[3]

利用谱映射定理，具有某些性质的函数可以直接关联到C*-代数成员的某些性质^[13]：

• ${\displaystyle f(a)}$ 是可逆元当且仅当${\displaystyle f}$ 在${\displaystyle \sigma (a)}$ 上没有零点。^[14]于是有$f(a{)}^{-1}=\frac{1}{f}(a)$ 。^[15]

• ${\displaystyle f(a)}$ 是自伴元当且仅当${\displaystyle f}$ 是实值函数，也就是${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \{0,1\}}$说${\displaystyle f(\sigma (a))\subseteq \mathbb{R}}$.
• ${\displaystyle f(a)}$ 是正元（${\displaystyle f(a)\ge 0}$ ）当且仅当${\displaystyle f\ge 0}$ ，也就是说${\displaystyle f(\sigma (a))\subseteq [0,\mathrm{\infty })}$.
• ${\displaystyle f(a)}$ 是幺正元，若${\displaystyle f}$ 的值落在复单位圆中。也就是说，${\displaystyle f(\sigma (a))\subseteq \mathbb{T}=\{\lambda \in \mathbb{C}\mid \Vert \lambda \Vert =1\}.}$
• ${\displaystyle f(a)}$ 是一个投影，若${\displaystyle f}$ 仅取值${\displaystyle 0}$ 或${\displaystyle 1}$ ，也就是说${\displaystyle f(\sigma (a))\subseteq \{0,1\}}$.

这些断言的基础是关于特定元素的谱的结论，这些结论会在§ 应用一节中展示。

在${\displaystyle \mathcal{A}}$ 是希尔伯特空间${\displaystyle H}$ 上的有界算子所构C*-代数${\displaystyle \mathcal{B}(H)}$ 的特殊情况下，正规算子${\displaystyle T\in \mathcal{B}(H)}$ 的对应特征值${\displaystyle \lambda \in \sigma (T)}$ 的特征向量${\displaystyle v\in H}$ 也将是算子${\displaystyle f(T)}$ 关于特征值${\displaystyle f(\lambda )\in \sigma (f(T))}$ 的特征向量。设${\displaystyle Tv=\lambda v}$ ， 则${\displaystyle \mathrm{\forall }f\in \sigma (T),f(T)v=f(\lambda )v}$ 。^[16]

下面给出连续函数演算的众多应用中一些典型且非常简单的例子。

设${\displaystyle \mathcal{A}}$ 是一个C*-代数而${\displaystyle a\in {\mathcal{A}}_N}$ 为其中一个正规元，则对于谱${\displaystyle \sigma (a)}$ 有以下结论^[13]：

• ${\displaystyle a}$ 是自伴元当且仅当${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb{R}.}$
• ${\displaystyle a}$ 是幺正元当且仅当${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb{T}=\{\lambda \in \mathbb{C}\mid \Vert \lambda \Vert =1\}.}$
• ${\displaystyle a}$ 是一个投影当且仅当${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \{0,1\}}$.

设${\displaystyle a}$ 是 C*-代数${\displaystyle \mathcal{A}}$ 中的正元，那么对于每一个${\displaystyle n\in \mathbb{N}}$ 存在一个唯一确定的正元${\displaystyle b\in {\mathcal{A}}_{+}}$ 满足${\displaystyle b^n=a}$ ，即唯一的${\displaystyle n}$ 次方根。^[17]

若${\displaystyle a\in {\mathcal{A}}_{sa}}$ 是自伴元，则至少有：对于每个奇数${\displaystyle n\in \mathbb{N}}$ ，存在唯一确定的自伴元${\displaystyle b\in {\mathcal{A}}_{sa}}$ 满足${\displaystyle b^n=a}$ 。^[18]

类似地，对于C*-代数${\displaystyle \mathcal{A}}$ 中正元${\displaystyle a}$ 和任意${\displaystyle \alpha \ge 0}$ ，${\displaystyle a^{\alpha }}$ 唯一定义了一个${\displaystyle C^{\ast }(a)}$ 中的正元，并满足$${\displaystyle \mathrm{\forall }\alpha ,\beta \ge 0,a^{\alpha }{a}^{\beta }=a^{\alpha +\beta }.}$$若${\displaystyle a}$ 是可逆元，则还可以推广到取负值的${\displaystyle \alpha }$ 。^[17]

若${\displaystyle a\in \mathcal{A}}$ 且${\displaystyle a^{\ast }a}$ 是正元，那么绝对值可由连续函数演算定义为${\displaystyle |a|=\sqrt{a^{\ast }a}}$ ，因为它在正实数上连续。^[19]

设${\displaystyle a}$ 是C*-代数${\displaystyle \mathcal{A}}$ 中的自伴元，则存在正元${\displaystyle a_{+},a_{-}\in {\mathcal{A}}_{+}}$ ，使得${\displaystyle a=a_{+}-a_{-}}$ 和${\displaystyle a_{+}{a}_{-}=a_{-}{a}_{+}=0}$ 成立。${\displaystyle a_{+}}$ 和${\displaystyle a_{-}}$ 也被称为正部和负部。^[20]此外还有${\displaystyle |a|=a_{+}+a_{-}}$ 。^[21]

若${\displaystyle a}$ 是有单位元${\displaystyle e}$ 的C*-代数${\displaystyle \mathcal{A}}$ 中的自伴元，那么${\displaystyle u={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}a}}$ 是幺正元，其中${\displaystyle \mathrm{i}}$ 表示虚数单位。反过来，若${\displaystyle u\in {\mathcal{A}}_U}$ 是一个幺正元且其谱是复单位圆的真子集（即${\displaystyle \sigma (u)⊊\mathbb{T}}$ ），那么存在一个自伴元${\displaystyle a\in {\mathcal{A}}_{sa}}$ 满足${\displaystyle u={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}a}}$ 。^[22]

设${\displaystyle \mathcal{A}}$ 是一个有单位元的C*-代数，其中有一个正规元${\displaystyle a\in {\mathcal{A}}_N}$ 。假设谱由${\displaystyle n}$ 个两两不相交的闭子集${\displaystyle {\sigma }_k\subset \mathbb{C},(1\le k\le n)}$ 构成，也就是说${\displaystyle \sigma (a)={\sigma }_1\bigsqcup \cdots \bigsqcup {\sigma }_n}$ 。那么就存在投影${\displaystyle p_1,\dots ,p_n\in \mathcal{A}}$ ，使得下面的命题对任意${\displaystyle j\ge 1,k\le n}$ 都成立：^[23]

1. 投影的谱满足${\displaystyle \sigma (p_k)={\sigma }_k.}$
2. 投影与${\displaystyle a}$ 对易，即${\displaystyle p_{k}a=a{p}_k.}$
3. 投影是正交的，即${\displaystyle p_j{p}_k={\delta }_{jk}{p}_k.}$
4. 投影之和为单位元，即${\displaystyle \sum _{k=1}^n{p}_k=e.}$

特别是，有分解$a=\sum _{k=1}^n{a}_k$ ，其中${\displaystyle \mathrm{\forall }1\le k\le n,\sigma (a_k)={\sigma }_k.}$

• Blackadar, Bruce. Operator Algebras. Theory of C*-Algebras and von Neumann Algebras.. Berlin/Heidelberg: Springer. 2006.ISBN 3-540-28486-9. 
• Deitmar, Anton; Echterhoff, Siegfried. Principles of Harmonic Analysis. Second Edition.. Springer. 2014.ISBN 978-3-319-05791-0. 
• Dixmier, Jacques. Les C*-algèbres et leurs représentations. Gauthier-Villars. 1969（法语）. 
• Dixmier, Jacques.C*-algebras. 由Jellett, Francis翻译. Amsterdam/New York/Oxford: North-Holland. 1977.ISBN 0-7204-0762-1.  English translation ofLes C*-algèbres et leurs représentations. Gauthier-Villars. 1969（法语）. 
• Kaballo, Winfried. Aufbaukurs Funktionalanalysis und Operatortheorie.. Berlin/Heidelberg: Springer. 2014.ISBN 978-3-642-37794-5（德语）. 
• Kadison, Richard V.; Ringrose, John R. Fundamentals of the Theory of Operator Algebras. Volume 1 Elementary Theory.. New York/London: Academic Press. 1983.ISBN 0-12-393301-3. 
• Kaniuth, Eberhard.A Course in Commutative Banach Algebras.. Springer. 2009.ISBN 978-0-387-72475-1. 
• Schmüdgen, Konrad. Unbounded Self-adjoint Operators on Hilbert Space.. Springer. 2012.ISBN 978-94-007-4752-4. 
• Reed, Michael; Simon, Barry. Methods of modern mathematical physics. vol. 1. Functional analysis. San Diego, CA: Academic Press. 1980.ISBN 0-12-585050-6. 
• Takesaki, Masamichi. Theory of Operator Algebras I.. Heidelberg/Berlin: Springer. 1979.ISBN 3-540-90391-7. 

• Continuous functional calculus - PlanetMath （页面存档备份，存于互联网档案馆）

• C*-代数
• 函数演算
• 泛函分析定理

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