系列条目
量子力学
${\displaystyle i\hslash \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }t}|\psi (t)⟩=\hat{H}|\psi (t)⟩}$ 薛定谔方程
入门 术语（英语：Glossary of elementary quantum mechanics） 历史
背景 经典力学 舊量子論 狄拉克符号 哈密顿算符 干涉
基本原理 互补 退相干 纠缠 能级 测量 非局域性（英语：Quantum nonlocality） 量子数 量子態 态叠加原理 对称性（英语：Symmetry in quantum mechanics） 量子穿隧效應 不确定性 波函数 波函数坍缩
实验 貝爾定理的實驗驗證 戴維森-革末實驗 雙縫實驗 伊利澤-威德曼炸彈測試問題 法蘭克-赫茲實驗 Leggett-Garg不平等现象（英语：Leggett–Garg inequality） 馬赫-曾德爾干涉儀 波普尔实验 量子擦除實驗 延遲選擇 薛定谔猫 施特恩-格拉赫实验 惠勒延迟选择实验
表述 概览 海森堡繪景 相互作用繪景 矩陣力學 相空间表述 薛丁格繪景 路徑積分表述
方程 狄拉克方程式 克莱因-戈尔登方程 包立方程式 里德伯公式 薛定谔方程
诠释 概览 量子贝叶斯主义（英语：Quantum Bayesianism） 一致性历史 哥本哈根詮釋 德布罗意-玻姆理论 系綜詮釋 隱變量理論 局部隐变量（英语：Local hidden-variable theory） 多世界诠释 客觀坍縮理論 量子逻辑（英语：Quantum logic） 關係性量子力學 交易詮釋
高阶 相对论量子力学 量子场论 量子信息科学 量子计算 量子混沌（英语：Quantum chaos） 密度矩陣 散射理论（英语：Scattering theory） 量子统计力学 量子機器學習
科学家 阿哈罗诺夫 貝爾 贝特 布莱克特 布洛赫 玻姆 玻尔 玻恩 玻色 德布罗意 康普顿 狄拉克 戴维孙 德拜 埃伦费斯特 爱因斯坦 艾弗雷特三世 福克 费米 費曼 格劳伯 古茨威勒 海森堡 希尔伯特 约尔旦 克喇末 泡利 兰姆 朗道 劳厄 莫塞莱 密立根 昂內斯 普朗克 拉比 拉曼 里德伯 薛定谔 米歇尔·西蒙斯（英语：Michelle Simmons） 索末菲 冯·诺伊曼 外尔 维恩 维格纳 塞曼 蔡林格
查 论 编

在量子力學裏，角動量算符（英語：angular momentum operator）是一種算符，類比於經典的角動量。在原子物理學涉及旋轉對稱性（rotational symmetry）的理論裏，角動量算符佔有中心的角色。角動量，動量，與能量是物體運動的三個基本特性^[1]。

角動量促使在旋轉方面的運動得以數量化。在孤立系統裏，如同能量和動量，角動量是守恆的。在量子力學裏，角動量算符的概念是必要的，因為角動量的計算實現於描述量子系統的波函數，而不是經典地實現於一點或一剛體。在量子尺寸世界，分析的對象都是以波函數或量子幅來描述其機率性行為，而不是命定性(deterministic)行為。

在經典力學裏，角動量${\displaystyle \mathbf{L}=(L_x,L_y,L_z)}$ 定義為位置${\displaystyle \mathbf{r}=(x,y,z)}$ 與動量${\displaystyle \mathbf{p}=(p_x,p_y,p_z)}$ 的叉積：

${\displaystyle \mathbf{L}\stackrel{def}{=}\mathbf{r}\times \mathbf{p}}$ 。

在量子力學裏，對應的角動量算符${\displaystyle \hat{\mathbf{L}}}$ 定義為位置算符${\displaystyle \hat{\mathbf{r}}}$ 與動量算符${\displaystyle \hat{\mathbf{p}}}$ 的叉積：

${\displaystyle \hat{\mathbf{L}}\stackrel{def}{=}\hat{\mathbf{r}}\times \hat{\mathbf{p}}}$ 。

由於動量算符的形式為

${\displaystyle \hat{\mathbf{p}}=-i\hslash \mathrm{\nabla }}$ 。

角動量算符的形式為

${\displaystyle \hat{\mathbf{L}}=-i\hslash (\hat{\mathbf{r}}\times \mathrm{\nabla })}$ 。

其中，${\displaystyle \mathrm{\nabla }}$ 是梯度算符。

在量子力學裏，每一個可觀察量所對應的算符都是厄米算符。角動量是一個可觀察量，所以，角動量算符應該也是厄米算符。讓我們現在證明這一點，思考角動量算符的 x-分量${\displaystyle {\hat{L}}_x}$ ：

${\displaystyle {\hat{L}}_x=\hat{y}{\hat{p}}_z-\hat{z}{\hat{p}}_y}$ 。

其伴隨算符${\displaystyle L_x^{†}}$ 為

${\displaystyle {\hat{L}}_x^{†}=(\hat{y}{\hat{p}}_z-\hat{z}{\hat{p}}_y{)}^{†}={\hat{p}}_z^{†}{\hat{y}}^{†}-{\hat{p}}_y^{+}{\hat{z}}^{†}}$ 。

由於${\displaystyle \hat{y}}$ 、${\displaystyle \hat{z}}$ 、${\displaystyle {\hat{p}}_y}$ 、${\displaystyle {\hat{p}}_z}$ ，都是厄米算符，

${\displaystyle {\hat{L}}_x^{†}={\hat{p}}_z\hat{y}-{\hat{p}}_y\hat{z}}$ 。

由於${\displaystyle {\hat{p}}_z}$ 與${\displaystyle \hat{y}}$ 之間、${\displaystyle {\hat{p}}_y}$ 與${\displaystyle \hat{z}}$ 之間分別相互對易，所以，

${\displaystyle {\hat{L}}_x^{†}=\hat{y}{\hat{p}}_z-\hat{z}{\hat{p}}_y={\hat{L}}_x}$ 。

因此，${\displaystyle {\hat{L}}_x}$ 是一個厄米算符。類似地，${\displaystyle {\hat{L}}_y}$ 與${\displaystyle {\hat{L}}_z}$ 都是厄米算符。總結，角動量算符是厄米算符。

再思考${\displaystyle {\hat{L}}^2}$ 算符，

${\displaystyle {\hat{L}}^2={\hat{L}}_x^2+{\hat{L}}_y^2+{\hat{L}}_z^2}$ 。

其伴隨算符${\displaystyle ({\hat{L}}^2{)}^{†}}$ 為

${\displaystyle ({\hat{L}}^2{)}^{†}=({\hat{L}}_x^2+{\hat{L}}_y^2+{\hat{L}}_z^2{)}^{†}=({\hat{L}}_x^2{)}^{†}+({\hat{L}}_y^2{)}^{†}+({\hat{L}}_z^2{)}^{†}}$ 。

由於${\displaystyle {\hat{L}}_x^2}$ 算符、${\displaystyle {\hat{L}}_y^2}$ 算符、${\displaystyle {\hat{L}}_z^2}$ 算符，都是厄米算符，

${\displaystyle ({\hat{L}}^2{)}^{†}={\hat{L}}_x^2+{\hat{L}}_y^2+{\hat{L}}_z^2={\hat{L}}^2}$ 。

所以，${\displaystyle {\hat{L}}^2}$ 算符是厄米算符。

兩個算符${\displaystyle \hat{A}}$ 與${\displaystyle \hat{B}}$ 的交換算符${\displaystyle [\hat{A},\hat{B}]}$ ，表示出它們之間的對易關係。

思考${\displaystyle {\hat{L}}_x}$ 與${\displaystyle {\hat{L}}_y}$ 的交換算符，

。

由於兩者的對易關係不等於 0 ，${\displaystyle L_x}$ 與${\displaystyle L_y}$ 彼此是不相容可觀察量。${\displaystyle {\hat{L}}_x}$ 與${\displaystyle {\hat{L}}_y}$ 絕對不會有共同的基底量子態。一般而言，${\displaystyle {\hat{L}}_x}$ 的本徵態與${\displaystyle {\hat{L}}_y}$ 的本徵態不同。

給予一個量子系統，量子態為${\displaystyle |\psi ⟩}$ 。對於可觀察量算符${\displaystyle {\hat{L}}_x}$ ，所有本徵值為${\displaystyle {\ell }_{xi}}$ 的本徵態${\displaystyle |f_i⟩,i=1,2,3,\cdots }$ ，形成了一組基底量子態。量子態${\displaystyle |\psi ⟩}$ 可以表達為這基底量子態的線性組合：${\displaystyle |\psi ⟩=\sum _i|f_i⟩⟨f_i|\psi ⟩}$ 。對於可觀察量算符${\displaystyle {\hat{L}}_y}$ ，所有本徵值為${\displaystyle {\ell }_{yi}}$ 的本徵態${\displaystyle |g_i⟩,i=1,2,3,\cdots }$ ，形成了另外一組基底量子態。量子態${\displaystyle |\psi ⟩}$ 可以表達為這基底量子態的線性組合：${\displaystyle |\psi ⟩=\sum _i|g_i⟩⟨g_i|\psi ⟩}$ 。

根據哥本哈根詮釋，量子測量可以用量子態塌縮機制來詮釋。假若，我們測量可觀察量${\displaystyle L_x}$ ，得到的測量值為其本徵值${\displaystyle {\ell }_{xi}}$ ，則量子態機率地塌縮為本徵態${\displaystyle |f_i⟩}$ 。假若，我們立刻再測量可觀察量${\displaystyle L_x}$ ，得到的答案必定是${\displaystyle {\ell }_{xi}}$ ，量子態仍舊處於${\displaystyle |f_i⟩}$ 。可是，假若，我們改為測量可觀察量${\displaystyle L_y}$ ，則量子態不會停留於本徵態${\displaystyle |f_i⟩}$ ，而會塌縮為${\displaystyle {\hat{L}}_y}$ 的本徵態。假若，得到的測量值為其本徵值${\displaystyle {\ell }_{yj}}$ ，則量子態機率地塌縮為本徵態${\displaystyle |g_j⟩}$ 。

根據不確定性原理，

${\displaystyle \mathrm{\Delta }{L}_x\mathrm{\Delta }{L}_y\ge \left|\frac{⟨[{\hat{L}}_x,{\hat{L}}_y]⟩}{2i}\right|=\frac{\hslash |⟨{\hat{L}}_z⟩|}{2}}$ 。

${\displaystyle L_x}$ 的不確定性與${\displaystyle L_y}$ 的不確定性的乘積${\displaystyle \mathrm{\Delta }{L}_x\mathrm{\Delta }{L}_y}$ ，必定大於或等於${\displaystyle \frac{\hslash |⟨L_z⟩|}{2}}$ 。

${\displaystyle L_x}$ 與${\displaystyle L_z}$ 之間，${\displaystyle L_y}$ 與${\displaystyle L_z}$ 之間，也有類似的特性。

思考${\displaystyle {\hat{L}}^2}$ 與${\displaystyle {\hat{L}}_z}$ 的交換算符，

。

${\displaystyle {\hat{L}}^2}$ 與${\displaystyle {\hat{L}}_z}$ 是對易的，${\displaystyle L^2}$ 與${\displaystyle L_z}$ 彼此是相容可觀察量，兩個算符有共同的本徵態。根據不確定性原理，我們可以同時地測量到${\displaystyle L^2}$ 與${\displaystyle L_z}$ 的本徵值。

類似地，

${\displaystyle [{\hat{L}}^2,{\hat{L}}_x]=0}$ 、

${\displaystyle [{\hat{L}}^2,{\hat{L}}_y]=0}$ 。

${\displaystyle {\hat{L}}^2}$ 與${\displaystyle {\hat{L}}_x}$ 之間、${\displaystyle {\hat{L}}^2}$ 與${\displaystyle {\hat{L}}_y}$ 之間，都分別擁有類似的物理特性。

在經典力學裏，角動量算符也遵守類似的對易關係：

${\displaystyle \{L_i,L_j\}={ϵ}_{ijk}{L}_k}$ ；

其中，${\displaystyle \{,\}}$ 是帕松括號，${\displaystyle {ϵ}_{ijk}}$ 是列維-奇維塔符號，${\displaystyle i}$ 、${\displaystyle j}$ 、${\displaystyle k}$ ，代表直角坐標${\displaystyle (x,y,z)}$ 。

採用球坐標。展開角動量算符的方程式：

；

其中，${\displaystyle {\mathbf{e}}_r}$ 、${\displaystyle {\mathbf{e}}_{\theta }}$ 、${\displaystyle {\mathbf{e}}_{\varphi }}$ ，分別為徑向單位向量、天頂角單位向量、與方位角單位向量。

轉換回直角坐標，

${\displaystyle \hat{\mathbf{L}}=\frac{\hslash }{i}\left[{\mathbf{e}}_x\left(-\sin \varphi \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }\theta }-\cot \theta \cos \varphi \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }\varphi }\right)+{\mathbf{e}}_y\left(\cos \varphi \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }\theta }-\cot \theta \sin \varphi \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }\varphi }\right)+{\mathbf{e}}_z\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }\varphi }\right]}$ 。

其中，${\displaystyle {\mathbf{e}}_x}$ 、${\displaystyle {\mathbf{e}}_y}$ 、${\displaystyle {\mathbf{e}}_z}$ ，分別為 x-單位向量、y-單位向量、與 z-單位向量。

所以，${\displaystyle {\hat{L}}_x}$ 、${\displaystyle {\hat{L}}_y}$ 、${\displaystyle {\hat{L}}_z}$ 分別是

${\displaystyle {\hat{L}}_x=\frac{\hslash }{i}\left(-\sin \varphi \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }\theta }-\cot \theta \cos \varphi \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }\varphi }\right)}$ 、

${\displaystyle {\hat{L}}_y=\frac{\hslash }{i}\left(\cos \varphi \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }\theta }-\cot \theta \sin \varphi \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }\varphi }\right)}$ 、

${\displaystyle {\hat{L}}_z=\frac{\hslash }{i}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }\varphi }}$ 。

角動量平方算符是

${\displaystyle {\hat{L}}^2={\hat{L}}_x^2+{\hat{L}}_y^2+{\hat{L}}_z^2}$ ；

其中，

${\displaystyle +\cot \theta \sin \varphi \cos \varphi \frac{{\mathrm{\partial }}^2}{\mathrm{\partial }\theta \mathrm{\partial }\varphi }-{\cot }^2\theta \sin \varphi \cos \varphi \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }\varphi }+{\cot }^2\theta {\cos }^2\varphi \frac{{\mathrm{\partial }}^2}{\mathrm{\partial }{\varphi }^2})}$、

${\displaystyle -\cot \theta \sin \varphi \cos \varphi \frac{{\mathrm{\partial }}^2}{\mathrm{\partial }\theta \mathrm{\partial }\varphi }+{\cot }^2\theta \sin \varphi \cos \varphi \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }\varphi }+{\cot }^2\theta {\sin }^2\varphi \frac{{\mathrm{\partial }}^2}{\mathrm{\partial }{\varphi }^2})}$ 、

${\displaystyle {\hat{L}}_z^2=-{\hslash }^2\frac{{\mathrm{\partial }}^2}{\mathrm{\partial }{\varphi }^2}}$ 。

經過一番繁雜的運算，終於得到想要的方程式^[2]:169

${\displaystyle {\hat{L}}^2=-{\hslash }^2\left(\frac{{\mathrm{\partial }}^2}{\mathrm{\partial }{\theta }^2}+\cot \theta \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }\theta }+(1+{\cot }^2\theta )\frac{{\mathrm{\partial }}^2}{\mathrm{\partial }{\varphi }^2}\right)=-{\hslash }^2\left(\frac{1}{\sin \theta }\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }\theta }\left(\sin \theta \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }\theta }\right)+\frac{1}{{\sin }^2\theta }\frac{{\mathrm{\partial }}^2}{\mathrm{\partial }{\varphi }^2}\right)}$ 。

滿足算符${\displaystyle {\hat{L}}^2}$ 的本徵函數是球諧函數${\displaystyle Y_{\ell m}}$ ：

${\displaystyle {\hat{L}}^2{Y}_{\ell m}=\ell (\ell +1){\hslash }^2{Y}_{\ell m}}$ ；

其中，本徵值${\displaystyle \ell }$ 是正整數。

球諧函數也是滿足算符${\displaystyle {\hat{L}}_z}$ 微分方程式的本徵函數：

${\displaystyle {\hat{L}}_z{Y}_{\ell m}=m\hslash Y_{\ell m}}$ ；

其中，本徵值${\displaystyle m}$ 是整數，${\displaystyle -\ell \le m\le 0}$ 。

因為這兩個算符的正則對易關係是 0 ，它們可以有共同的本徵函數。

球諧函數${\displaystyle Y_{\ell m}}$ 表達為

${\displaystyle Y_{\ell m}(\theta ,\varphi )=(i{)}^{m+|m|}\sqrt{\frac{(2\ell +1)}{4\pi }\frac{(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}{P}_{\ell m}(\cos \theta )e^{im\varphi }}$ ；

其中，${\displaystyle i}$ 是虛數單位，${\displaystyle P_{\ell m}(\cos \theta )}$ 是伴隨勒讓德多項式，用方程式定義為

${\displaystyle P_{\ell m}(x)=(1-x^2{)}^{|m|/2}\frac{d^{|m|}}{d{x}^{|m|}}{P}_{\ell }(x)}$ ；

而${\displaystyle P_{\ell }(x)}$ 是${\displaystyle \ell }$ 階勒讓德多項式，可用羅德里格公式表示為：

${\displaystyle P_{\ell }(x)=\frac{1}{2^{\ell }\ell !}\frac{d^{\ell }}{d{x}^{\ell }}(x^2-1{)}^{\ell }}$ 。

球諧函數滿足正交歸一性：

${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi }{Y}_{{\ell }_1{m}_1}{Y}_{{\ell }_2{m}_2}\sin (\theta )d\theta d\varphi ={\delta }_{{\ell }_1{\ell }_2}{\delta }_{m_1{m}_2}}$ 。

這樣，角動量算符的本徵函數，形成一組單範正交基。任意波函數${\displaystyle \psi (\theta ,\varphi )}$ 都可以表達為這單範正交基的線性組合：

${\displaystyle \psi (\theta ,\varphi )=\sum _{\ell ,m}{A}_{\ell m}{Y}_{\ell m}(\theta ,\varphi )}$ ；

其中，${\displaystyle A_{\ell m}={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi }{Y}_{\ell m}^{\ast }(\theta ,\varphi )\psi (\theta ,\varphi )\sin (\theta )d\theta d\varphi }$ 。

• 氫原子
• 球對稱位勢
• 拉普拉斯-龍格-冷次向量

1. ^Introductory Quantum Mechanics, Richard L. Liboff, 2nd Edition,ISBN 0201547155
2. ^Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall, 2004,ISBN 0-13-111892-7 

• 圣地牙哥加州大学物理系量子力学視聽教學：角動量加法

• 角動量
• 物理算符

• 使用ISBN魔术链接的页面
• 含有英語的條目