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维拉宿代數 （Virasoro algebra）是單位圓 上微分算子 所組成的李代數 的中心拓展 （ 英语 ： central extension ） 仿射Kac-Moody代數 （ 英语 ： Affine Lie algebra ） Sugawara構造 ）。Virasoro 代數的么正表示 描繪兩維共形場論 的對稱性 。
维拉宿代數 是一李代數 ，生成元是
维拉宿代數可以被认为是以下Witt 代数 （ 英语 ： Witt algebra ） 中心拓展 （ 英语 ： central extension ）
[ l m , l n ] = ( m − n ) l m + n {\displaystyle [l_{m},l_{n}]=(m-n)l_{m+n}}
[ l ¯ m , l ¯ n ] = ( m − n ) l ¯ m + n {\displaystyle [{\bar {l}}_{m},{\bar {l}}_{n}]=(m-n){\bar {l}}_{m+n}}
[ l m , l ¯ n ] = 0 {\displaystyle [l_{m},{\bar {l}}_{n}]=0}
对于一李代数 g {\displaystyle \ {\bf {g}}} C {\displaystyle \ {\bf {C}}} g ~ {\displaystyle \ {\tilde {g}}} 交换子 :
[ x ~ , y ~ ] g ~ = [ x , y ] g + c p ( x , y ) , {\displaystyle [{\tilde {x}},{\tilde {y}}]_{\tilde {g}}=[x,y]_{g}+cp(x,y),}
[ x ~ , c ] g ~ = 0 , {\displaystyle [{\tilde {x}},c]_{\tilde {g}}=0,}
[ c , c ] g ~ = 0 , {\displaystyle [c,c]_{\tilde {g}}=0,}
其中 x ~ , y ~ ∈ g ~ , x , y ∈ g , c ∈ C , p : g ~ × g ~ → C {\displaystyle \ {\tilde {x}},{\tilde {y}}\in {\tilde {g}},x,y\in g,c\in {\bf {C}},p:{\tilde {g}}\times {\tilde {g}}\rightarrow {\bf {C}}}
[ L m , L n ] = ( m − n ) L m + n + c p ( m , n ) {\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+cp(m,n)}
p ( m , n ) {\displaystyle p(m,n)}
L ^ n = L n + c p ( n , 0 ) n , n ≠ 0 {\displaystyle {\hat {L}}_{n}=L_{n}+{\frac {cp(n,0)}{n}},n\neq 0}
L ^ 0 = L 0 + c p ( 1 , − 1 ) 2 , {\displaystyle {\hat {L}}_{0}=L_{0}+{\frac {cp(1,-1)}{2}},}
它们满足
[ L ^ n , L ^ 0 ] = n L n + c p ( n , 0 ) = n L ^ n , {\displaystyle [{\hat {L}}_{n},{\hat {L}}_{0}]=nL_{n}+cp(n,0)=n{\hat {L}}_{n},}
[ L ^ 1 , L ^ − 1 ] = 2 L 0 + c p ( 1 , − 1 ) = 2 L ^ 0 . {\displaystyle [{\hat {L}}_{1},{\hat {L}}_{-1}]=2L_{0}+cp(1,-1)=2{\hat {L}}_{0}.}
比较函数p ( m , n ) {\displaystyle p(m,n)} p ( 1 , − 1 ) {\displaystyle p(1,-1)} p ( n , 0 ) {\displaystyle p(n,0)}
0 = [ [ L m , L n ] , L 0 ] + [ [ L n , L 0 ] , L m ] + [ [ L 0 , L m ] , L n ] {\displaystyle \ 0=[[L_{m},L_{n}],L_{0}]+[[L_{n},L_{0}],L_{m}]+[[L_{0},L_{m}],L_{n}]} 所以p ( n , m ) = 0 {\displaystyle p(n,m)=0} n ≠ − m {\displaystyle n\neq -m} p ( n , − n ) {\displaystyle p(n,-n)} | n | >= 2 {\displaystyle |n|>=2}
0 = [ [ L − n + 1 , L n ] , L − 1 ] + [ [ L n , L − 1 ] , L − n + 1 ] + [ [ L − 1 , L − n + 1 ] , L n ] {\displaystyle \ 0=[[L_{-n+1},L_{n}],L_{-1}]+[[L_{n},L_{-1}],L_{-n+1}]+[[L_{-1},L_{-n+1}],L_{n}]} 可知p ( m , n ) {\displaystyle p(m,n)}
p ( n , − n ) = n + 1 n − 2 p ( n − 1 , − n + 1 ) {\displaystyle \ p(n,-n)={\frac {n+1}{n-2}}p(n-1,-n+1)} = n + 1 n − 2 n n − 3 p ( n − 2 , − n + 2 ) {\displaystyle \ ={\frac {n+1}{n-2}}{\frac {n}{n-3}}p(n-2,-n+2)}
= n + 1 n − 2 n n − 3 . . . 4 1 p ( 2 , − 2 ) {\displaystyle \ ={\frac {n+1}{n-2}}{\frac {n}{n-3}}...{\frac {4}{1}}p(2,-2)}
= ( n + 1 3 ) 1 2 {\displaystyle \ ={n+1 \choose 3}{\frac {1}{2}}}
= 1 12 ( n + 1 ) n ( n − 1 ) , {\displaystyle \ ={\frac {1}{12}}(n+1)n(n-1),}
其中归一化条件为p ( 2 , − 2 ) = 1 2 {\displaystyle p(2,-2)={\frac {1}{2}}}
[ L m , L n ] = ( m − n ) L m + n + c 1 12 ( n + 1 ) n ( n − 1 ) δ m + n , 0 {\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+c{\frac {1}{12}}(n+1)n(n-1)\delta _{m+n,0}}
V.G. Kac: "Infinite dimensional Lie algebras ", Cambridge University Press V.G. Kac / A.K. Raina : "Bombay Lectures on highest weight representations " , World Scientific, Singapore Di Francesco / Mathieu / Senechal : "Conformal field theory", Springer Verlag Wakimoto: "Infinite-dimensional Lie algebras " （日語書《無限次元環》的譯本）, American Mathematical Society Ralph Blumenhagen/ Erik Plauschinn : "Introduction to conformal field theory: with applications to string theory", Springer Lecture notes in physics 779, Page 15 
