球對稱位勢乃是一種只與徑向距離有關的位勢。許多描述宇宙交互作用的基本位勢，像重力勢、電勢，都是球對稱位勢。這條目只講述，在量子力學裏，運動於球對稱位勢中的粒子的量子行為。這量子行為，可以用薛丁格方程式表達為

${\displaystyle -\frac{{\hslash }^2}{2\mu }{\mathrm{\nabla }}^2\psi +V(r)\psi =E\psi }$；

其中，${\displaystyle \hslash }$是普朗克常數，${\displaystyle \mu }$是粒子的質量，${\displaystyle \psi }$是粒子的波函數，${\displaystyle V}$是位勢，${\displaystyle r}$是徑向距離，${\displaystyle E}$是能量。

由於球對稱位勢${\displaystyle V(r)}$只與徑向距離有關，與天頂角${\displaystyle \theta }$、方位角${\displaystyle \varphi }$無關，為了便利分析，可以採用球坐標${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$來表達這問題的薛丁格方程式。然後，使用分離變數法，可以將薛丁格方程式分為兩部分，徑向部分與角部分。

採用球坐標${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$，將拉普拉斯算子${\displaystyle {\mathrm{\nabla }}^2}$展開：

${\displaystyle -\frac{{\hslash }^2}{2\mu r^2}\left\{\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }r}\left(r^2\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }r}\right)+\frac{1}{{\sin }^2\theta }\left[\sin \theta \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }\theta }\left(\sin \theta \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }\theta }\right)+\frac{{\mathrm{\partial }}^2}{\mathrm{\partial }{\varphi }^2}\right]\right\}\psi +V(r)\psi =E\psi }$。

滿足薛丁格方程式的本徵函數${\displaystyle \psi }$的形式為：

${\displaystyle \psi (r,\theta ,\varphi )=R(r)\mathrm{\Theta }(\theta )\mathrm{\Phi }(\varphi )}$，

其中，${\displaystyle R(r)}$，${\displaystyle \mathrm{\Theta }(\theta )}$，${\displaystyle \mathrm{\Phi }(\varphi )}$，都是函數。${\displaystyle \mathrm{\Theta }(\theta )}$與${\displaystyle \mathrm{\Phi }(\varphi )}$時常會合併為一個函數，稱為球諧函數，${\displaystyle Y_{lm}(\theta ,\varphi )=\mathrm{\Theta }(\theta )\mathrm{\Phi }(\varphi )}$。這樣，本徵函數${\displaystyle \psi }$的形式變為：

${\displaystyle \psi (r,\theta ,\varphi )=R(r)Y_{lm}(\theta ,\varphi )}$。

參數為天頂角${\displaystyle \theta }$、方位角${\displaystyle \varphi }$的球諧函數${\displaystyle Y_{lm}}$，滿足角部分方程式

${\displaystyle -\frac{1}{{\sin }^2\theta }\left[\sin \theta \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }\theta }(\sin \theta \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }\theta })+\frac{{\mathrm{\partial }}^2}{\mathrm{\partial }{\varphi }^2}\right]Y_{lm}(\theta ,\varphi )=l(l+1)Y_{lm}(\theta ,\varphi )}$；

其中，非負整數${\displaystyle l}$是角動量的角量子數。${\displaystyle m}$（滿足${\displaystyle -l\le m\le l}$）是角動量對於z-軸的（量子化的）投影。不同的${\displaystyle l}$與${\displaystyle m}$給予不同的球諧函數解答${\displaystyle Y_{lm}}$：

${\displaystyle Y_{lm}(\theta ,\varphi )=(i{)}^{m+|m|}\sqrt{\frac{(2l+1)}{4\pi }\frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!}}{P}_{lm}(\cos \theta )e^{im\varphi }}$；

其中，${\displaystyle i}$是虛數單位，${\displaystyle P_{lm}(\cos \theta )}$是伴隨勒讓德多項式，用方程式定義為

${\displaystyle P_{lm}(x)=(1-x^2{)}^{|m|/2}\frac{d^{|m|}}{d{x}^{|m|}}{P}_l(x)}$；

而${\displaystyle P_l(x)}$是${\displaystyle l}$階勒讓德多項式，可用羅德里格公式表示為

${\displaystyle P_l(x)=\frac{1}{2^{l}l!}\frac{d^l}{d{x}^l}(x^2-1{)}^l}$。

將角部分解答代入薛丁格方程式，則可得到一個一維的二階微分方程式：

${\displaystyle \left\{-\frac{{\hslash }^2}{2\mu r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{d}{dr}\right)+\frac{{\hslash }^{2}l(l+1)}{2\mu r^2}+V(r)\right\}R(r)=ER(r)}$。(1)

設定函數${\displaystyle u(r)=rR(r)}$。代入方程式(1)。經過一番繁雜的運算，可以得到

${\displaystyle -\frac{{\hslash }^2}{2\mu }\frac{d^{2}u(r)}{d{r}^2}+\frac{{\hslash }^{2}l(l+1)}{2\mu r^2}u(r)+V(r)u(r)=Eu(r)}$。(2)

徑向方程式變為

${\displaystyle -\frac{{\hslash }^2}{2\mu }\frac{d^{2}u(r)}{d{r}^2}+V_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}(r)u(r)=Eu(r)}$；(3)

其中，有效位勢${\displaystyle V_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}(r)=V(r)+\frac{{\hslash }^{2}l(l+1)}{2\mu r^2}}$。

這正是函數為${\displaystyle u(r)}$，有效位勢為${\displaystyle V_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}}$的薛丁格方程式。徑向距離${\displaystyle r}$的定義域是從${\displaystyle 0}$到${\displaystyle \mathrm{\infty }}$。新加入有效位勢的項目，稱為離心位勢。

為了要更進一步解析方程式(2)，必須知道位勢的形式。不同的位勢有不同的解答。

在這裏，有四個很特別、很重要的實例。這些實例都有一個共同點，那就是，它們的位勢都是球對稱的。因此，它們的角部分解答都是球諧函數。這四個實例是：

1. ${\displaystyle V(r)=0}$：原方程變為亥姆霍兹方程${\displaystyle ({\mathrm{\nabla }}^2+\frac{2\mu E}{{\hslash }^2})A=0}$，使用球諧函數為正交歸一基，解析眞空狀況實例。這實例可以做為別的實例的基礎。
2. 當時，${\displaystyle V(r)=0}$；否則，${\displaystyle V(r)=\mathrm{\infty }}$：這實例比第一個實例複雜一點，可以描述三維的圓球形盒子中的粒子的量子行為。
3. ${\displaystyle V(r)\propto r^2}$：研討三維均向性諧振子的實例。在量子力學裏，是少數幾個存在簡單的解析解的量子模型。
4. ${\displaystyle V(r)\propto 1/r}$：關於類氫原子的束縛態的實例，也有簡單的解析解。

思考${\displaystyle V(r)=0}$的狀況，設定${\displaystyle k\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\sqrt{\frac{2\mu E}{{\hslash }^2}}}$，在設定無因次的變數

${\displaystyle \rho \stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}kr}$。

代入方程式(2)，定義${\displaystyle J(\rho )\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\sqrt{\rho }R(r)}$，就會得到貝塞爾方程式，一個二階常微分方程式：

${\displaystyle {\rho }^2\frac{d^{2}J}{d{\rho }^2}+\rho \frac{dJ}{d\rho }+\left[{\rho }^2-{\left(l+\frac{1}{2}\right)}^2\right]J=0}$。

貝塞爾方程式的解答是第一類貝塞爾函數${\displaystyle J_{l+1/2}(\rho )}$；而${\displaystyle R(r)}$是第一類球貝塞爾函數
（真空解的邊界條件要求原點的函數值有限，因此在原點趨於無窮的第二類球貝塞爾函數項的係數必須為零）：

${\displaystyle R(r)=j_l(kr)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\sqrt{\pi /(2kr)}{J}_{l+1/2}(kr)}$。(4)

在眞空裏，一個粒子的薛丁格方程（即自由空間中的齊次亥姆霍兹方程）的解，以球坐標來表達，是球貝塞爾函數與球諧函數的乘積：

${\displaystyle \psi (r,\theta ,\varphi )=A_{kl}{j}_l(kr)Y_{lm}(\theta ,\varphi )}$；

其中，歸一常數${\displaystyle A_{kl}=\sqrt{\frac{2}{\pi }}k}$，${\displaystyle l}$是非負整數，${\displaystyle m}$是整數，${\displaystyle -l\le m\le l}$，${\displaystyle k}$是實數，${\displaystyle k\ge 0}$。

這些解答都是角動量確定態的波函數。這些確定態都有明確的角動量。

波函數的角部分已經歸一化，剩下來必須將徑向部分歸一化。徑向函數的歸一化條件為

${\displaystyle 1=A_{kl}^2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{r}^2{j}_l^2(kr)dr}$。

根據球貝塞爾函數的封閉方程式，

${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^2{j}_{\alpha }(k_{1}x)j_{\alpha }(k_{2}x)dx=\frac{\pi }{2k_1^2}\delta (k_1-k_2)}$；

其中，${\displaystyle \alpha >0}$，${\displaystyle {\delta }_k}$为克罗内克δ。

所以，${\displaystyle 1=A_{kl}^2\frac{\pi }{2k^2}}$。取平方根，歸一常數${\displaystyle A_{kl}=\sqrt{\frac{2}{\pi }}k}$。

思考一個球對稱的無限深方形阱，阱內位勢為0，阱外位勢為無限大。用方程式表達：

。

其中，${\displaystyle r_0}$是球對稱阱的半徑。

立刻，可以察覺，阱外的波函數是0；而由於阱內的薛丁格方程式與真空狀況的薛丁格方程式相同，波函數是球貝塞爾函數${\displaystyle R(r)=j_l(kr)}$。為了滿足邊界條件，波函數必須是連續的。匹配阱內與阱外的波函數，球貝塞爾函數在徑向坐標${\displaystyle r=r_0}$之處必須等於0：

${\displaystyle j_l(k{r}_0)=0}$。

設定${\displaystyle {\xi }_{nl}}$為${\displaystyle l}$階球貝塞爾函數${\displaystyle j_l}$的第${\displaystyle n}$個0點，則${\displaystyle k_{nl}{r}_0={\xi }_{nl}}$。

那麼，離散的能級${\displaystyle E_{nl}}$為

${\displaystyle E_{nl}=\frac{{\hslash }^2{k}_{nl}^2}{2\mu }=\frac{{\hslash }^2{\xi }_{nl}^2}{2\mu r_0^2}}$。

薛丁格方程式的整個解答是

${\displaystyle {\psi }_{nlm}(r,\theta ,\varphi )=A_{nl}{j}_l({\xi }_{nl}r/r_0)Y_{lm}(\theta ,\varphi )}$；

其中，歸一常數${\displaystyle A_{nl}={\left(\frac{2}{r_0^3}\right)}^{1/2}\frac{1}{j_{l+1}({\xi }_{nl})}}$。

波函數的角部分已經歸一化，剩下來必須將徑向部分歸一化。徑向函數的歸一化條件為

${\displaystyle 1=A_{nl}^2{\int }_0^{r_0}{r}^2{j}_l^2(k_{nl}r)dr}$；

將球貝塞爾函數與第一類貝塞爾函數的關係方程式(4)代入積分：

${\displaystyle 1=A_{nl}^2{\int }_0^{r_0}{r}^2\frac{\pi }{2k_{nl}r}{J}_{l+1/2}^2(k_{nl}r)dr=A_{nl}^2\frac{\pi }{2k_{nl}}{\int }_0^{r_0}r{J}_{l+1/2}^2(k_{nl}r)dr}$。

設定變數${\displaystyle x=r/r_0}$，代入積分：

${\displaystyle 1=A_{nl}^2\frac{\pi r_0^2}{2k_{nl}}{\int }_0^{1}x{J}_{l+1/2}^2(k_{nl}{r}_{0}x)dx=A_{nl}^2\frac{\pi r_0^3}{2{\xi }_{nl}}{\int }_0^{1}x{J}_{l+1/2}^2({\xi }_{nl}x)dx}$。

根據貝塞爾函數的正交歸一性方程式，

${\displaystyle {\int }_0^{1}x{J}_{\alpha }(x{\xi }_{m\alpha })J_{\alpha }(x{\xi }_{n\alpha })dx=\frac{{\delta }_{mn}}{2}{J}_{\alpha +1}({\xi }_{n\alpha }{)}^2}$；

其中，${\displaystyle \alpha >-1}$，${\displaystyle {\delta }_{mn}}$为克罗内克δ，${\displaystyle {\xi }_{n\alpha }}$表示${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$的第${\displaystyle n}$個0點。

注意到${\displaystyle j_l(x)}$的第${\displaystyle n}$個0點${\displaystyle {\xi }_{nl}}$也是${\displaystyle J_{l+1/2}(x)}$的第${\displaystyle n}$個0點。所以，

${\displaystyle 1=A_{nl}^2\frac{\pi r_0^3}{4{\xi }_{nl}}{J}_{l+3/2}^2({\xi }_{nl})=A_{nl}^2\frac{r_0^3}{2}{j}_{l+1}^2({\xi }_{nl})}$。

取平方根，歸一常數${\displaystyle A_{nl}={\left(\frac{2}{r_0^3}\right)}^{1/2}\frac{1}{j_{l+1}({\xi }_{nl})}}$。

三維均向諧振子的位勢為

${\displaystyle V(r)=\frac{1}{2}\mu {\omega }^2{r}^2}$；

其中，${\displaystyle \omega }$是角頻率。

用階梯算符的方法，可以證明N維諧振子的能量是

${\displaystyle E_n=\hslash \omega (n+\frac{N}{2})\text{with}n=0,1,\dots ,\mathrm{\infty },}$。

所以，三維均向諧振子的徑向薛丁格方程式是

${\displaystyle \left[-\frac{{\hslash }^2}{2\mu }\frac{d^2}{d{r}^2}+\frac{{\hslash }^{2}l(l+1)}{2\mu r^2}+\frac{1}{2}\mu {\omega }^2{r}^2-\hslash \omega (n+\frac{3}{2})\right]u(r)=0}$。(5)

設定常數${\displaystyle \gamma }$，

${\displaystyle \gamma \equiv \frac{\mu \omega }{\hslash }}$。

回想${\displaystyle u(r)=rR(r)}$，則徑向薛丁格方程式有一個歸一化的解答：

${\displaystyle R_{nl}(r)=N_{nl}{r}^l{e}^{-\frac{1}{2}\gamma r^2}{L}_{\frac{1}{2}(n-l)}^{(l+\frac{1}{2})}(\gamma r^2)}$；

其中，函數${\displaystyle L_k^{(\alpha )}(\gamma r^2)}$是广义拉盖尔多项式，${\displaystyle N_{nl}}$是歸一化常數：

${\displaystyle N_{nl}={\left[\frac{2^{n+l+2}{\gamma }^{l+\frac{3}{2}}}{{\pi }^{\frac{1}{2}}}\right]}^{\frac{1}{2}}{\left[\frac{[\frac{1}{2}(n-l)]![\frac{1}{2}(n+l)]!}{(n+l+1)!}\right]}^{\frac{1}{2}}}$。

本徵能級${\displaystyle E_n}$的本徵函數${\displaystyle R_{nl}}$，乘以球諧函數${\displaystyle Y_{lm}(\theta ,\varphi )}$，就是薛丁格方程式的整個解答：

${\displaystyle {\psi }_{nlm}=R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta ,\varphi )}$；

其中${\displaystyle l=n,n-2,\dots ,l_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}}$。假若${\displaystyle n}$是偶數，設定${\displaystyle l_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}=0}$；否則，設定${\displaystyle l_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}=1}$。

在這導引裏，徑向方程式會被轉換為广义拉盖尔微分方程式。這方程式的解是广义拉盖尔多项式。再將广义拉盖尔多项式歸一化以後，就是所要的答案。

首先，將徑向坐標無因次化，設定變數${\displaystyle y=\sqrt{\gamma }r}$；其中，${\displaystyle \gamma \equiv \frac{\mu \omega }{\hslash }}$。則方程式(5)變為

${\displaystyle \left[\frac{d^2}{d{y}^2}-\frac{l(l+1)}{y^2}-y^2+2n-3\right]v(y)=0}$；(6)

其中，${\displaystyle v(y)=u\left(y/\sqrt{\gamma }\right)}$是新的函數。

當${\displaystyle y}$接近0時，方程式(6)最顯著的項目是

${\displaystyle \left[\frac{d^2}{d{y}^2}-\frac{l(l+1)}{y^2}\right]v(y)=0}$。

所以，${\displaystyle v(y)}$與${\displaystyle y^{l+1}}$成正比。

又當${\displaystyle y}$無窮遠時，方程式(6)最顯著的項目是

${\displaystyle \left[\frac{d^2}{d{y}^2}-y^2\right]v(y)=0}$。

因此，${\displaystyle v(y)}$與${\displaystyle e^{-y^2/2}}$成正比。

為了除去${\displaystyle v(y)}$在原點與無窮遠的極限性態，達到孤立解答函數的形式的目的，必須使用${\displaystyle v(y)}$的替換方程式：

${\displaystyle v(y)=y^{l+1}{e}^{-y^2/2}f(y)}$。

經過一番運算，這個替換將微分方程式(6)轉換為

${\displaystyle \left[\frac{d^2}{d{y}^2}+2\left(\frac{l+1}{y}-y\right)\frac{d}{dy}+2n-2l\right]f(y)=0}$。(7)

設定變數${\displaystyle x=y^2}$，則微分算子為

${\displaystyle \frac{d}{dy}=\frac{dx}{dy}\frac{d}{dx}=2y\frac{d}{dx}=2\sqrt{x}\frac{d}{dx}}$，

${\displaystyle \frac{d^2}{d{y}^2}=\frac{d}{dy}\left(2y\frac{d}{dx}\right)=4x\frac{d^2}{d{x}^2}+2\frac{d}{dx}}$。

代入方程式(7)，就可得到广义拉盖尔方程式：

${\displaystyle x\frac{d^{2}g}{d{x}^2}+((l+\frac{1}{2})+1-x)\frac{dg}{dx}+\frac{1}{2}(n-l)g(x)=0}$；

其中，函數${\displaystyle g(x)\equiv f(\sqrt{x})}$。

假若，${\displaystyle k\equiv (n-l)/2}$是一個非負整數，則广义拉盖尔方程式的解答是广义拉盖尔多项式：

${\displaystyle g(x)=L_k^{(l+\frac{1}{2})}(x)}$。

因為${\displaystyle k}$是非負整數，要求

1. ${\displaystyle n\ge l}$。
2. ${\displaystyle n}$與${\displaystyle l}$同時為奇數或同時為偶數。這證明了前面所述${\displaystyle l}$必須遵守的條件。

回憶到${\displaystyle u(r)=rR(r)}$，徑向函數可以表達為

${\displaystyle R_{nl}(r)=N_{nl}{r}^l{e}^{-\frac{1}{2}\gamma r^2}{L}_{\frac{1}{2}(n-l)}^{(l+\frac{1}{2})}(\gamma r^2)}$；

其中，${\displaystyle N_{nl}}$是歸一常數。

${\displaystyle R_{nl}(r)}$的歸一條件是

${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{r}^2|R_{nl}(r){|}^{2}dr=1}$。

設定${\displaystyle q=\gamma r^2}$。將${\displaystyle R_{nl}}$與${\displaystyle q}$代入積分方程式：

${\displaystyle \frac{N_{nl}^2}{2{\gamma }^{l+\frac{3}{2}}}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{q}^{l+\frac{1}{2}}{e}^{-q}{\left[L_{\frac{1}{2}(n-l)}^{(l+\frac{1}{2})}(q)\right]}^{2}dq=1}$。

應用广义拉盖尔多项式的正交歸一性，這方程式簡化為

${\displaystyle \frac{N_{nl}^2}{2{\gamma }^{l+\frac{3}{2}}}\cdot \frac{\mathrm{\Gamma }[\frac{1}{2}(n+l+1)+1]}{[\frac{1}{2}(n-l)]!}=1}$。

因此，歸一常數可以表達為

${\displaystyle N_{nl}=\sqrt{\frac{2{\gamma }^{l+\frac{3}{2}}(\frac{n-l}{2})!}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n+l}{2}+\frac{3}{2})}}}$。

應用伽瑪函數的數學特性，同時注意${\displaystyle n}$與${\displaystyle l}$的奇偶性相同，可以導引出其它形式的歸一常數。伽瑪函數變為

${\displaystyle \mathrm{\Gamma }\left[\frac{1}{2}+\left(\frac{n+l}{2}+1\right)\right]=\frac{\sqrt{\pi }(n+l+1)!!}{2^{\frac{n+l}{2}+1}}=\frac{\sqrt{\pi }(n+l+1)!}{2^{n+l+1}[\frac{1}{2}(n+l)]!}}$。

在這裏用到了雙階乘 (double factorial)的定義。

所以，歸一常數等於

${\displaystyle N_{nl}={\left[\frac{2^{n+l+2}{\gamma }^{l+\frac{3}{2}}[\frac{1}{2}(n-l)]![\frac{1}{2}(n+l)]!}{{\pi }^{\frac{1}{2}}(n+l+1)!}\right]}^{\frac{1}{2}}}$。

類氫原子只含有一個原子核與一個電子，是個簡單的二體系統。兩個物體之間，互相作用的位勢遵守庫侖定律：

${\displaystyle V(r)=-\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{Z{e}^2}{r}}$；

其中，${\displaystyle {ϵ}_0}$是真空電容率，${\displaystyle Z}$是原子序，${\displaystyle e}$是單位電荷量，${\displaystyle r}$是電子離原子核的徑向距離。

將位勢代入方程式(1)，

${\displaystyle \left\{-\frac{{\hslash }^2}{2\mu r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{d}{dr}\right)+\frac{{\hslash }^{2}l(l+1)}{2\mu r^2}-\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{Z{e}^2}{r}\right\}R(r)=ER(r)}$。

這方程式的解答是

${\displaystyle R_{nl}(r)=\sqrt{{\left(\frac{2Z}{n{a}_{\mu }}\right)}^3\frac{(n-l-1)!}{2n[(n+l)!{]}^3}}{e}^{-Zr/n{a}_{\mu }}{\left(\frac{2Zr}{n{a}_{\mu }}\right)}^l{L}_{n-l-1}^{2l+1}\left(\frac{2Zr}{n{a}_{\mu }}\right)}$；

其中，${\displaystyle a_{\mu }=\frac{4\pi {\epsilon }_0{\hslash }^2}{\mu e^2}}$。${\displaystyle a_{\mu }}$近似於波耳半徑${\displaystyle a_0}$。假若，原子核的質量是無限大的，則${\displaystyle a_{\mu }=a_0}$，並且，約化質量等於電子的質量，${\displaystyle \mu =m_e}$。${\displaystyle L_{n-l-1}^{2l+1}}$是广义拉盖尔多项式，定義為^[1]

${\displaystyle L_i^j(x)=(-1{)}^j\frac{d^j}{d{x}^j}{L}_{i+j}(x)}$；

其中，${\displaystyle L_{i+j}(x)}$是拉盖尔多项式，可用羅德里格公式表示為

${\displaystyle L_i(x)=\frac{e^x}{i!}\frac{d^i}{d{x}^i}(x^i{e}^{-x})}$。

為了滿足${\displaystyle R_{nl}(r)}$的邊界條件，${\displaystyle n}$必須是正值整數，能量也離散為能級${\displaystyle E_n=-\left(\frac{Z^2\mu e^4}{32{\pi }^2{ϵ}_0^2{\hslash }^2}\right)\frac{1}{n^2}=\frac{-13.6Z^2}{n^2}(eV)}$。隨著量子數的不同，函數${\displaystyle R_{nl}(r)}$與${\displaystyle Y_{lm}}$都會有對應的改變。為了要結束广义拉盖尔多项式的遞迴關係，必須要求。

知道徑向函數${\displaystyle R_{nl}(r)}$與球諧函數${\displaystyle Y_{lm}}$的形式，就可以寫出整個類氫原子量子態的波函數，也就是薛丁格方程式的整個解答：

${\displaystyle {\psi }_{nlm}=R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta ,\varphi )}$。

為了要簡化薛丁格方程式，設定能量與長度的原子單位 (atomic unit)

${\displaystyle E_{\text{h}}=m_{\text{e}}{\left(\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0\hslash }\right)}^2}$，

${\displaystyle a_0=\frac{4\pi {\epsilon }_0{\hslash }^2}{m_{\text{e}}{e}^2}}$。

將變數${\displaystyle y=Zr/a_0}$與${\displaystyle W=E/(Z^2{E}_{\text{h}})}$代入徑向薛丁格方程式(2)：

${\displaystyle \left[-\frac{1}{2}\frac{d^2}{d{y}^2}+\frac{1}{2}\frac{l(l+1)}{y^2}-\frac{1}{y}\right]u_l=W{u}_l}$。(8)

這方程式有兩類解答：

1. ：量子態是束縛態，其本徵函數是平方可積函數。量子化的${\displaystyle W}$造成了離散的能量譜。
2. ${\displaystyle W\ge 0}$：量子態是散射態，其本徵函數不是平方可積函數。

這條目只講述第(1)類解答。設定正實數${\displaystyle \alpha \equiv 2\sqrt{-2W}}$與${\displaystyle x\equiv \alpha y}$。代入方程式(8)：

${\displaystyle \left[\frac{d^2}{d{x}^2}-\frac{l(l+1)}{x^2}+\frac{2}{\alpha x}-\frac{1}{4}\right]u_l=0}$。(9)

當${\displaystyle x}$接近0時，方程式(9)最顯著的項目是

${\displaystyle \left[\frac{d^2}{d{x}^2}-\frac{l(l+1)}{x^2}\right]u_l=0}$。

所以，${\displaystyle u_l(x)}$與${\displaystyle x^{l+1}}$成正比。

又當${\displaystyle x}$無窮遠時，方程式(9)最顯著的項目是

${\displaystyle \left[\frac{d^2}{d{x}^2}-\frac{1}{4}\right]u_l=0}$。

因此，${\displaystyle u_l(x)}$與${\displaystyle e^{-x/2}}$成正比。

為了除去${\displaystyle u_l(x)}$在原點與無窮遠的極限性態，達到孤立解答函數的形式的目的，必須使用${\displaystyle u_l(x)}$的替換方程式：

${\displaystyle u_l(x)=x^{l+1}{e}^{-x/2}{f}_l(x)}$。

經過一番運算，得到${\displaystyle f_l(x)}$的方程式：

${\displaystyle \left[x\frac{d^2}{d{x}^2}+(2l+2-x)\frac{d}{dx}+(\nu -l-1)\right]f_l(x)=0}$；

其中，${\displaystyle \nu =(-2W{)}^{-\frac{1}{2}}}$。

假若，${\displaystyle \nu -l-1}$是個非負整數${\displaystyle k}$ ，則這方程式的解答是广义拉盖尔多项式

${\displaystyle L_k^{(2l+1)}(x),k=0,1,\dots }$。

採用Abramowitz and Stegun的慣例^[1]。無因次的能量是

${\displaystyle W=-\frac{1}{2n^2}}$；

其中，主量子數${\displaystyle n\equiv k+l+1}$滿足${\displaystyle n\ge l+1}$，或${\displaystyle l\le n-1}$。

由於${\displaystyle \alpha =2/n}$，徑向波函數是

${\displaystyle R_{nl}(r)=\sqrt{{\left(\frac{2Z}{n{a}_0}\right)}^3\cdot \frac{(n-l-1)!}{2n[(n+l)!{]}^3}}{e}^{-\frac{Zr}{n{a}_0}}{\left(\frac{2Zr}{n{a}_0}\right)}^l{L}_{n-l-1}^{2l+1}\left(\frac{2Zr}{n{a}_0}\right)}$。

能量是

${\displaystyle E=-\frac{Z^2}{2n^2}{E}_{\text{h}}=-\frac{Z^2}{2n^2}{m}_{\text{e}}{\left(\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0\hslash }\right)}^2,n=1,2,\dots }$。

• 自由粒子
• 無限深方形阱
• 有限深方形阱
• 有限位勢壘
• Delta位勢阱
• Delta位勢壘
• 連心力
• 量子穿隧效應
• 盒中氣體

1. ^^1.01.1Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (编), Chapter 22, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, 1965,ISBN 0-486-61272-4 

• Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004.ISBN 0-13-111892-7. 

• 偏微分方程
• 量子力学

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