数学 上，数域 F 上的n 阶正交群 ，记作O(n ,F )，是F 上的n ×n 正交矩阵 在矩阵乘法 下构成的群 。它是一般线性群 GL(n ,F )的子群，由
O ( n , F ) = { Q ∈ G L ( n , F ) ∣ Q T Q = Q Q T = I } {\displaystyle \mathrm {O} (n,F)=\{Q\in \mathrm {GL} (n,F)\mid Q^{T}Q=QQ^{T}=I\}\;} 这里QT 是Q 的转置 。实数域上的经典正交群通常就记为O(n )。
更一般地，F 上一个非奇异二次型 的正交群是保持二次型不变的矩阵构成的群。嘉当-迪奥多内定理 描述了这个正交群的结构。
每个正交矩阵的行列式为1或−1。行列式为1的n ×n 正交矩阵组成一个O(n ,F )的正规子群 ，称为特殊正交群 SO(n ,F )。如果F 的特徵 为2，那么1 = −1，从而O(n ,F )和SO(n ,F )相等；其他情形SO(n ,F )在O(n ,F )中的指数 是2。特征2且偶数维时，很多作者用另一种定义，定义SO(n ,F )为迪克森不变量的核 ，这样它在O(n ,F )中总有指数2。
O(n ,F )和SO(n ,F )都是代数群 ，因为如果一个矩阵是正交的条件，即转置等于逆矩阵 ，能够定义成一些关于矩阵分量的多项式方程。
实数域R 上的正交群O(n ,R )和特殊正交群SO(n ,R )在不会引起误会时经常记为O(n )和SO(n )。他们是n (n -1)/2维 实紧 李群 。O(n ,R )有两个连通 分支，SO(n ,R )是单位分支 ，即包含单位矩阵 的连通分支。
实正交群和特殊正交群有如下的解释：
O(n ,R )是欧几里得群 E (n )的子群，E (n )是R n 等距 群；O(n ,R )由其中保持原点 不动等距组成。它是以原点为中心的球面 (n = 3)、超球面 和所有球面对称的对象的對稱群 。
SO(n ,R )是E + (n )的子群，E + (n )是“直接”等距，即保持定向 的等距；SO(n ,R )由其中保持原点不动的等距组成。它是以原点为中心的球面和所有球面对称对象的旋转群。
{I , −I }是O(n ,R )的正规子群 并是特征子群 ；如果n 是偶数，对SO(n ,R )也对。如果n 是奇数，O(n ,R )是SO(n ,R )和{I , −I }的直积 。k 重旋转 循环群 Ck 对任何正整数k 都是O(2,R )和SO(2,R )的正规子群。
取合适的正交基 ，等距是
[ R 1 ⋱ R k 0 0 ± 1 ⋱ ± 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}R_{1}&&\\&\ddots &\\&&R_{k}\end{matrix}}&0\\0&{\begin{matrix}\pm 1&&\\&\ddots &\\&&\pm 1\end{matrix}}\\\end{bmatrix}}} 的形式。这里矩阵R 1 ,...,R k
圆 的對稱群 是O(2,R )，也称为Dih (S1 )，这里S1 是模长1複数的乘法群。
SO(2,R ) (作为李群)同构于圆S1 （圆群 ）。这个同构将複数exp(φi ) = cos(φ) +i sin(φ)映到正交矩阵
[ cos ( ϕ ) − sin ( ϕ ) sin ( ϕ ) cos ( ϕ ) ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos(\phi )&-\sin(\phi )\\\sin(\phi )&\cos(\phi )\end{bmatrix}}} 群SO(3,R )，视为3维空间的旋转，是科学和工程中最重要的群。参见旋转群 和3×3旋转矩阵利用轴和角的一般公式
在代数拓扑 方面，对n > 2，SO(n ,R )的基本群 是2阶循环 ，而自旋群 Spin(n )是其万有覆叠 。对n = 2基本群是无限循环 而万有覆叠对应于实数轴 （旋量群Spin(2)是惟一的2重覆叠）
李群O(n ,R )和SO(n ,R 的李代数 由斜对称 实n ×n 矩阵组成，李括号 由交换子 给出。这个李代数经常记为 o(n ,R )或so(n ,R )。
保持R 3 3 ,R )，能分成如下几类：
SO(3 ,R ):恒同 绕一个过原点的轴转动不等于180° 绕一个过原点的轴转动180° 以上与关于原点的点反演 （x 映到−x ）复合，分别为：关于原点的点反演 绕一轴旋转一个不等于180°的角度，与关于过垂直于轴且过原点的平面的反射的复合 关于一个过原点的平面的反射 特别地指出4阶和5阶正交群，在更宽泛的意义下6阶也是，称为反射旋转 。类似的参见欧几里得群 。
作为保持距离的同构，正交变换也保角，从而是共形变换 ，但是不是所有的共形变换都是正交变换。R n n )，由正交群和收缩 的乘积给出。如果n 是奇数，两个子群不相交，他们是直积：CO ( 2 n + 1 ) = O ( 2 n + 1 ) × R {\displaystyle \operatorname {CO} (2n+1)=\operatorname {O} (2n+1)\times \mathbf {R} } n 是偶数，两个子群的交是± 1 {\displaystyle \pm 1} CO ( 2 n ) = O ( 2 n ) × R + {\displaystyle \operatorname {CO} (2n)=\operatorname {O} (2n)\times \mathbf {R} ^{+}\;}
我们可以类似地定义CSO(n )，这时总有CSO ( n ) := CO ( n ) ∩ GL + ( n ) = SO ( n ) × R + {\displaystyle \operatorname {CSO} (n):=\operatorname {CO} (n)\cap \operatorname {GL} _{+}(n)=\operatorname {SO} (n)\times \mathbf {R} ^{+}\;}
複数域C 上，O(n ,C )和SO(n ,C )是C 上n (n -1)/2维的李群，这意味着实维数是n (n -1)。O(n ,C )有两个连通分支，SO(n ,C )是包含恒同矩阵的分支。当n ≥ 2时，这些群非紧。
和实情形一样，SO(n ,C )不是单连通的，对n > 2 SO(n ,C )的基本群 是2阶循环群 ，而SO(2,C )的基本群是无穷循环群。
O(n ,C )和SO(n ,C )的複李代数 由斜对称 複n ×n 矩阵组成，李括号 由交换子 给出。
低维实正交群是熟悉的空间：
O ( 1 ) = { ± 1 } = S 0 S O ( 1 ) = { 1 } = ∗ S O ( 2 ) = S 1 S O ( 3 ) = R P 3 {\displaystyle {\begin{aligned}O(1)&=\left\{\pm 1\right\}=S^{0}\\SO(1)&=\left\{1\right\}=*\\SO(2)&=S^{1}\\SO(3)&=\mathbf {RP} ^{3}\end{aligned}}} 由于三维旋转在工程中有重要应用，产生了很多SO(3)上的卡 。
正交群的同伦群和球面的同伦群 密切相关，从而一般是很难计算的。
但是我们可以计算出稳定正交群的同伦群（也称为有限正交群），定义为包含序列
O ( 0 ) ⊂ O ( 1 ) ⊂ O ( 2 ) ⊂ ⋯ ⊂ O = ⋃ k = 0 ∞ O ( k ) {\displaystyle O(0)\subset O(1)\subset O(2)\subset \cdots \subset O=\bigcup _{k=0}^{\infty }O(k)} 的正向极限 （因为包含都是闭包含，从而是上纤维化 ，也能理解成并 ）。
S n {\displaystyle S^{n}} O ( n + 1 ) {\displaystyle O(n+1)} 齐性空间 ，从而有如下纤维丛 ：
O ( n ) → O ( n + 1 ) → S n , {\displaystyle O(n)\to O(n+1)\to S^{n},} 可以理解为：正交群O ( n + 1 ) {\displaystyle O(n+1)} 传递地作用 于单位球面S n {\displaystyle S^{n}} 稳定子群 是其正交补的正交群，这是第一维的正交群。映射O ( n ) → O ( n + 1 ) {\displaystyle O(n)\to O(n+1)}
从而包含O ( n ) → O ( n + 1 ) {\displaystyle O(n)\to O(n+1)} (n-1) -连通n > k + 1 {\displaystyle n>k+1} π k ( O ) = π k ( O ( n ) ) {\displaystyle \pi _{k}(O)=\pi _{k}(O(n))}
通过博特周期性 定理，Ω 8 O ≃ O {\displaystyle \Omega ^{8}O\simeq O} O 的同伦群以8为周期，即π k + 8 O = π k O {\displaystyle \pi _{k+8}O=\pi _{k}O}
π 0 O = Z / 2 π 1 O = Z / 2 π 2 O = 0 π 3 O = Z π 4 O = 0 π 5 O = 0 π 6 O = 0 π 7 O = Z {\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{0}O&=\mathbf {Z} /2\\\pi _{1}O&=\mathbf {Z} /2\\\pi _{2}O&=0\\\pi _{3}O&=\mathbf {Z} \\\pi _{4}O&=0\\\pi _{5}O&=0\\\pi _{6}O&=0\\\pi _{7}O&=\mathbf {Z} \\\end{aligned}}} 通过cluching construction，稳定空间O 的同伦群和稳定球面上的向量丛等价（同构的意义下），提高一个维数：π k O = π k + 1 B O {\displaystyle \pi _{k}O=\pi _{k+1}BO}
设K O = B O × Z = Ω − 1 O × Z {\displaystyle KO=BO\times \mathbf {Z} =\Omega ^{-1}O\times \mathbf {Z} } π 0 {\displaystyle \pi _{0}}
π 0 K O = Z π 1 K O = Z / 2 π 2 K O = Z / 2 π 3 K O = 0 π 4 K O = Z π 5 K O = 0 π 6 K O = 0 π 7 K O = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{0}KO&=\mathbf {Z} \\\pi _{1}KO&=\mathbf {Z} /2\\\pi _{2}KO&=\mathbf {Z} /2\\\pi _{3}KO&=0\\\pi _{4}KO&=\mathbf {Z} \\\pi _{5}KO&=0\\\pi _{6}KO&=0\\\pi _{7}KO&=0\\\end{aligned}}} 最初的几个同论群可以用低维群的同论群具体的描述。
S O ( 3 ) = R P 3 = S 3 / ( Z / 2 ) {\displaystyle SO(3)=\mathbf {RP} ^{3}=S^{3}/(\mathbf {Z} /2)}
由李群 一般性事实，π 2 G {\displaystyle \pi _{2}G} π 3 G {\displaystyle \pi _{3}G} 自由 阿贝尔群 。
从向量丛的观点来看，π 0 ( K O ) {\displaystyle \pi _{0}(KO)} S 0 {\displaystyle S^{0}}
π 0 ( K O ) = Z {\displaystyle \pi _{0}(KO)=\mathbf {Z} } 维数 。利用博特周期性中环路空间 具体的描述，我们可以将高维同伦群理解为容易分析的低维空间的同伦。利用π 0 {\displaystyle \pi _{0}} O ，以及O/U 有两个分支，K O = B O × Z {\displaystyle KO=BO\times \mathbf {Z} } K S p = B S p × Z {\displaystyle KSp=BSp\times \mathbf {Z} } Z {\displaystyle \mathbf {Z} }
一小部分结论：[ 1]
令F = R , C , H , O {\displaystyle F=\mathbf {R} ,\mathbf {C} ,\mathbf {H} ,\mathbf {O} } L F {\displaystyle L_{F}} F P 1 {\displaystyle \mathbf {FP} ^{1}} [ L F ] {\displaystyle [L_{F}]} R P 1 = S 1 , C P 1 = S 2 , H P 1 = S 4 , O P 1 = S 8 {\displaystyle \mathbf {RP} ^{1}=S^{1},\mathbf {CP} ^{1}=S^{2},\mathbf {HP} ^{1}=S^{4},\mathbf {OP} ^{1}=S^{8}}
正交群也能定義在有限域 F q {\displaystyle \mathbf {F} _{q}} q {\displaystyle q} p {\displaystyle p} O + ( 2 n , q ) {\displaystyle O^{+}(2n,q)} O − ( 2 n , q ) {\displaystyle O^{-}(2n,q)} O ( 2 n + 1 , q ) {\displaystyle O(2n+1,q)}
如果V {\displaystyle V} G {\displaystyle G}
V = L 1 ⊕ L 2 ⊕ ⋯ ⊕ L m ⊕ W {\displaystyle V=L_{1}\oplus L_{2}\oplus \cdots \oplus L_{m}\oplus W} 這里L i {\displaystyle L_{i}} 雙曲線 而W {\displaystyle W} W = 0 {\displaystyle W=0} G {\displaystyle G} W =< w > {\displaystyle W=<w>} G {\displaystyle G} W {\displaystyle W} G {\displaystyle G}
在n = 1的特例，O ϵ ( 2 , q ) {\displaystyle O^{\epsilon }(2,q)} 2 ( q − ϵ ) {\displaystyle 2(q-\epsilon )} 二面體群 。
當特征大于2時，記O(n ,q ) = {A ∈ GL(n ,q ) :A ·A t =I }。關于這些群的階數我們有以下公式
| O ( 2 n + 1 , q ) | = 2 q n ∏ i = 0 n − 1 ( q 2 n − q 2 i ) {\displaystyle |O(2n+1,q)|=2q^{n}\prod _{i=0}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})} 如果− 1 {\displaystyle -1} F q {\displaystyle \mathbf {F} _{q}}
| O ( 2 n , q ) | = 2 ( q n − 1 ) ∏ i = 1 n − 1 ( q 2 n − q 2 i ) {\displaystyle |O(2n,q)|=2(q^{n}-1)\prod _{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})} 如果− 1 {\displaystyle -1} F q {\displaystyle \mathbf {F} _{q}} | O ( 2 n , q ) | = 2 ( q n + ( − 1 ) n + 1 ) ∏ i = 1 n − 1 ( q 2 n − q 2 i ) {\displaystyle |O(2n,q)|=2(q^{n}+(-1)^{n+1})\prod _{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})} 对偶数维正交群，迪克森不变量 是从正交群到Z /2Z 的同态 ，是0或1取决于一个元素是偶数个还是奇数个反射的复合。在特征不等于2的域上迪克森不变量和行列式等价：行列式等于−1的迪克森不变量次幂。
在特征2的域上，行列式总为1，所以迪克森不变量给出了额外的信息。在特征2域上许多作者定义特殊正交群为迪克森不变量为0的元素，而不是行列式为1。
迪克森不变量也能对所有维数的克利福德群 和Pin群 类似地定义。
特征2域上的正交群常常有不同的表現。這一節列出一些不同：
任何域上的任何正交群都是由反射生成，惟一的例外是兩個元素的域上的维特指标 為2的4維向量空間(Grove 2002 ，Theorem 6.6 and 14.16)。注意特征2域上的反射定義稍不同。特征2域，垂直于一個向量u 的反射將v 映為v +B(v ,u )/Q(u )·u ，這里B 是一個雙線性形式，Q 是和正交矩陣相連的二次形式。而通常的豪斯霍尔德变换 是將v 映到v -2·B(v ,u )/Q(u )·u ，當奇特征和零特征時與比較兩者不同。 在特征2的奇維數2n +1時，完全域上的正交群和2n 維辛群相同。事實上特征2時的辛形式時可交換的，而維數為奇數故總有一個1維的核，模去核的商是一個2n 維辛空間，正交群作用在它上面。 在特征2的偶維數，正交群是辛群的一個子群，因為此時二次型的辛雙線性形式也是可交換的。 旋量模是一個從域F 上正交群到域F 的乘法群 模去平方元素
F * /F *2 的同態，将关于模长为n 向量的反射 映到F * /F *2 中的n 。
旋量模对实数域上的正交群是平凡的，但是其它域上常常不平凡，譬如实数域上不定二次型定义的正交群。
代数群 的伽罗瓦上同调 理论，引入了一些更深入的观点。它们有解释的价值，特别是二次型理论的联系；但就目前所发现的现象而言，大部分都是“马后炮”。第一个观点是一个域上的二次型或者一个正交群的扭曲形式（张量）可以与伽罗瓦H 1 等同起来。作为一个代数群，正交群一般不是连通或单连通的；第二个观点是引入自旋现象，但前一个和判别式 相联系。
一个旋量模的“spin”名字可以用与自旋群 （更准确地pin群 ）的一个联系来解释。这种方法现在可以马上用伽罗瓦上同调（引入克利福德代数 的术语）来解释。正交群的自旋群覆叠给出了一个代数群的短正合列 ：
1 → μ 2 → P i n V → O V → 1 {\displaystyle 1\rightarrow \mu _{2}\rightarrow Pin_{V}\rightarrow O_{V}\rightarrow 1} 这里μ2 是单位根的代数群 ；在一个特征非2的域上，粗略地看，和作用平凡的两元素群相同。
从H 0 （就是取值于F 中点的群O V (F )）到H 1 (μ2 )的连接同态 本质上是spinor模，因为H 1 (μ2 )同构于域模去平方元素的乘法群。
正交群的H 1 到自旋群覆叠的核的H 2 也存在连接同态。因上同调是非阿贝尔的，所以，至少用普通定义，这是我们能走得最远的。
物理中，特别是在Kaluza-Klein紧化领域，找出正交群的子群非常重要。主要结论如下：
O ( n ) ⊃ O ( n − 1 ) {\displaystyle O(n)\supset O(n-1)} O ( 2 n ) ⊃ S U ( n ) {\displaystyle O(2n)\supset SU(n)} O ( 2 n ) ⊃ U S p ( n ) {\displaystyle O(2n)\supset USp(n)} O ( 7 ) ⊃ G 2 {\displaystyle O(7)\supset G_{2}} 正交群O(n)也是一些李群 的重要子群：
S U ( n ) ⊃ O ( n ) {\displaystyle SU(n)\supset O(n)} U S p ( 2 n ) ⊃ O ( n ) {\displaystyle USp(2n)\supset O(n)} G 2 ⊃ O ( 3 ) {\displaystyle G_{2}\supset O(3)} F 4 ⊃ O ( 9 ) {\displaystyle F_{4}\supset O(9)} E 6 ⊃ O ( 10 ) {\displaystyle E_{6}\supset O(10)} E 7 ⊃ O ( 12 ) {\displaystyle E_{7}\supset O(12)} E 8 ⊃ O ( 16 ) {\displaystyle E_{8}\supset O(16)} 群O(10)在超弦理论 中非常重要，因为它是10维时空的对称群。
^ John Baez "This Week's Finds in Mathematical Physics" week 105 . [2008-10-18 ] . （原始内容存档 于2021-02-11）. 
