函數W(x){\displaystyle W(x)}若在區間(a,b)可積，且W(x)≥0{\displaystyle W(x)\geq 0}，則可作為權函數。
對於一個多項式的序列fi{\displaystyle {f_{i}}}和權函數W(x){\displaystyle W(x)}，定義內積:⟨fm,fn⟩=∫abfm(x)fn(x)W(x)dx{\displaystyle :\langle f_{m},f_{n}\rangle =\int _{a}^{b}f_{m}(x)f_{n}(x)\,W(x)\,dx}
若n≠m{\displaystyle n\neq m}，⟨fm,fn⟩=0{\displaystyle \langle f_{m},f_{n}\rangle =0}，這些多項式則稱為正交多項式（英語：Orthogonal Polynomials）。
若fi{\displaystyle {f_{i}}}除了正交之外，更有⟨fn,fn⟩=1{\displaystyle \langle f_{n},f_{n}\rangle =1}的話，則稱為規範正交多項式。
若權函數為1，區間為(-1,1)，f0(x)=1{\displaystyle f_{0}(x)=1}，對應的正交多項式有：
它們稱為勒讓德多項式。
對於任意向量空間的基，Gram-Schmidt正交化可以求出一個正交基。對於多項式空間的基，正交化的結果便是勒讓德多項式。
fn+1=(an+xbn)fn−cnfn−1{\displaystyle f_{n+1}=(a_{n}+xb_{n})f_{n}-c_{n}f_{n-1}}
其中bn=kn+1kn,an=bn(kn+1′kn+1−kn′kn),cn=bn(kn−1hnknhn−1),hn=⟨fn,fn⟩{\displaystyle b_{n}={\frac {k_{n+1}}{k_{n}}},\qquad a_{n}=b_{n}({\frac {k_{n+1}'}{k_{n+1}}}-{\frac {k_{n}'}{k_{n}}}),\qquad c_{n}=b_{n}({\frac {k_{n-1}h_{n}}{k_{n}h_{n-1}}}),\qquad h_{n}=\langle f_{n},f_{n}\rangle }
若在區間(a,b)可積，且
，則可作為權函數。
和權函數，定義內積
，
，這些多項式則稱為正交多項式（英語：Orthogonal Polynomials）。除了正交之外，更有
的話，則稱為規範正交多項式。
，對應的正交多項式有：
