正二十面體 是一種正多面體 ，由20 個正三角形 組成。同時，它也是柏拉圖立體 、三角面多面體 以及康威多面體 。正二十面体是所有五种凸正多面體面數最多的。正二十面體可以由正五角反稜柱 構成，具體來說正二十面體可以視為在正五角反稜柱的兩個五邊形底面各疊上一個正五角錐 所產生的組合形狀，因此正二十面體也是一種雙錐反柱體 。[ 1]
正二十面體有20 個面 、30 個邊 和12 個頂點 ，其對偶多面體 是正十二面體 。這兩種立體之間的關係，在歷史上，是透過比較它們的測量得到的。它的頂點佈局 （ 英语 ： Vertex_configuration ） 5 ，在施萊夫利符號 中可用{3,5}來表示。[ 2]
有不少多面體是基於正二十面體建構的，其中一個顯著的例子是星形二十面體 ，這些立體共有五十九種，其皆可透過米勒的規則 、以正二十面體作為核建構而來。[ 3] 移除 正二十面體的局部結構——如五角錐——來構建。[ 4]
正二十面體可以在自然界中找到。一個較廣爲人知的例子是生物學 中的衣殼 ，不少病毒的衣殼為正二十面體形。[ 5] [ 6] [ 7]
正二十面體是一個柏拉圖立體，由20 個面 、30 條邊 和12 個頂點 組成[ 8] [ 9] 展开图 。[ 10] 5 [ 11] 施萊夫利符號 中可用{3,5}[ 2] s { 3 3 } {\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}} [ 12] [ 14] [ 15] [ 16]
正二十面體展開圖的另一種形式
表面塗上三種顏色的正二十面体
正二十面體與其外接球 若有一個邊長為a 的正二十面體，則它的外接球 （同時過該正二十面體所有頂點的球）的半徑 為：[ 8]
r u = a 2 φ 5 = a 4 10 + 2 5 = a sin 2 π 5 ≈ 0.9510565163 ⋅ a {\displaystyle r_{u}={\frac {a}{2}}{\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}={\frac {a}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}=a\sin {\frac {2\pi }{5}}\approx 0.9510565163\cdot a} OEIS 數列A019881 ）它的內切球（同時和該正二十面體所有面相切 的球）的半徑為：[ 8]
r i = φ 2 a 2 3 = 3 12 ( 3 + 5 ) a ≈ 0.7557613141 ⋅ a {\displaystyle r_{i}={\frac {\varphi ^{2}a}{2{\sqrt {3}}}}={\frac {\sqrt {3}}{12}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)a\approx 0.7557613141\cdot a} OEIS 數列A179294 ）另外，它的中分球 （同時和該正二十面體所有邊相切的球）的半徑為：[ 8]
r m = a φ 2 = 1 4 ( 1 + 5 ) a = a cos π 5 ≈ 0.80901699 ⋅ a {\displaystyle r_{m}={\frac {a\varphi }{2}}={\frac {1}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)a=a\cos {\frac {\pi }{5}}\approx 0.80901699\cdot a} OEIS 數列A019863 ）其中ϕ {\displaystyle \phi } τ {\displaystyle \tau } 黃金比例 。[ 9]
正二十面體3D模型 若用A {\displaystyle A} 表面積 、V {\displaystyle V} 體積 ，而a {\displaystyle a} 邊長 ，則有：[ 8]
A = 5 3 a 2 ≈ 8.66025404 a 2 , {\displaystyle A=5{\sqrt {3}}a^{2}\approx 8.66025404a^{2},} OEIS 數列A010527 ）V = 5 12 ( 3 + 5 ) a 3 ≈ 2.18169499 a 3 . {\displaystyle V={\frac {5}{12}}(3+{\sqrt {5}})a^{3}\approx 2.18169499a^{3}.} OEIS 數列A102208 ）後者約為正四面體 的20倍，因為正二十面體以外接球球心為中心可以切割出20個四面體，每個四面體的體積是底面積3 a 2 4 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {3}}a^{2}}{4}}} r i {\displaystyle r_{i}} 乘三分之一 。
正二十面體佔其外接球 體積的比率為：
f = V 4 π r u 3 3 = 20 ( 3 + 5 ) ( 2 5 + 10 ) 3 2 π ≈ 0.6054613829. {\displaystyle f={\frac {V}{\frac {4\pi r_{u}^{3}}{3}}}={\frac {20(3+{\sqrt {5}})}{(2{\sqrt {5}}+10)^{\frac {3}{2}}\pi }}\approx 0.6054613829.} 如何確定內接於同一球體的正二十面體和其對偶多面體——正十二面體——兩個形狀中何者體積較大？這個問題可以追溯到古希臘，且已被希罗 、帕普斯 和斐波那契 等人解決。[ 18] 阿波罗尼奥斯 發現了一個奇怪的結果：這兩個形狀的體積比與其表面積比相同。[ 20] [ 22]
正二十面體的二面角 可以透過正五角錐與正五角反棱柱的角度來計算，由於正二十面體可以透過將正五角錐與正五角反棱柱底面對底面疊合來構造[ 23] 37.4 + 100.8 = 138.2 {\displaystyle {{37.4}+{100.8}}=138.2} [ 25] [ 27]
具體數值約為三分之 負根號五 的反餘弦 值：[ 28] [ 9]
cos − 1 ( − 5 3 ) ≈ 2.411865 ≈ 138.189685 ∘ {\displaystyle \cos ^{-1}\left(-{\frac {\sqrt {5}}{3}}\right)\approx 2.411865\approx 138.189685^{\circ }} 正二十面體的頂點能共同分成五組，每組擁有三個同心、相互垂直的黃金矩形。 一個由塑膠 棒和磁鐵 與金屬球 連接的正二十面體模型 在直角坐標系 中，一個邊長為二、幾何中心 在原點的正二十面體的顶点坐標分別為：[ 29]
( 0 , ± 1 , ± φ ) {\displaystyle (0,\pm 1,\pm \varphi )} ( ± 1 , ± φ , 0 ) {\displaystyle (\pm 1,\pm \varphi ,0)} ( ± φ , 0 , ± 1 ) {\displaystyle (\pm \varphi ,0,\pm 1)} 其中φ = 1 + 5 2 {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} 黃金比例 （或記為τ {\displaystyle \tau } 同心 、相互垂直的黃金矩形 ，其邊 形成博羅梅安環 （ 英语 ： Borromean rings ） 與黃金比例 有密切的關係。如果原始的二十面體的邊長為1，那麼它的對偶 ——正十二面體 的邊長就是5 − 1 2 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}} 黃金比例 。[ 9] [ 30]
A、B為兩個極點，兩個圓形為緯度±arctan (1/2)的位置，其餘10點落於此緯度上，每次極軸與赤道鏡射隔36度 正二十面體是具有D5d 二面體對稱性 的一個雙五角錐反角柱 ，且頂點可以定義在球面坐標系上，其中兩個頂點在球的兩極，其餘在緯度± arctan ( 1 2 ) {\displaystyle \pm \arctan({\frac {1}{2}})} 反棱柱 對稱，其產生的方式可以從一個定點為起始點，經度每36°做一次極軸與赤道鏡射，重複以上動作，直到回到起始點。[ 32]
若以正二十面體的中心為原點，各頂點的坐標分別為{ ( 0 , ± 1 , ± Φ ) , ( ± 1 , ± Φ , 0 ) , ( ± Φ , 0 , ± 1 ) } {\displaystyle \{(0,\pm 1,\pm \Phi ),(\pm 1,\pm \Phi ,0),(\pm \Phi ,0,\pm 1)\}} Φ = 5 − 1 2 {\displaystyle \Phi ={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}} 黃金分割數 。因此，這些頂點能共同形成五組，每組擁有三個同心、相互垂直的黃金矩形 。[ 29]
正二十面体有3种特殊的正交投影 ，分别正对着一个面、一条棱、一个顶点。「正對於面」及「正對於頂點」之正交投影的對稱性分別對應到A2 和H3 的考克斯特平面[ 33] [ 34]
正二十面体作为扭棱四面体，可以通过旋转正四面体的正三角形面，并在4个顶点处插入新的三角形，在原来的6条棱处插入新的一对三角形来构造 作为正多面体之一，正二十面体拥有较高的对称性，其所有面都相同且不可區分。可是也可以想象将正二十面体的面“涂上”不同的“颜色”，使它其的不同面拥有不同的“几何意义”，使其拥有不同的次级对称性。正二十面体有三种不同的半正 涂色方法，可以按照一个顶点引出的5个面的涂色来标记为11213、11212、11111。正二十面体可以被描述为扭棱 正四面体 ，具有手征性 正四面体对称性 （ 英语 ： tetrahedral symmetry ） 交错 截顶正八面体 ，有五角十二面体对称性 （ 英语 ： pyritohedral symmetry ） 伪二十面体 ，是五角十二面体 的对偶[ 35]
要構造一個正二十面體有很多種方法：
透過正五角反棱柱來構造 （需為底面和側面都是正多邊形的反稜柱）：將兩個正五角錐（需為每個面都是正多邊形的正角錐）以五邊形底面對底面連接到正五角反棱柱的每個底面上即可構造出正二十面體。 [ 23] [ 36] [ 37] [ 38] 透過立方體來構造 ：在立方體上的每個面分別放置兩個頂點，每個立方體面上的兩個頂點為離相對邊中點距離恰為黃金比例的點，這兩點連線，並令這十二個頂點描述三個互相垂直的平面，每四個頂點描述一個面，這十二個點即可構成正二十面體。[ 40] 透過正八面體來構造 ：首先將正八面體三角形面與面之間的連結兩兩斷開，並向外扭曲擴張，直到擴張到足夠置入兩個新的正三角形大小縫隙後停止。停止扭曲擴張後，於空隙填入新的正三角形即完成正二十面體。這個過程稱為考克斯特扭稜變換，因此正二十面體也稱為扭稜正八面體。[ 30] 透過正四面體來構造 ：其可以視為正四面體的擴張，也就是將正四面體的面向外分開，並圍繞著中心扭曲（不改變面的形狀），然後加入以每個原始立體頂點為中心的三角形，並在每個原始立體之邊的位置上加入成對的三角形來構成。[ 42] :99 。這個過程稱為开普勒扭稜變換，因此正二十面體也稱為扭稜四面體 。[ 43] [ 44] 根據上面的構造方式，可以得到正二十面體是柏拉圖立體，因為其20個面都是正三角形。 這也導致正二十面體是僅有的八個凸三角面多面體 之一。 [ 46] [ 37] 展開 方式。[ 48]
透過正五角反棱柱來構造 ：由正五角錐和正五角反棱柱構造的正二十面體。其中正五角錐以紅色表示、正五角反角柱以黃色表示
透過立方體來構造 ：正二十面體中的三個互相垂直黃金比例矩形
透過正八面體來構造 ：由正八面體構造正二十面體的連續動畫
透過正四面體來構造 ：由正四面體構造正二十面體的連續動畫
正十二面體 是正二十面體的對偶多面體 在平面上，正多邊形 內接到圓 時，邊 數越多，佔圓面積的百分比就越高；而在三維空間中，這個規則卻不可推廣——當正十二面體 和正二十面體內接到一個球 時，前者約佔66.4909%，後者僅佔60.5461%。[ 49]
正二十面体是正二十面体家族的一员：[ 50]
正二十面体家族半正多面体 對稱群 :[5,3] （ 英语 ： Icosahedral symmetry ） [5,3]+ , (532) {5,3} t0,1 {5,3} t1 {5,3} t0,1 {3,5} {3,5} t0,2 {5,3} t0,1,2 {5,3} s{5,3} 半正多面体对偶 V5.5.5 V3.10.10 V3.5.3.5 V5.6.6 V3.3.3.3.3 V3.4.5.4 V4.6.10 V3.3.3.3.5
作为扭棱正四面体和考克斯特扭棱正八面体[ 30] [ 43] [ 44]
正四面体家族半正多面体 对称性 :[3,3] , (*332)[3,3]+ , (332) {3,3} t0,1 {3,3} t1 {3,3} t1,2 {3,3} t2 {3,3} t0,2 {3,3} t0,1,2 {3,3} s{3,3} 半正多面体对偶 V3.3.3 V3.6.6 V3.3.3.3 V3.6.6 V3.3.3 V3.4.3.4 V4.6.6 V3.3.3.3.3
半正正八面体家族多面体 对称性 :[4,3] , (*432)[4,3]+ , (432) [1+ ,4,3], (*332) [4,3+ ], (3*2) {4,3} t0,1 {4,3} t1 {4,3} t1,2 {4,3} {3,4} t0,2 {4,3} t0,1,2 {4,3} s{4,3} h{4,3} h1,2 {4,3} 半正多面体的对偶 V4.4.4 V3.8.8 V3.4.3.4 V4.6.6 V3.3.3.3 V3.4.4.4 V4.6.8 V3.3.3.3.4 V3.3.3 V3.3.3.3.3
正二十面体在拓扑 上与其它一系列的正三角形镶嵌{3,n}和一系列的五阶正镶嵌{n,5}相关联：
正二十面体和三个星形正多面体 有着相同的顶点排布。其中与大十二面体 还有相同的棱排布：
三阶正二十面体堆砌模型。此處使用庞加莱圆盘模型 上的线架来表示它，中心的正二十面体被涂上了颜色 虽然由于正二十面体的二面角 太大（约138.189685°>120°[ 註 1] 密铺 三维欧几里得空间 ，但它可以密铺适当的双曲空间 [ 51] [ 52] 三阶正二十面体堆砌 （ 英语 ： Icosahedral honeycomb ） 顶点图 是正十二面体 ，施莱夫利符号 {3,5,3}，是四个三维双曲空间中的正堆砌 之一。
正二十面體形狀在多個領域中皆有應用，例如，製圖學中有使用二十面體展開 的地圖投影法。[ 6] 魔術方塊 。[ 53]
桌遊《Scattergories》的二十面體骰子。刻有不包括Q、U、V、X、Y和Z的英文字母
由於正二十面體非常均勻，且有20個面，因此適合製成骰子。[ 55] [ 56] [ 55] [ 56] [ 57]
在某些角色扮演的桌上遊戲 中，二十面骰子通常用來決定一個動作的成敗。例如《龍與地下城 》的二十面骰子（標記為 d20）就是用來決定一個玩家在某一輪中動作的成敗。二十面體骰子可以在面上標記“0”到“9”以填滿其20個面，這種情況下的二十面骰通常會作為十面骰（d10）使用；大多數現代版本的二十面體骰子上面的編號會從從“1”編到“20”。[ 58] [ 60]
某些病毒 ，如疱疹病毒科 、諾羅病毒 、腺病毒 和噬菌体 等，擁有正二十面體的衣殼 。[ 61] [ 62] BMC結構域 （ 英语 ： BMC domain ） 蛋白質 構成，可以包住酶 和不穩定的中間產物。此外，在某些細菌中還發現具有二十面體形狀的胞器 。[ 63]
1904年，恩斯特·海克尔 發表了一些關於新品種放射蟲的發現。恩斯特·海克爾將放射蟲新物種命名為「Circogonia二十面體」（Circogonia icosahedra [ 64] [ 65]
γ-硼的結構
噬菌体
「Circogonia二十面體」放射蟲
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柏拉圖立體 星形正多面體 正扭歪無限面體 皮特里對偶 無法良好具像化的抽象 （ 英语 ： Abstract_polytope ） 複合正多面體
一種多面體 對偶複合體 二複合正四面體 {3,3}{3,3}複合八面體立方體 {3,4}{4,3}複合十二面體二十面體 {5,3}{3,5}複合大二十面體大星形十二面體 （ 英语 ： Compound_of_great_icosahedron_and_great_stellated_dodecahedron ） 5 /2 }{5 /2 ,3}複合小星形十二面體大十二面體 {5 /2 ,5}{5,5 /2 }二複合六角六片三角孔扭歪無限面體 {6,6|3}{6,6|3}複合四角六片四角孔扭歪無限面體六角四片四角孔扭歪無限面體 {4,6|4}{6,4|4}
其他空間的正多面體
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