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梯形

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梯形
梯形
類型四邊形
邊4
頂點4
面積12(a+b)h{\displaystyle {\frac {1}{2}}(a+b)h}
特性凸

梯形（美式英语：trapezoid，英式英语：trapezium）是只有一组對邊平行的凸四邊形。梯形平行的兩條邊为底边，分別稱為上底和下底，其间的距離為高，不平行的两条边为腰。下底与腰的夹角为底角，上底与腰的夹角为顶角。有的也将梯形定义为有至少一组对边平等的凸四边形，從而將平行四边形也视为一种梯形

性质

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中位线

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由梯形两腰的中点连成的线段称为梯形的中位线。梯形的中位线与上底和下底都平行，长度为上底与下底的长度之和的一半，即：m=(a+b)2{\displaystyle m={\frac {\left(a+b\right)}{2}}}

高

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若a,b{\displaystyle a,b}為梯形的底邊，c,d{\displaystyle c,d}為梯形的兩腰，其中a≠b{\displaystyle a\neq b}，則两个底之间的距离称为高，其长度为：h=−(a−b+c+d)(a−b+c−d)(a−b−c+d)(a−b−c−d)2|a−b|{\displaystyle h={\frac {\sqrt {-(a-b+c+d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)(a-b-c-d)}}{2\left|a-b\right|}}}

面積

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梯形的面積S{\displaystyle S}满足：S=12(a+b)h{\displaystyle S={\frac {1}{2}}(a+b)h}其中，h{\displaystyle h}是梯形的高，a{\displaystyle a}和b{\displaystyle b}分别为其上底和下底。

事实上，由于中位线m=a+b2{\displaystyle m={\frac {a+b}{2}}}因此梯形面積S{\displaystyle S}亦满足：S=mh{\displaystyle S=mh}其中m{\displaystyle m} 为中位线的长度。

以上两个公式均适用于任何梯形，也包括平行四边形。

边与角的关系

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  • 上下底边平行，因此上下邻角互为补角，度数和为180度。
  • 对角线分割另一条对角线的比相同。

分类

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梯形的分类，橙色的通常不被认为是梯形

梯形通常可根据角的关系分为锐角梯形、直角梯形、钝角梯形三类。

锐角梯形

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锐角梯形（acute trapezoid）是指底边都是个锐角的梯形，等腰梯形是特殊的锐角梯形

直角梯形

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主条目：直角梯形

一个底角为90°的梯形是直角梯形（right trapezoid）。由于梯形的二底边平行，因此根据同旁内角关系，直角梯形一腰上的两个底角都是90°[1]。

钝角梯形

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钝角梯形（obtuse trapezoid）是指两底边都有一个锐角和一个钝角的梯形，平行四边形可看作是特殊（两腰相等）的钝角梯形[2]。

特殊的梯形

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等腰梯形

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主条目：等腰梯形

两腰长度相等的梯形称为等腰梯形，具有如下性质：

  1. 两条对角线相等。
  2. 同一底上的二内角相等。
  3. 对角互补，四顶点共圆。

依据以上性质，判定一个四边形是等腰梯形可以通过以下命题：

  1. 两条对角线相等的梯形是等腰梯形。
  2. 同一底上的二内角相等的梯形是等腰梯形。
  3. 四顶点共圆的梯形是等腰梯形。

正交梯形

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对角线相互垂直的梯形是正交梯形。

圆外切梯形

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主条目：圆外切梯形

存在内切圆的梯形称为圆外切梯形，此外还有圆外切等腰梯形和圆外切直角梯形子类型[3]。

参考文献

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  1. ^Alsina & Nelsen 2020，第91頁. sfn模板錯誤: 無指向目標: CITEREFAlsinaNelsen2020 (幫助)
  2. ^Alsina & Nelsen 2020，第90–91頁. sfn模板錯誤: 無指向目標: CITEREFAlsinaNelsen2020 (幫助)
  3. ^R.A.约翰逊，《近代欧氏几何学》，单墫 译，第158页，上海教育出版社，ISBN 7-5320-6392-5
几何学术语
点
直线和曲线
平面圖形
立體圖形
曲面
高維空間
圖形關係
三角形關係
量
作圖
分支
理論
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