本文只考虑欧几里得空间中的曲线。大部分概念对黎曼与伪黎曼流形中曲线有类似结论。对任意空间中曲线的讨论，参见主条目曲线。

曲线的微分几何是几何学的一个分支，使用微分与积分专门研究平面与欧几里得空间中的光滑曲线。

从古代开始，许多具体曲线已经用综合方法深入研究。微分几何采取另外一种方式：把曲线表示为参数形式，将它们的几何性质和各种量，比如曲率和弧长，用向量分析表示为导数和积分。分析曲线最重要的工具之一为Frenet 标架，是一个活动标架，在曲线每一点附近给出“最合适”的坐标系。

曲线的理论比曲面理论及其高维推广的范围要狭窄得多，也简单得多。因为欧几里得空间中的正则曲线没有内蕴几何。任何正则曲线可以用弧长（“自然参数”）参数化，从曲线上来看不能知道周围空间的任何信息，所有曲线都是一样的。不同空间曲线只是由它们的弯曲和扭曲程度区分。数量上，这由微分几何不变量曲线的“曲率”和“挠率”来衡量。曲线基本定理断言这些不变量的信息完全确定了曲线。

设${\displaystyle n}$ 是一个正整数，${\displaystyle r}$ 是正整数或${\displaystyle \mathrm{\infty }}$，${\displaystyle I}$ 是实数非空区间，${\displaystyle t}$ 属于${\displaystyle I}$。一个${\displaystyle C^r}$ 类（即${\displaystyle \gamma }$ 为${\displaystyle r}$ 次连续可微）向量值函数

${\displaystyle \gamma :I\to {\mathbb{R}}^n}$

称为一条${\displaystyle C^r}$ 类参数曲线或曲线${\displaystyle \gamma }$ 的一个${\displaystyle C^r}$ 参数化，${\displaystyle t}$ 称为曲线${\displaystyle \gamma }$ 的参数，${\displaystyle \gamma (I)}$ 称为曲线的像。将参数曲线${\displaystyle \gamma }$ 和它的像${\displaystyle \gamma (I)}$ 区别开来是非常重要的，因为一个给定的${\displaystyle {\mathbb{R}}^n}$的子集可以是许多不同的参数曲线的像。

可以想象参数${\displaystyle t}$ 代表时间，而曲线${\displaystyle \gamma (t)}$ 作为空间中一个运动粒子轨迹。

如果I 是闭区间 [a,b]，我们称 γ(a) 为曲线 γ 的起点而 γ(b) 为终点。

如果${\displaystyle \gamma (a)=\gamma (b)}$，我们说 γ 是闭的或是一个环路。进一步，我们称 γ 是一条闭 C^r-曲线，如果 γ^(k)(a) = γ^(k)(b) 对所有k ≤r。

如果${\displaystyle \gamma :(a,b)\to {\mathbb{R}}^n}$ 为单射，我们称为简单曲线。

如果参数曲线${\displaystyle \gamma }$ 局部可写成幂级数，我们称曲线解析或是${\displaystyle C^{\omega }}$ 类。

记号 -${\displaystyle \gamma }$ 表示朝相反的方向运动的曲线。

一条${\displaystyle C^k}$-曲线

${\displaystyle \gamma :[a,b]\to {\mathbb{R}}^n}$

称为${\displaystyle m}$ 阶正则当且仅当对任何${\displaystyle t}$ 属于${\displaystyle I}$

${\displaystyle \{{\gamma }^{\prime }(t),{\gamma }^{″}(t),...,{\gamma }^{(m)}(t)\}\text{, }m\le k}$

在${\displaystyle {\mathbb{R}}^n}$ 中线性无关。

特别地，一条${\displaystyle C^1}$-曲线${\displaystyle \gamma }$ 是正则的如果

${\displaystyle {\gamma }^{\prime }(t)\ne 0}$ 对任何${\displaystyle t\in I.}$

给定一条曲线的像我们可以定义曲线的许多不同的参数化。微分几何旨在描述在一定的参数化下不变的性质。所以我们需在所有参数曲线集合上定义一种合适的等价关系。曲线的微分几何性质（长度，Frenet 标架和广义曲率）在重新参数化下不变从而满足等价类性质。这个等价类称为C^r 曲线，是曲线的微分几何研究的中心。

两个C^r 参数曲线

${\displaystyle {\gamma }_{\mathbf{1}}:I_1\to R^n}$

与

${\displaystyle {\gamma }_{\mathbf{2}}:I_2\to R^n}$

要称为等价，就要存在一个C^r双射

${\displaystyle \varphi :I_1\to I_2}$

使得

${\displaystyle {\varphi }^{\prime }(t)\ne 0(t\in I_1)}$

和

${\displaystyle {\gamma }_{\mathbf{2}}(\varphi (t))={\gamma }_{\mathbf{1}}(t)(t\in I_1).}$

γ₂ 称为 γ₁ 的重新参数化。这种 γ₁ 的重新参数化在所有参数C^r 曲线的集合上定义了一种等价关系，其等价类称为C^r 曲线。

对定向 C^r 曲线，我们可以定义一种“加细”的等价关系，要求 φ 满足 φ'(t) > 0。

等价的C^r 曲线有相同的像；等价的定向C^r 曲线有相同的运动方向。

C¹ 曲线 γ : [a,b] →Rⁿ 的长度l 可以定义为

${\displaystyle l={\int }_a^b|{\gamma }^{\prime }(t)|dt.}$

曲线的长度在重参数化下保持不变，从而是曲线的一个微分几何性质。

对任何正则C^r （r 至少为 1）曲线 γ: [a,b] →Rⁿ 我们可以定义一个函数

${\displaystyle s(t)={\int }_{t_0}^t|{\gamma }^{\prime }(x)|dx.}$

写成

${\displaystyle \overline{\gamma (s)}=\gamma (t(s))}$

这里t(s) 是s(t) 的逆函数，我们得到 γ 的一个新参数化${\displaystyle \overline{\gamma }}$，称为自然、弧长或单位速度参数化；参数s(t) 称为 γ 的自然参数。

我们偏爱这个参数，因为自然参数s(t) 以单位速度转动 γ 的像，所以

${\displaystyle |\overline{{\gamma }^{\prime }(s(t))}|=1(t\in I).}$

在实际中常常很难计算出一条曲线的自然参数，但在理论讨论中很有用。

给定一条参数化曲线 γ(t) 的自然参数化是在差一个参数移动的意义下是惟一的。

数量

${\displaystyle E(\gamma )=\frac{1}{2}{\int }_a^b|{\gamma }^{\prime }(t){|}^{2}dt}$

经常称为曲线的能量或作用量；这个名称是有理由的，因为测地线方程是这个作用量的欧拉-拉格朗日运动方程。

一个Frenet 标架是一个移动的参考标架，由描述曲线在每一点 γ(t) 局部性质的n 个正交向量e_i(t) 组成。这是微分几何处理曲线的主要工具，因为在这个局部参考系中，远比使用欧几里得那样的整体坐标系更容易和自然地描述局部性质（如曲率、挠率）。

给定Rⁿ 中一条n 阶正则Cⁿ⁺¹-曲线 γ，曲线的Frenet 标架是一组正交向量

${\displaystyle {\mathbf{e}}_1(t),\dots ,{\mathbf{e}}_n(t)}$

称为Frenet 向量。它们是通过对 γ(t) 的各阶导数使用格拉姆-施密特正交化算法得到的：

${\displaystyle {\mathbf{e}}_1(t)=\frac{{\gamma }^{\prime }(t)}{\Vert {\gamma }^{\prime }(t)\Vert }}$

${\displaystyle {\mathbf{e}}_j(t)=\frac{\overline{{\mathbf{e}}_j}(t)}{\Vert \overline{{\mathbf{e}}_j}(t)\Vert }\text{, }\overline{{\mathbf{e}}_j}(t)={\gamma }^{(j)}(t)-\sum _{i=1}^{j-1}⟨{\gamma }^{(j)}(t),{\mathbf{e}}_i(t)⟩{\mathbf{e}}_i(t)}$

实值函数 χ_i(t) 称为广义曲率，定义为

${\displaystyle {\chi }_i(t)=\frac{⟨{\mathbf{e}}_i^{\prime }(t),{\mathbf{e}}_{i+1}(t)⟩}{\Vert {\gamma }^{{}^{\prime }}(t)\Vert }}$

Frenet 标架和广义曲率在重新参数化下是不变的，故它们是曲线的微分几何性质。

最初三个 Frenet 向量和广义曲率可以在三维空间中看到。它们有额外的名字以及与名称相关更多信息。

如果曲線 γ 表示一個質點的軌跡，那麼質點在給定點P 的瞬時速度用一個向量表示，稱為曲線在P 的切向量。

數學表述為，給定一條曲線 γ = γ(t)，對參數t 的任何值：t =t₀，向量：

${\displaystyle {\gamma }^{\prime }(t_0)=\frac{d}{dt}\gamma (t),t=t_0}$

是點P = γ(t₀) 的切向量。一般說，切向量可以為零向量。

切向量的長度：

${\displaystyle \Vert {\gamma }^{\prime }(t_0)\Vert }$

是在時間t₀ 的速率。

第一個 Frenet 向量e₁(t) 是在同一方向的單位切向量，在 γ 的每個正則點有定義：

${\displaystyle {\mathbf{e}}_1(t)=\frac{{\gamma }^{\prime }(t)}{\Vert {\gamma }^{\prime }(t)\Vert }.}$

如果t =s 是自然參數則切向量有單位長，從而公式化簡為：

${\displaystyle {\mathbf{e}}_1(s)={\gamma }^{\prime }(s).}$

單位切向量確定了曲線的定向，或隨著參數增長的前進方向。

法向量，有时也称为曲率向量，表明曲线和一条直线的偏离程度。

法向量定义为

${\displaystyle \overline{{\mathbf{e}}_2}(t)={\gamma }^{″}(t)-⟨{\gamma }^{″}(t),{\mathbf{e}}_1(t)⟩{\mathbf{e}}_1(t).}$

其正规形式单位法向量，是 Frenet 向量e₂(t)，定义为

${\displaystyle {\mathbf{e}}_2(t)=\frac{\overline{{\mathbf{e}}_2}(t)}{\Vert \overline{{\mathbf{e}}_2}(t)\Vert }.}$

t 点的切向量和法向量张成t 点的密切平面。

第一个广义曲率 χ₁(t) 称为曲率，度量了曲线 γ 偏离密切平面上一条直线的程度。定义为

${\displaystyle \kappa (t)={\chi }_1(t)=\frac{⟨{\mathbf{e}}_1^{\prime }(t),{\mathbf{e}}_2(t)⟩}{\Vert {\gamma }^{{}^{\prime }}(t)\Vert }}$

称为 γ 在点t 的曲率。

曲率的倒数

${\displaystyle \frac{1}{\kappa (t)}}$

称为曲率半径。

半径为r 的圆周有常曲率

${\displaystyle \kappa (t)=\frac{1}{r},}$

但一条直线的曲率是 0 。

次法向量是第三个 Frenet 向量e₃(t) ，总是正交于t 点的单位切向量和单位法向量。其定义为

${\displaystyle {\mathbf{e}}_3(t)=\frac{\overline{{\mathbf{e}}_3}(t)}{\Vert \overline{{\mathbf{e}}_3}(t)\Vert }\overline{{\mathbf{e}}_3}(t)={\gamma }^{‴}(t)-⟨{\gamma }^{‴}(t),{\mathbf{e}}_1(t)⟩{\mathbf{e}}_1(t)-⟨{\gamma }^{‴}(t),{\mathbf{e}}_2(t)⟩{\mathbf{e}}_2(t)}$

在 3 维空间中等式简化为

${\displaystyle {\mathbf{e}}_3(t)={\mathbf{e}}_2(t)\times {\mathbf{e}}_1(t).}$

第二广义曲率 χ₂(t) 称为挠率，度量了 γ 和一条平面曲线的偏离程度。或者说，如果挠率为 0 则曲线完全在某平面内（任何t 都在这一个平面内）。

${\displaystyle \tau (t)={\chi }_2(t)=\frac{⟨{\mathbf{e}}_2^{\prime }(t),{\mathbf{e}}_3(t)⟩}{\Vert {\gamma }^{\prime }(t)\Vert }}$

称为 γ 在点t 的挠率。

给定n 个函数

${\displaystyle {\chi }_i\in C^{n-i}([a,b])\text{, }1\le i\le n}$

满足

${\displaystyle {\chi }_i(t)>0\text{, }1\le i\le n-1}$

那么存在惟一的（在差一个欧几里得群作用的意义下）n 阶正则Cⁿ⁺¹-曲线 γ，具有如下性质

${\displaystyle \Vert {\gamma }^{\prime }(t)\Vert =1(t\in [a,b])}$

${\displaystyle {\chi }_i(t)=\frac{⟨{\mathbf{e}}_i^{\prime }(t),{\mathbf{e}}_{i+1}(t)⟩}{\Vert {\gamma }^{\prime }(t)\Vert },}$

这里集合

${\displaystyle {\mathbf{e}}_1(t),\dots ,{\mathbf{e}}_n(t)}$

是曲面的 Frenet 标架。

再附加起始t₀ ∈I，起始点p₀ ∈Rⁿ 以及一个初始正交标架 {e₁, ...,e_n-1} 满足

${\displaystyle \gamma (t_0)={\mathbf{p}}_0}$

${\displaystyle {\mathbf{e}}_i(t_0)={\mathbf{e}}_i\text{, }1\le i\le n-1}$

那么我们可以排除欧几里得作用得到惟一的曲线 γ。

Frenet-Serret 公式是一组一阶常微分方程。其解为由广义曲率函数 χ_i 所刻画的曲线的 Frenet 向量组。

• Erwin Kreyszig,Differential Geometry, Dover Publications, New York, 1991,ISBN 9780484667218. Chapter II is is a classical treatment ofTheory of Curves in 3-dimensions.
• 陈维桓，微分几何，北京大学出版社，北京，2006年，ISBN 7-301-10709.

• 曲线论题列表（英语：List of curves topics）
• 曲线的仿射几何
• 弧
• 切线、切点、次切距
• 密切圆
• 包络线、转迹线
• 四顶点定理
• 测地线
• 等周问题
• 环绕数

• 微分几何
• 曲線

• 使用ISBN魔术链接的页面