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曲线

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曲（qū）线指动点在空间中运动方向连续变化的轨迹[1][2]。直线是特殊的曲线[3]。

在现代数学中，曲线的定义是连续函数在拓扑空间上区间的图像。

历史

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定义

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在数学上，一条曲线的定义为：

设I=[a,b]{\displaystyle I=[a,b]}为一实数区间，即实数集的非空子集，那么曲线c{\displaystyle c}就是一个连续函数c:I→X{\displaystyle c:I\rightarrow X}的映射，其中X{\displaystyle X}为一个拓扑空间。

我们常遇到的平面曲线的拓扑空间为R2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}。

若f是单射的，则 c是简单曲线（simple curve）。

若I=[a,b]{\displaystyle I=[a,b]}和f(a)=f(b){\displaystyle f(a)=f(b)}，f是闭曲线（closed curve）或環圈。

曲线方程

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参见：参数方程

一般来说，当在Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}下一些符合一条方程的点的集合组成一条曲线时，那方程就叫那曲线的曲线方程（curvilinear equation，curve equation）。

例如，x2+y2=1{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}是单位圆的曲线方程，因为有且仅有单位圆上的点符合这条方程；因这些点组成一个单位圆，故该方程正代表着平面上的单位圆。

曲线长度

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参见：弧长

若γ(t):[a,b]→X⊂Rn{\displaystyle \gamma (t):[a,b]\to X\subset R^{n}}，则其长度是

L(γ)=∫ab|γ′(t)|dt{\displaystyle L(\gamma )=\int _{a}^{b}\left|\gamma '(t)\right|\mathrm {d} t}

平面曲线

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例如，若一条平面曲线可表达成标准方程y=f(x){\displaystyle y=f(x)}，那么它的长度就是：

∫ab[f′(x)]2+1dx{\displaystyle \int _{a}^{b}{{\sqrt {\left[f'\left(x\right)\right]^{2}+1}}\;{\rm {d}}x}}

其中a{\displaystyle a\,}、b{\displaystyle b\,}为x{\displaystyle x\,}的上下限。

若平面曲线可表达成参数方程x(t),y(t){\displaystyle x(t),y(t)}，那么它的长度就是：

∫αβ(x′)2+(y′)2dt{\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }{{\sqrt {\left({x'}\right)^{2}+\left({y'}\right)^{2}}}{\rm {d}}t}}

其中α{\displaystyle \alpha \,}、β{\displaystyle \beta \,}为t{\displaystyle t\,}的上下限。

参考

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  1. ^In (rather old) French: "La ligne est la première espece de quantité, laquelle a tant seulement une dimension à sçavoir longitude, sans aucune latitude ni profondité, & n'est autre chose que le flux ou coulement du poinct, lequel […] laissera de son mouvement imaginaire quelque vestige en long, exempt de toute latitude." Pages 7 and 8 ofLes quinze livres des éléments géométriques d'Euclide Megarien, traduits de Grec en François, & augmentez de plusieurs figures & demonstrations, avec la corrections des erreurs commises és autres traductions, by Pierre Mardele, Lyon, MDCXLV (1645).
  2. ^几何学分支编写组.曲线. 《中国大百科全书》第三版. 
  3. ^《数学辞海》编辑委员会 (编). 数学辞海. 第一卷. 北京: 中国科学技术出版社. 2002: 414. }

外部链接

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几何学术语
点
直线和曲线
平面圖形
立體圖形
曲面
高維空間
圖形關係
三角形關係
量
作圖
分支
理論
各地
学术
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