群论
群
基本概念 子群 ·正规子群 ·商群 ·群同態 ·像 · (半)直积 ·直和 单群 ·有限群 ·无限群 ·拓扑群 ·群概形 ·循環群 ·冪零群 ·可解群 ·圈積 离散群 有限單群分類 循環群 Zn 交错群 An 李型群 散在群 马蒂厄群 M11..12,M22..24 康威群 Co1..3 扬科群 J1..4 费歇尔群（英语：Fischer group）F22..24 子魔群（英语：sub monster group） B 魔群 M 其他有限群 对称群,Sn 二面体群,Dn 无限群 整数,Z 模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z) 连续群 李群 一般线性群 GL(n) 特殊线性群 SL(n) 正交群 O(n) 特殊正交群 SO(n) 酉群 U(n) 特殊酉群 SU(n) 辛群 Sp(n) G2F4E6E7E8 勞侖茲群 庞加莱群 无限维群 共形群 微分同胚群 环路群 量子群 O(∞) SU(∞) Sp(∞) 代数群 椭圆曲线 线性代数群（英语：Linear algebraic group） 阿贝尔簇（英语：Abelian variety）
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数学中，旋量群 Spin(n) 是特殊正交群 SO(n) 的二重覆叠，使得存在李群的短正合列：

${\displaystyle 1\to {\mathbb{Z}}_2\to \mathrm{Spin}(n)\to \mathrm{SO}(n)\to 1}$ 。

对n > 2， Spin(n)单连通，从而是 SO(n) 的万有覆叠空间。作为李群 Spin(n) 及其李代数和特殊正交群 SO(n) 有相同的维数n(n − 1)/2。

Spin(n) 可以构造为克利福德代数Cℓ(n)可逆元群的一个子群。Spin(n) 由所有写成个偶数个单位向量的克利福德乘积的元素生成。对应到 SO(n) 中恰是沿着垂直于这偶数个向量的超平面的反射的复合。

当维数比较低时，典型李群之间存在同构，称为“巧合同构”。例如，低维旋量群和一定的典型李群同构，这是因为不同的低维单李代数的根系之间存在同构。特别的我们有：

Spin(1) =O(1) =Z₂

Spin(2) =U(1) =SO(2) = S¹

Spin(3) =Sp(1) =SU(2) = HU(1) = S³

Spin(4) =Sp(1) ×Sp(1)

Spin(5) =Sp(2) = HU(2)

Spin(6) =SU(4)

对n = 7，8 仍然有退化的同构，细节可参见Spin(8)；对更高的维数，这样的同构完全消失。

对于不定符号差（英语：Metric signature），旋量群 Spin(p,q) 通过克利福德代数用类似于标准旋量群的方式构造，由能写成偶数个模+1和偶数个模-1单位向量的克利福德乘积的元素生成。它是一个 SO₀(p,q)（不定正交群 SO(p,q) 含单位元连通分支）的连通二重覆叠。Spin(p,q) 的连通性不同作者有不同的约定，此文中取p+q>2 时连通。不定符号低维时，也有一些巧合同构：

Spin(1,1) =GL(1,R)

Spin(2,1) =SL(2,R)

Spin(3,1) =SL(2,C)

Spin(2,2) =SL(2,R) ×SL(2,R)

Spin(4,1) =Sp(1,1)

Spin(3,2) =Sp(4,R)

Spin(5,1) =SL(2,H)

Spin(4,2) =SU(2,2)

Spin(3,3) =SL(4,R)

注意有 Spin(p,q) = Spin(q,p)。

连通且单连通的李群由它们的李代数决定。所以，如果G 是具有单李代数的连通李群，G′ 是G 的万有覆叠，有包含：

${\displaystyle {\pi }_1(G)\subset Z(G^{\prime }),}$

这里Z(G′) 是G 的中心。这个包含映射和G 的李代数${\displaystyle \mathfrak{g}}$ 完全确定了G （注意${\displaystyle \mathfrak{g}}$ 和${\displaystyle {\pi }_1(G)}$ 不能完全确定G，例如 SL(2,R) 和 PSL(2,R) 有相同的李代数和基本群${\displaystyle \mathbb{Z}}$，但却不同构）。

定符号 Spin(n) 对n > 2 都是单连通的，所以它们是 SO(n) 的万有覆叠。不定符号时，Spin(p,q) 的极大紧子群是

${\displaystyle (\text{Spin}(p)\times \text{Spin}(q))/\{(1,1),(-1,-1)\}}$。

这样我们就可计算出 Spin(p,q) 的基本群：

对${\displaystyle p,q>2}$，这意味着映射${\displaystyle {\pi }_1(\text{Spin}(p,q))\to {\pi }_1(SO(p,q))}$ 由${\displaystyle 1\in {\mathbb{Z}}_2}$ 映到${\displaystyle (1,1)\in {\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_2}$ 给出；对p=2，q>2，映射由${\displaystyle 1\in \mathbb{Z}\to (1,1)\in \mathbb{Z}\times {\mathbb{Z}}_2}$ ；最后，对p =q = 2，${\displaystyle (1,0)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}}$ 映到${\displaystyle (1,1)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}}$ 而${\displaystyle (0,1)}$ 映到${\displaystyle (1,-1)}$ 。

• 反射
• Pin 群
• 旋量
• 旋量丛
• 任意子
• 自旋結構
• 克利福德代数
• 定向纏結
• 複自旋群

• F.Reece Harvey, Spinors and Calibrations, Academic Press, Inc., 1990.
• Pertti Lounesto, Clifford Algebras and Spinors, LMSLNS 239, Cambridge University Press,1997.
• PlanetMath,Spin Groups （页面存档备份，存于互联网档案馆）.

• 李群
• 李群的拓扑
• 旋量