微积分基本定理 （英語：Fundamental theorem of calculus ）描述了微积分 的两个主要运算──微分 和积分 之间的关系。
定理的第一部分，称为微积分第一基本定理 ，此定理表明：給定任一連續函數，可以（利用積分）構造出該函數的反導函數。這一部分定理的重要之處在於它保證了連續函數 的反導函數 的存在性。
定理的第二部分，称为微积分第二基本定理 或牛顿-莱布尼茨公式 ，表明某函數的定积分 可以用該函數的任意一個反導函數来计算。这一部分是微積分或數學分析中相當關鍵且應用很廣的一個定理，因为它大大简化了定积分的计算。
對微积分基本定理比較直觀的理解是：把函數在一段區間的「无穷小变化」全部「加起來」，會等于该函數的净变化，這裡「無窮小變化」就是微分，「加起來」就是積分，淨變化就是該函數在區間兩端點的差。
假设有一个物体在直线上运动，其位置为x ( t ) {\displaystyle x(t)} t {\displaystyle t} x ( t ) {\displaystyle x(t)} x {\displaystyle x} t {\displaystyle t} d x {\displaystyle dx} d t {\displaystyle dt} 莱布尼兹记法 ：
d x d t = v ( t ) . {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=v(t).} 整理，得
d x = v ( t ) d t . {\displaystyle dx=v(t)\,dt.} 根据以上的推理，x {\displaystyle x} Δ x {\displaystyle \Delta x} d x {\displaystyle dx}
詹姆斯·格里高利 （1638-1675）首先发表了该定理基本形式的几何证明[ 1] [ 2] [ 3] [ 4] 艾萨克·巴罗 证明了该定理的一般形式[ 5] 艾萨克·牛顿 完善了微积分的相关理论。莱布尼茨 使得相关理论实现体系化并引入了沿用至今的微积分符号。
微積分基本定理有兩部分，第一部分是定積分 的微分，第二部分是原函数和定積分 之間的關聯。
設a , b ∈ R {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} } f : [ a , b ] → R {\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} } [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 黎曼可積分 ，定義函數F : [ a , b ] → R {\displaystyle F:[a,b]\to \mathbb {R} }
F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t {\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}\!f(t)\,dt} 則
F {\displaystyle F} 閉區間 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 若f {\displaystyle f} c ∈ [ a , b ] {\displaystyle c\in [a,\,b]} 連續 ，則F ′ ( c ) = f ( c ) {\displaystyle F'(c)=f(c)} 图解 若兩函數f , F : [ a , b ] ↦ R {\displaystyle f,F:[a,b]\mapsto \mathbb {R} }
則有：
∫ a b f ( t ) d t = F ( b ) − F ( a ) {\displaystyle \int _{a}^{b}\,f(t)\,dt\,=F(b)-F(a)} 可簡記為
∫ a b f ( t ) d t = F ( x ) | a b {\displaystyle \int _{a}^{b}\,f(t)\,dt\,=F(x){\bigg |}_{a}^{b}} (1)F {\displaystyle F} [ a , b ] {\displaystyle [a,b]}
因為f {\displaystyle f} f {\displaystyle f} M > 0 {\displaystyle M>0}
| f ( x ) | ≤ M {\displaystyle |f(x)|\leq M} x ∈ [ a , b ] {\displaystyle x\in [a,\,b]} 根據黎曼積分的定義，若取x , c ∈ [ a , b ] {\displaystyle x,\,c\in [a,\,b]}
| F ( x ) − F ( c ) | = | ∫ c x f ( t ) d t | ≤ M | x − c | {\displaystyle |F(x)-F(c)|=\left|\int _{c}^{x}f(t)\,dt\right|\leq M|x-c|} 那這樣，如果取δ = ϵ M {\displaystyle \delta ={\frac {\epsilon }{M}}} 0 < | x − c | < δ {\displaystyle 0<|x-c|<\delta }
| F ( x ) − F ( c ) | < ϵ {\displaystyle |F(x)-F(c)|<\epsilon } 那根據函數極限的定義 ，可以得到
lim x → c F ( x ) = F ( c ) {\displaystyle \lim _{x\to c}F(x)=F(c)} 故得証。◻ {\displaystyle \Box }
(2)若f {\displaystyle f} c ∈ [ a , b ] {\displaystyle c\in [a,\,b]} F ′ ( c ) = f ( c ) {\displaystyle F'(c)=f(c)}
f {\displaystyle f} c {\displaystyle c} ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} δ > 0 {\displaystyle \delta >0} f {\displaystyle f} x {\displaystyle x} 0 < | x − c | < δ {\displaystyle 0<|x-c|<\delta } | f ( x ) − f ( c ) | < ϵ {\displaystyle |f(x)-f(c)|<\epsilon }
而根據黎曼積分的定義可以知道，若對黎曼可積分的g : [ r , s ] → R {\displaystyle g:[r,\,s]\to \mathbb {R} } ( ∀ x ∈ [ r , s ] ) [ | g ( x ) | ≤ M ] {\displaystyle (\forall x\in [r,\,s])[\,|g(x)|\leq M\,]}
∫ r s g ( t ) d t ≤ ∫ r s | g ( t ) | d t ≤ M ( s − r ) {\displaystyle \int _{r}^{s}g(t)\,dt\leq \int _{r}^{s}|g(t)|\,dt\leq M(s-r)} 這樣考慮上述連續定義0 < x − c < δ {\displaystyle 0<x-c<\delta }
| F ( x ) − F ( c ) x − c − f ( c ) | = | 1 x − c [ ∫ c x f ( t ) − f ( c ) d t ] | < | ϵ ( x − c ) x − c | = ϵ {\displaystyle \left|{\frac {F(x)-F(c)}{x-c}}-f(c)\right|=\left|{\frac {1}{x-c}}\left[\int _{c}^{x}f(t)-f(c)\,dt\right]\right|<\left|{\frac {\epsilon (x-c)}{x-c}}\right|=\epsilon } 類似的，0 < c − x < δ {\displaystyle 0<c-x<\delta }
| F ( x ) − F ( c ) x − c − f ( c ) | = | 1 c − x [ ∫ x c f ( t ) − f ( c ) d t ] | < | ϵ ( c − x ) c − x | = ϵ {\displaystyle \left|{\frac {F(x)-F(c)}{x-c}}-f(c)\right|=\left|{\frac {1}{c-x}}\left[\int _{x}^{c}f(t)-f(c)\,dt\right]\right|<\left|{\frac {\epsilon (c-x)}{c-x}}\right|=\epsilon } 那同樣根據函數極限的定義 ，就有
F ′ ( c ) = lim x → c F ( x ) − F ( c ) x − c = f ( c ) {\displaystyle F^{\prime }(c)=\lim _{x\to c}{\frac {F(x)-F(c)}{x-c}}=f(c)} 即為所求。◻ {\displaystyle \Box }
设f {\displaystyle f} [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} F {\displaystyle F} f {\displaystyle f}
F ( b ) − F ( a ) . {\displaystyle F(b)-F(a)\,.} 设有数
x 0 , … , x n {\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}} 使得
a = x 0 < x 1 < x 2 < … < x n − 1 < x n = b . {\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n-1}<x_{n}=b\,.} 可得
F ( b ) − F ( a ) = F ( x n ) − F ( x 0 ) . {\displaystyle F(b)-F(a)=F(x_{n})-F(x_{0})\,.} 我们加上F ( x i ) {\displaystyle F(x_{i})}
F ( b ) − F ( a ) = F ( x n ) + [ − F ( x n − 1 ) + F ( x n − 1 ) ] + … + [ − F ( x 1 ) + F ( x 1 ) ] − F ( x 0 ) = [ F ( x n ) − F ( x n − 1 ) ] + [ F ( x n − 1 ) + … − F ( x 1 ) ] + [ F ( x 1 ) − F ( x 0 ) ] . {\displaystyle {\begin{matrix}F(b)-F(a)&=&F(x_{n})\,+\,[-F(x_{n-1})\,+\,F(x_{n-1})]\,+\,\ldots \,+\,[-F(x_{1})+F(x_{1})]\,-\,F(x_{0})\,\\&=&[F(x_{n})\,-\,F(x_{n-1})]\,+\,[F(x_{n-1})\,+\,\ldots \,-\,F(x_{1})]\,+\,[F(x_{1})\,-\,F(x_{0})]\,.\end{matrix}}} 以上表达式可用以下的和表示：
F ( b ) − F ( a ) = ∑ i = 1 n [ F ( x i ) − F ( x i − 1 ) ] . ( 1 ) {\displaystyle F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^{n}\,[F(x_{i})-F(x_{i-1})]\,.\qquad (1)} 我们将使用均值定理 。就是：
设F {\displaystyle F} [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} c {\displaystyle c}
F ′ ( c ) = F ( b ) − F ( a ) b − a . {\displaystyle F'(c)={\frac {F(b)-F(a)}{b-a}}\,.} 可得
F ′ ( c ) ( b − a ) = F ( b ) − F ( a ) . {\displaystyle F'(c)(b-a)=F(b)-F(a).\,} 函数F {\displaystyle F} [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} x i − 1 {\displaystyle x_{i-1}}
F ( x i ) − F ( x i − 1 ) = F ′ ( c i ) ( x i − x i − 1 ) . {\displaystyle F(x_{i})-F(x_{i-1})=F'(c_{i})(x_{i}-x_{i-1})\,.} 把上式代入(1)，得
F ( b ) − F ( a ) = ∑ i = 1 n [ F ′ ( c i ) ( x i − x i − 1 ) ] . {\displaystyle F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^{n}\,[F'(c_{i})(x_{i}-x_{i-1})]\,.} 根据第一部分的结论，我们有F ′ ( c i ) = f ( c i ) {\displaystyle F'(c_{i})=f(c_{i})} x i − x i − 1 {\displaystyle x_{i}-x_{i-1}} i {\displaystyle i} Δ x {\displaystyle \Delta x}
F ( b ) − F ( a ) = ∑ i = 1 n [ f ( c i ) ( Δ x i ) ] . ( 2 ) {\displaystyle F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^{n}\,[f(c_{i})(\Delta x_{i})]\,.\qquad (2)} 一个黎曼和的收敛数列。右上角的数是灰色矩形的面积。它们收敛于函数的积分。 注意到我们正在描述矩形的面积（长度乘以宽度），并把这些面积相加起来。每一个矩形都描述了一部分曲线的估计。同时也注意到，Δ x i {\displaystyle \Delta x_{i}} i {\displaystyle i} n {\displaystyle n} n {\displaystyle n}
当矩形的宽度趋近于零时取极限，便得出黎曼积分 。也就是说，我们取最宽的矩形趋于零，而矩形的数目趋于无穷大时的极限。
所以，我们把(2)式的两边取极限，得
lim ‖ Δ ‖ → 0 F ( b ) − F ( a ) = lim ‖ Δ ‖ → 0 ∑ i = 1 n [ f ( c i ) ( Δ x i ) ] . {\displaystyle \lim _{\|\Delta \|\to 0}F(b)-F(a)=\lim _{\|\Delta \|\to 0}\sum _{i=1}^{n}\,[f(c_{i})(\Delta x_{i})]\,.} F ( b ) {\displaystyle F(b)} F ( a ) {\displaystyle F(a)} ‖ Δ ‖ {\displaystyle {\begin{Vmatrix}\Delta \end{Vmatrix}}} F ( b ) − F ( a ) {\displaystyle F(b)-F(a)}
F ( b ) − F ( a ) = lim ‖ Δ ‖ → 0 ∑ i = 1 n [ f ( c i ) ( Δ x i ) ] . {\displaystyle F(b)-F(a)=\lim _{\|\Delta \|\to 0}\sum _{i=1}^{n}\,[f(c_{i})(\Delta x_{i})]\,.} 右边的表达式定义了f {\displaystyle f} a {\displaystyle a} b {\displaystyle b}
F ( b ) − F ( a ) = ∫ a b f ( x ) d x , {\displaystyle F(b)-F(a)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx\,,} 证明完毕。
d d x ∫ a sin x e t d t = d d x F ( sin x ) = F ′ ( sin x ) cos x = e sin x cos x {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\int _{a}^{\sin x}e^{t}\,dt\\&={\frac {d}{dx}}F(\sin x)\\&=F'(\sin x)\cos x\\&=e^{\sin x}\cos x\\\end{aligned}}} 计算以下积分：
∫ 2 5 x 2 d x . {\displaystyle \int _{2}^{5}x^{2}\,dx.} 在这里，f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} F ( x ) = x 3 3 {\displaystyle F(x)={x^{3} \over 3}}
∫ 2 5 x 2 d x = F ( 5 ) − F ( 2 ) = 5 3 3 − 2 3 3 = 39 {\displaystyle \int _{2}^{5}x^{2}\,dx=F(5)-F(2)={5^{3} \over 3}-{2^{3} \over 3}=39} 我们不需要假设f {\displaystyle f} f {\displaystyle f} [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} x 0 {\displaystyle x_{0}} [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} f {\displaystyle f} x 0 {\displaystyle x_{0}}
F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t {\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt} 在x = x 0 {\displaystyle x=x_{0}} F ′ ( x 0 ) = f ( x 0 ) {\displaystyle F'(x_{0})=f(x_{0})} f {\displaystyle f} F {\displaystyle F} 几乎处处 可导，且F ′ ( x ) {\displaystyle F'(x)} f ( x ) {\displaystyle f(x)} 勒贝格微分定理 。
定理的第一部分对于任何具有原函数F {\displaystyle F} f {\displaystyle f}
泰勒定理 中把余项表示成一个积分 的形式，可以视为微积分基本定理的一个推广。
对于复数 函数，也有一个类似的形式：假设U {\displaystyle U} C {\displaystyle \mathbb {C} } f : U → C {\displaystyle f:U\rightarrow \mathbb {C} } U {\displaystyle U} 全纯 原函数F {\displaystyle F} γ : [ a , b ] → U {\displaystyle \gamma :[a,b]\rightarrow U} 曲线积分 可以用下式来计算：
∫ γ f ( z ) d z = F ( γ ( b ) ) − F ( γ ( a ) ) . {\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz=F(\gamma (b))-F(\gamma (a))\,.} 微积分基本定理可以推广到多维空间的曲线和曲面积分，也可以推广到流形 。
这个方向上的一个有力的表述是斯托克斯定理 ：设M {\displaystyle M} 分段 光滑n {\displaystyle n} ω {\displaystyle \omega } n − 1 {\displaystyle n-1} M {\displaystyle M} 1 类紧支撑 微分形式 。如果ϑ M {\displaystyle \vartheta M} MM {\displaystyle M} 的边界 ，并以M {\displaystyle M}
∫ M d ω = ∮ ∂ M ω . {\displaystyle \int _{M}\mathrm {d} \omega =\oint _{\partial M}\omega \,.} 这里d {\displaystyle \mathrm {d} \!\,} 外导数 ，它仅仅用流形的结构来定义。斯托克斯定理将德拉姆上同调 和奇异链的同调 联系起来。
^ See, e.g., Marlow Anderson, Victor J. Katz, Robin J. Wilson,Sherlock Holmes in Babylon and Other Tales of Mathematical History , Mathematical Association of America, 2004,p. 114 （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）. ^ Malet, Antoni. James Gregorie on tangents and the "Taylor" rule for series expansions.Archive for History of Exact Sciences (Springer-Verlag ). 1993.doi:10.1007/BF00375656 Gregorie's thought, on the other hand, belongs to a conceptual framework strongly geometrical in character. (page 137) ^ See, e.g., Marlow Anderson, Victor J. Katz, Robin J. Wilson,Sherlock Holmes in Babylon and Other Tales of Mathematical History , Mathematical Association of America, 2004,p. 114 . ^ Gregory, James.Geometriae Pars Universalis .Museo Galileo : Patavii: typis heredum Pauli Frambotti. 1668. ^ Child, James Mark; Barrow, Isaac.The Geometrical Lectures of Isaac Barrow . Chicago:Open Court Publishing Company . 1916. Larson, Ron, Bruce H. Edwards, David E. Heyd.Calculus of a single variable . 7th ed. Boston: Houghton Mifflin Company, 2002. Leithold, L. (1996).The calculus 7 of a single variable . 6th ed. New York: HarperCollins College Publishers. Malet, A,Studies on James Gregorie (1638-1675) (PhD Thesis, Princeton, 1989). Stewart, J. (2003). Fundamental Theorem of Calculus. In Integrals. InCalculus: early transcendentals . Belmont, California: Thomson/Brooks/Cole. Turnbull, H W (ed.),The James Gregory Tercentenary Memorial Volume (London, 1939)
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