此條目介紹的是数学概念。关于物理方程的“微分形式”与“积分形式”，请见「微分方程」和「积分方程」。

微分形式（英語：Differential form）是多变量微积分，微分拓扑和张量分析领域的一个数学概念。现代意义上的微分形式，及其以楔积和外微分结构形成外代数的想法，都是由法国数学家埃里·嘉当引入的。

例如，一元微积分中的表达式${\displaystyle f(x)dx}$ 是1-形式的一个例子，并且可以在${\displaystyle f}$ 定义域内的一个区间${\displaystyle [a,b]}$ 上进行积分：

${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)dx.}$

类似地，表达式${\displaystyle f(x,y,z)dx\wedge dy+g(x,y,z)dz\wedge dx+h(x,y,z)dy\wedge dz}$ 是2-形式的一种，它在可定向曲面${\displaystyle S}$ 上有曲面积分:

${\displaystyle {\int }_{S}f(x,y,z)dx\wedge dy+g(x,y,z)dz\wedge dx+h(x,y,z)dy\wedge dz.}$

符号∧表示两个微分形式的外积，有时候也称为楔积。类似地，3-形式${\displaystyle f(x,y,z)dx\wedge dy\wedge dz}$ 表示可以在空间的一个区域进行积分的体积元。一般地，${\displaystyle k}$-形式是一个可以在${\displaystyle k}$-维集合上进行积分的对象，并且其坐标微分是${\displaystyle k}$ 次齐次的。

我们从Rⁿ中的开集的情形开始。一个0-形式（0-form）定义为一个光滑函数${\displaystyle f}$。当我们在${\displaystyle {\mathbb{R}}^n}$ 的${\displaystyle m}$-维子空间${\displaystyle S}$ 上对函数${\displaystyle f}$ 积分时，我们将积分写作：

${\displaystyle {\int }_{S}fd{x}_1\dots d{x}_m.}$

把${\displaystyle d{x}_1,\cdots ,d{x}_n}$ 当作形式化的对象，而非让积分看起来像个黎曼和的标记。我们把这些和他们的负${\displaystyle -d{x}_1,\cdots ,-d{x}_n}$叫做基本1-形式。

我们再在其上定义一种乘法规则楔积，这种乘法只需满足反交换的条件：对所有${\displaystyle i}$,${\displaystyle j}$

${\displaystyle d{x}_i\wedge d{x}_j=-d{x}_j\wedge d{x}_i}$

注意这意味着

${\displaystyle d{x}_i\wedge d{x}_i=0}$.

我们把这些乘积的集合叫做基本2-形式，类似的我们定义乘积

${\displaystyle d{x}_i\wedge d{x}_j\wedge d{x}_k}$

的集合为基本'3-形式，这里假定n至少为3。现在定义一个单项式'${\displaystyle k}$-形式为一个0-形式乘以一个基本的${\displaystyle k}$-形式，定义${\displaystyle k}$-形式为一些单项式${\displaystyle k}$-形式的和。

楔积可以推广到这些和上：

${\displaystyle (fd{x}_I+gd{x}_J)\wedge (pd{x}_K+qd{x}_L)=}$

${\displaystyle f\cdot pd{x}_I\wedge d{x}_K+f\cdot qd{x}_I\wedge d{x}_L+g\cdot pd{x}_J\wedge d{x}_K+g\cdot qd{x}_J\wedge d{x}_L,}$

等等，这里${\displaystyle d{x}_i}$ 和类似的项表示${\displaystyle k}$-形式。换句话说，和的积就是所有可能的积的和。

现在，我们来定义光滑流形上的${\displaystyle k}$-形式。为此，我们假设有一个开坐标覆盖。我们可以在每个坐标邻域上定义一个${\displaystyle k}$-形式；一个全局的${\displaystyle k}$-形式就是一组坐标领域上的${\displaystyle k}$-形式，他们在坐标邻域的交集上一致。这种一致的精确定义，见流形。

若${\displaystyle f}$,${\displaystyle g}$,${\displaystyle w}$ 为任意微分形式，则

${\displaystyle w\wedge (f+g)=w\wedge f+w\wedge g.}$

若${\displaystyle f}$ 为${\displaystyle k}$-形式，${\displaystyle g}$ 为${\displaystyle l}$-形式：

${\displaystyle f\wedge g=(-1{)}^{kl}g\wedge f.}$

在微分几何中，${\displaystyle k}$ 阶微分${\displaystyle k}$-形式是一个流形的余切丛的${\displaystyle k}$ 阶外幂（exterior power）的光滑截面。在流形的每一点${\displaystyle p}$，一个${\displaystyle k}$-形式给出一个从切空间的${\displaystyle k}$ 阶笛卡儿幂（cartesian power）到${\displaystyle \mathbb{R}}$ 的多线性映射。

例如，光滑函数（0-形式）的微分就是一个1-形式。

1-形式在张量的坐标无关表示中是一个很有用的基本概念。在这个上下文中，他们可以定义为向量的实值函数，并可以看成他们所对应的向量空间的对偶空间。1-形式的一个旧称就是"协变向量"。

k阶微分形式可以在${\displaystyle k}$维链（chain）上积分。若${\displaystyle k=0}$，这就是函数在点上的取值。其他的${\displaystyle k=1,2,3,\cdots }$对应于线积分，曲面积分，体积分等等。

设

${\displaystyle \omega =\sum a_{i_1,\cdots ,i_k}(\mathbf{x})d{x}_{i_1}\wedge \cdots \wedge d{x}_{i_k}}$

为一微分形式，设${\displaystyle S}$ 为一个我们想在其上积分的集合，其中${\displaystyle S}$ 有参数化形式

${\displaystyle S(\mathbf{u})=(x_1(\mathbf{u}),\cdots ,x_n(\mathbf{u}))}$

${\displaystyle \mathbf{u}}$ 属于参数域${\displaystyle D}$。则[Rudin, 1976]定义${\displaystyle S}$ 上微分形式的积分为

${\displaystyle {\int }_S\omega ={\int }_D\sum a_{i_1,\cdots ,i_k}(S(\mathbf{u}))\frac{\mathrm{\partial }(x_{i_1},\cdots ,x_{i_k})}{\mathrm{\partial }(u_1,\cdots ,u_k)}d\mathbf{u}}$

其中

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }(x_{i_1},\cdots ,x_{i_k})}{\mathrm{\partial }(u_1,\cdots ,u_k)}}$

是雅可比矩阵的行列式。

参见斯托克斯定理（Stokes' Theorem）。

一个流形上所有k-形式的集合是一个向量空间。而且，其上有三类操作：楔积,外微分（用d表示），和李导数。${\displaystyle d^2=0}$，细节请见德拉姆上同调。

外导数和积分的基本关系由推广的斯托克斯定理给出，它也同时给出了德拉姆上同调和链的同调的对偶性。

• Walter Rudin.Principles of Mathematical Analysis. New York: McGraw-Hill, Inc. 1976. ISBN 0-07-054235. 
• Michael Spivak.Calculus on Manifolds. W. A. Benjamin, Inc.; Menlo Park CA. 1965. ISBN 66-10910. 

• 微分几何
• 微分拓扑学
• 微分形式

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