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常微分方程

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系列條目
微积分学
基础概念（含极限论和级数论）
多元微积分

在数学分析中，常微分方程（英語：ordinary differential equation，簡稱ODE）是未知函数只含有一个自变量的微分方程。对于微积分的基本概念，请参见微积分、微分学、积分学等条目。

很多科学问题都可以表示为常微分方程，例如根据牛顿第二运动定律，物体在力的作用下的位移s{\displaystyle s}和时间t{\displaystyle t}的关系就可以表示为如下常微分方程：

md2sdt2=f(s){\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}s}{\mathrm {d} t^{2}}}=f(s)}；

其中m{\displaystyle m}是物体的质量，f(s){\displaystyle f(s)}是物体所受的力，是位移的函数。所要求解的未知函数是位移s{\displaystyle s}，它只以时间t{\displaystyle t}为自变量。

精确解总结

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一些微分方程有精确封闭形式的解，这里给出几个重要的类型。

在下表中，P(x),Q(x);P(y),Q(y){\displaystyle P(x),Q(x);P(y),Q(y)}和M(x,y),N(x,y){\displaystyle M(x,y),N(x,y)}是任意关于x,y{\displaystyle x,y}的可积函数，b,c{\displaystyle b,c}是给定的实常数，C,C1,C2…{\displaystyle C,C_{1},C_{2}\ldots }是任意常数（一般为复数）。这些微分方程的等价或替代形式通过积分可以得到解。

在积分解中，λ{\displaystyle \lambda }和ϵ{\displaystyle \epsilon }是积分变量（求和下标的连续形式），记号∫xF(λ)dλ{\displaystyle \int ^{x}F(\lambda )\mathrm {d} \lambda }只表示F(λ){\displaystyle F(\lambda )}对λ{\displaystyle \lambda }积分，在积分以后λ=x{\displaystyle \lambda {}=x}替换，无需加常数（明确说明）。

微分方程解法通解
可分离微分方程
一阶，变量x{\displaystyle x}和y{\displaystyle y}均可分离（一般情况,下面有特殊情况）[1]

P1(x)Q1(y)+P2(x)Q2(y)dydx=0{\displaystyle P_{1}(x)Q_{1}(y)+P_{2}(x)Q_{2}(y)\,{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=0\,\!}

P1(x)Q1(y)dx+P2(x)Q2(y)dy=0{\displaystyle P_{1}(x)Q_{1}(y)\,\mathrm {d} x+P_{2}(x)Q_{2}(y)\,\mathrm {d} y=0\,\!}

分离变量（除以P2Q1{\displaystyle P_{2}Q_{1}}）。∫xP1(λ)P2(λ)dλ+∫yQ2(λ)Q1(λ)dλ=C{\displaystyle \int ^{x}{\frac {P_{1}(\lambda )}{P_{2}(\lambda )}}\,\mathrm {d} \lambda +\int ^{y}{\frac {Q_{2}(\lambda )}{Q_{1}(\lambda )}}\,\mathrm {d} \lambda =C\,\!}
一阶，变量x{\displaystyle x}可分离[2]

dydx=F(x){\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=F(x)\,\!}

dy=F(x)dx{\displaystyle \mathrm {d} y=F(x)\,\mathrm {d} x\,\!}

直接积分。y=∫xF(λ)dλ+C{\displaystyle y=\int ^{x}F(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda +C\,\!}
一阶自治，变量y{\displaystyle y}可分离[2]

dydx=F(y){\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=F(y)\,\!}

dy=F(y)dx{\displaystyle \mathrm {d} y=F(y)\,\mathrm {d} x\,\!}

分离变量（除以F{\displaystyle F}）。x=∫ydλF(λ)+C{\displaystyle x=\int ^{y}{\frac {\mathrm {d} \lambda }{F(\lambda )}}+C\,\!}
一阶，变量x{\displaystyle x}和y{\displaystyle y}均可分离[2]

P(y)dydx+Q(x)=0{\displaystyle P(y){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+Q(x)=0\,\!}

P(y)dy+Q(x)dx=0{\displaystyle P(y)\,\mathrm {d} y+Q(x)\,\mathrm {d} x=0\,\!}

整个积分。∫yP(λ)dλ+∫xQ(λ)dλ=C{\displaystyle \int ^{y}P(\lambda )\,{\mathrm {d} \lambda }+\int ^{x}Q(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda =C\,\!}
一般一阶微分方程
一阶，齐次[2]

dydx=F(yx){\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=F\left({\frac {y}{x}}\right)\,\!}

令y=ux{\displaystyle y=ux}，然后通过分离变量u{\displaystyle u}和x{\displaystyle x}求解。ln⁡(Cx)=∫yxdλF(λ)−λ{\displaystyle \ln(Cx)=\int ^{\frac {y}{x}}{\frac {\mathrm {d} \lambda }{F(\lambda )-\lambda }}\,\!}
一阶，可分离变量[1]

yM(xy)+xN(xy)dydx=0{\displaystyle yM(xy)+xN(xy)\,{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=0\,\!}

yM(xy)dx+xN(xy)dy=0{\displaystyle yM(xy)\,\mathrm {d} x+xN(xy)\,\mathrm {d} y=0\,\!}

分离变量（除以xy{\displaystyle xy}）。

ln⁡(Cx)=∫xyN(λ)dλλ[N(λ)−M(λ)]{\displaystyle \ln(Cx)=\int ^{xy}{\frac {N(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda }{\lambda [N(\lambda )-M(\lambda )]}}\,\!}

如果N=M{\displaystyle N=M},解为xy=C{\displaystyle xy=C}。

正合微分，一阶[2]

M(x,y)dydx+N(x,y)=0{\displaystyle M(x,y){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+N(x,y)=0\,\!}

M(x,y)dy+N(x,y)dx=0{\displaystyle M(x,y)\,\mathrm {d} y+N(x,y)\,\mathrm {d} x=0\,\!}

其中∂M∂x=∂N∂y{\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial x}}={\frac {\partial N}{\partial y}}\,\!}

全部積分F(x,y)=∫yM(x,λ)dλ+∫xN(λ,y)dλ+Y(y)+X(x)=C{\displaystyle {\begin{aligned}F(x,y)&=\int ^{y}M(x,\lambda )\,\mathrm {d} \lambda +\int ^{x}N(\lambda ,y)\,\mathrm {d} \lambda \\&+Y(y)+X(x)=C\end{aligned}}\,\!}

其中Y(y){\displaystyle Y(y)}和X(x){\displaystyle X(x)}是积分出来的函数而不是常数，将它们列在这里以使最终函数F(x,y){\displaystyle F(x,y)}满足初始条件。

非正合微分（英语：Inexact differential equation）,一阶[2]

M(x,y)dydx+N(x,y)=0{\displaystyle M(x,y){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+N(x,y)=0\,\!}

M(x,y)dy+N(x,y)dx=0{\displaystyle M(x,y)\,\mathrm {d} y+N(x,y)\,\mathrm {d} x=0\,\!}

其中∂M∂x≠∂N∂y{\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial x}}\neq {\frac {\partial N}{\partial y}}\,\!}

积分因子μ(x,y){\displaystyle \mu (x,y)}满足

∂(μM)∂x=∂(μN)∂y{\displaystyle {\frac {\partial (\mu M)}{\partial x}}={\frac {\partial (\mu N)}{\partial y}}\,\!}

如果可以得到μ(x,y){\displaystyle \mu (x,y)}：

F(x,y)=∫yμ(x,λ)M(x,λ)dλ+∫xμ(λ,y)N(λ,y)dλ+Y(y)+X(x)=C{\displaystyle {\begin{aligned}F(x,y)&=\int ^{y}\mu (x,\lambda )M(x,\lambda )\,\mathrm {d} \lambda +\int ^{x}\mu (\lambda ,y)N(\lambda ,y)\,\mathrm {d} \lambda \\&+Y(y)+X(x)=C\\\end{aligned}}\,\!}

一般二阶微分方程
二阶，自治[3]

d2ydx2=F(y){\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}=F(y)\,\!}

原方程乘以2dydx{\displaystyle {\frac {2\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}}，代换2dydxd2ydx2=ddx(dydx)2{\displaystyle 2{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}\,\!}，然后两次积分。x=±∫ydλ2∫λF(ϵ)dϵ+C1+C2{\displaystyle x=\pm \int ^{y}{\frac {\mathrm {d} \lambda }{\sqrt {2\int ^{\lambda }F(\epsilon )\,\mathrm {d} \epsilon +C_{1}}}}+C_{2}\,\!}
线性微分方程（最高到n{\displaystyle n}阶）
一阶线性，非齐次的函数系数[2]

dydx+P(x)y=Q(x){\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+P(x)y=Q(x)\,\!}

积分因子：e∫xP(λ)dλ{\displaystyle e^{\int ^{x}P(\lambda )\,d\lambda }}。y=e−∫xP(λ)dλ[∫xe∫λP(ϵ)dϵQ(λ)dλ+C]{\displaystyle y=e^{-\int ^{x}P(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda }\left[\int ^{x}e^{\int ^{\lambda }P(\epsilon )\,\mathrm {d} \epsilon }Q(\lambda )\,{\mathrm {d} \lambda }+C\right]}
二阶线性，非齐次的常系数[4]

d2ydx2+bdydx+cy=r(x){\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+b{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+cy=r(x)\,\!}

余函数yc{\displaystyle y_{c}}：设yc=eαx{\displaystyle y_{c}=\mathrm {e} ^{\alpha x}}，代换并解出α{\displaystyle \alpha }中的多项式，求出线性无关函数eαjx{\displaystyle e^{\alpha _{j}x}}。

特解yp{\displaystyle y_{p}}：一般运用常数变易法（英语：method of variation of parameters），虽然对于非常容易的r(x){\displaystyle r(x)}可以直观判断。[2]

y=yc+yp{\displaystyle y=y_{c}+y_{p}}

如果b2>4c{\displaystyle b^{2}>4c},则：

yc=C1e(−b+b2−4c)x2+C2e−(b+b2−4c)x2{\displaystyle y_{c}=C_{1}e^{\left(-b+{\sqrt {b^{2}-4c}}\right){\frac {x}{2}}}+C_{2}e^{-\left(b+{\sqrt {b^{2}-4c}}\right){\frac {x}{2}}}\,\!}

如果b2=4c{\displaystyle b^{2}=4c}，则：

yc=(C1x+C2)e−bx2{\displaystyle y_{c}=(C_{1}x+C_{2})e^{-{\frac {bx}{2}}}\,\!}

如果b2<4c{\displaystyle b^{2}<4c},则：

yc=e−bx2[C1sin⁡(|b2−4c|x2)+C2cos⁡(|b2−4c|x2)]{\displaystyle y_{c}=e^{-{\frac {bx}{2}}}\left[C_{1}\sin {\left({\sqrt {\left|b^{2}-4c\right|}}{\frac {x}{2}}\right)}+C_{2}\cos {\left({\sqrt {\left|b^{2}-4c\right|}}{\frac {x}{2}}\right)}\right]\,\!}

n{\displaystyle n}阶线性，非齐次常系数[4]

∑j=0nbjdjydxj=r(x){\displaystyle \sum _{j=0}^{n}b_{j}{\frac {\mathrm {d} ^{j}y}{\mathrm {d} x^{j}}}=r(x)\,\!}

余函数yc{\displaystyle y_{c}}：设yc=eαx{\displaystyle y_{c}=\mathrm {e} ^{\alpha x}}，代换并解出α{\displaystyle \alpha }中的多项式，求出线性无关函数eαjx{\displaystyle e^{\alpha _{j}x}}。

特解yp{\displaystyle y_{p}}：一般运用常数变易法（英语：method of variation of parameters），虽然对于非常容易的r(x){\displaystyle r(x)}可以直观判断。[2]

y=yc+yp{\displaystyle y=y_{c}+y_{p}}

由于αj{\displaystyle \alpha _{j}}为n{\displaystyle n}阶多项式的解：∏j=1n(α−αj)=0{\displaystyle \prod _{j=1}^{n}\left(\alpha -\alpha _{j}\right)=0\,\!}，于是：

对于各不相同的αj{\displaystyle \alpha _{j}}，

yc=∑j=1nCjeαjx{\displaystyle y_{c}=\sum _{j=1}^{n}C_{j}e^{\alpha _{j}x}\,\!}

每个根αj{\displaystyle \alpha _{j}}重复kj{\displaystyle k_{j}}次，

yc=∑j=1n(∑ℓ=1kjCℓxℓ−1)eαjx{\displaystyle y_{c}=\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{\ell =1}^{k_{j}}C_{\ell }x^{\ell -1}\right)e^{\alpha _{j}x}\,\!}

对于一些复数值的αj，令α = χj +iγj，使用欧拉公式，前面结果中的一些项就可以写成

Cjeαjx=Cjeχjxcos⁡(γjx+ϕj){\displaystyle C_{j}e^{\alpha _{j}x}=C_{j}e^{\chi _{j}x}\cos(\gamma _{j}x+\phi _{j})\,\!}

的形式，其中ϕj为任意常量（相移）。

参见

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参考资料

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  1. ^1.01.1Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition), S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schuam's Outline Series, 2009, ISC_2N 978-0-07-154855-7
  2. ^2.02.12.22.32.42.52.62.72.8Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (4th Edition), W.E. Boyce, R.C. Diprima, Wiley International, John Wiley & Sons, 1986,ISBN 0-471-83824-1
  3. ^Further Elementary Analysis, R. Porter, G.Bell & Sons (London), 1978,ISBN 0-7135-1594-5
  4. ^4.04.1Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISC_2N 978-0-521-86153-3
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