提示：此条目的主题不是完整。

微分几何中，一個微分流形上的联络的完整^[1]（英語：holonomy，又譯和樂），描述向量繞閉圈平行移动一週回到起點後，與原先相異的現象。平聯絡的和樂是一種單值性現象，其於全域有定義。曲聯絡的和樂則有非平凡的局域和全域特點。

流形上任意一種聯絡，都可由其平行移動映射給出相應的和樂。常見的和樂由具有特定對稱的聯絡給出，例如黎曼几何中列维-奇维塔联络的和樂（稱為黎曼和樂）。向量丛聯絡的和樂、嘉当联络的和樂，以及主丛聯絡的和樂。在該些例子中，聯絡的和樂可用一個李群描述，稱為和樂群。聯絡的和樂與其曲率密切相關，見安布羅斯-辛格定理。

對黎曼和樂的研究導致了若干重要的發現。其最早由Élie Cartan （1926）引入，以用於對稱空間（英语：symmetric space）的分類上。然而，很久以後，和樂群才用於更一般的黎曼幾何上。1952年，乔治·德拉姆證明了德拉姆分解定理：若黎曼流形的切丛可分解成局域和樂群作用下不變的子空間，則該流形分解為黎曼流形的笛卡儿积。稍後，於1953年，馬塞爾·伯格（英语：Marcel Berger） 給出所有不可約和樂的分類^[2]。黎曼和樂的分解和分類適用於物理和弦論。

設M 為光滑流形，E 為其上的k 維向量丛，∇ 為E 上的聯絡。給定M 上一點x 和以x 為基點的分段光滑環圈γ : [0,1] →M, 該聯絡定義了一個平行移动映射P_γ :E_x →E_x. 該映射是可逆線性映射，因此是一般线性群 GL(E_x) 的元素。∇ 以x 為基點的和樂群定義為

${\displaystyle {\mathrm{Hol}}_x(\mathrm{\nabla })=\{P_{\gamma }\in \mathrm{G}\mathrm{L}(E_x)\mid \gamma \text{ 为 以}x\text{ 为 基 点 的 环 圈 }\}.}$

以x 為基點的限制和樂群是由可縮（英语：contractible）環圈γ 給出的子群${\displaystyle {\mathrm{Hol}}_x^0(\mathrm{\nabla })}$.

若M連通，則不同基點x 的和樂群僅相差 GL(k,R) 的共軛作用。更具體說，若γ 為M 中由x 到y 的路徑，則

${\displaystyle {\mathrm{Hol}}_y(\mathrm{\nabla })=P_{\gamma }{\mathrm{Hol}}_x(\mathrm{\nabla })P_{\gamma }^{-1}.}$

選取E_x 的另一組基（即以另一種方式將E_x 視為與R^k 等同）同樣會使和樂群變成 GL(k,R) 中另一個共軛子群。非完全嚴格的討論中（下同），可將基點略去，但倘如此行，則和樂群僅在共軛意義下有良好定義。

和樂群的重要性質包括：

• ${\displaystyle {\mathrm{Hol}}^0(\mathrm{\nabla })}$ 是 GL(k,R) 的連通李子群。
• ${\displaystyle {\mathrm{Hol}}^0(\mathrm{\nabla })}$ 是${\displaystyle \mathrm{Hol}(\mathrm{\nabla })}$ 的單位連通支（英语：identity component）。
• 存在自然的滿群同態${\displaystyle {\pi }_1(M)\to \mathrm{Hol}(\mathrm{\nabla })/{\mathrm{Hol}}^0(\mathrm{\nabla }),}$ 其中${\displaystyle {\pi }_1(M)}$ 是M 的基本群。該同態將同倫類${\displaystyle [\gamma ]}$ 映到陪集${\displaystyle P_{\gamma }\cdot {\mathrm{Hol}}^0(\mathrm{\nabla }).}$
• 若M單連通，則${\displaystyle \mathrm{Hol}(\mathrm{\nabla })={\mathrm{Hol}}^0(\mathrm{\nabla }).}$
• ∇ 為平（即曲率恆零）当且仅当${\displaystyle {\mathrm{Hol}}^0(\mathrm{\nabla })}$ 為平凡群。

在物理学中，威爾森迴圈是 tr(P)（特徵標理論的跡）。

主叢聯絡的和樂與向量叢相倣。設G 為李群，P 為仿緊光滑流形M 上的主G 叢。設ω 為P 上的聯絡。給定M 中一點x, 以x 為基點的分段光滑環圈γ : [0,1] →M, 以及x 纖維上一點p, 該聯絡定義了唯一的水平提升${\displaystyle \tilde{\gamma }:[0,1]\to P}$ 使得${\displaystyle \tilde{\gamma }(0)=p.}$ 水平提升的終點${\displaystyle \tilde{\gamma }(1)}$ 未必是p, 因為其可為x 纖維上的另一點p·g. 若兩點p 和q 之間有分段光滑的水平提升路徑連接，則稱p ~q. 如此，~ 是P 上的等價關係。

ω 以p 為基點的和樂群定義為

${\displaystyle {\mathrm{Hol}}_p(\omega )=\{g\in G\mid p\sim p\cdot g\}.}$

若在定義中僅允許可縮（英语：contractible）環圈γ 的水平提升，則得到以p 為基點的受限和樂群${\displaystyle {\mathrm{Hol}}_p^0(\omega )}$. 其為和樂群${\displaystyle {\mathrm{Hol}}_p(\omega )}$ 的子群。

若M 和P 皆連通，則不同基點p 的和樂群僅在G 互為共軛。更具體說，若q 是另一個基點，則有唯一的g ∈G 使得q ~p·g. 於是，

${\displaystyle {\mathrm{Hol}}_q(\omega )=g^{-1}{\mathrm{Hol}}_p(\omega )g.}$

特別地，

${\displaystyle {\mathrm{Hol}}_{p\cdot g}(\omega )=g^{-1}{\mathrm{Hol}}_p(\omega )g,}$

再者，若p ~q, 則${\displaystyle {\mathrm{Hol}}_p(\omega )={\mathrm{Hol}}_q(\omega ).}$ 因此，有時可省略基點不寫，但須留意這會使得和樂群僅在共軛意義下有良好定義。

和樂群的若干性質包括：

• ${\displaystyle {\mathrm{Hol}}_p^0(\omega )}$ 是G 的連通李子群。
• ${\displaystyle {\mathrm{Hol}}_p^0(\omega )}$ 是${\displaystyle {\mathrm{Hol}}_p(\omega )}$ 的單位連通支（英语：identity component）。
• 存在自然的滿群同態${\displaystyle {\pi }_1(M)\to {\mathrm{Hol}}_p(\omega )/{\mathrm{Hol}}_p^0(\omega ).}$
• 若M單連通，則${\displaystyle {\mathrm{Hol}}_p(\omega )={\mathrm{Hol}}_p^0(\omega ).}$
• ω 為平（即曲率恆零）当且仅当${\displaystyle {\mathrm{Hol}}_p^0(\omega )}$ 為平凡群。

同上，設M 為連通仿緊流形，P 為其上的主G 叢，ω 為P 上的聯絡。設p ∈P 為主叢上的任意一點。以H (p) 表示P 中可與p 用水平曲線相連的點的集合。則可證明H (p) 連同其到M 的投影也構成M 上的主叢，且具有結構群${\displaystyle {\mathrm{Hol}}_p(\omega )}$（即H (p) 是主${\displaystyle {\mathrm{Hol}}_p(\omega )}$ 叢）。 此主叢稱為該聯絡ω 經過p 的和樂叢。ω 限制到H (p) 上也是一個聯絡，因為其平行移動映射保持H (p) 不變。故H (p) 是該聯絡的約化主叢。此外，H (p) 任何真子叢都不被平行移動保持，所以其在該類約化主叢之中為最小。^[3]

與和樂群類似，和樂叢在環繞它的主叢P 中等變。具體說，若q ∈P 是另一個基點，則有g ∈G 使得q ~pg（按假設，M 是路連通的）。故H (q) =H (p)g. 於是，兩者在和樂叢上導出的聯絡是相容的，即：兩個聯絡的平行移動映射恰好相差了群元素g.

和樂叢H (p) 是主${\displaystyle {\mathrm{Hol}}_p(\omega )}$ 叢，因此受限和樂群${\displaystyle {\mathrm{Hol}}_p^0(\omega )}$（作為全個和樂群的正規子群）也作用在H (p) 上。離散群${\displaystyle {\mathrm{Hol}}_p(\omega )/{\mathrm{Hol}}_p^0(\omega )}$ 稱為聯絡的單延拓（英语：Monodromy）群。其作用在商叢${\displaystyle H(p)/{\mathrm{Hol}}_p^0(\omega )}$ 上。存在滿同態${\displaystyle \phi :{\pi }_1\to {\mathrm{Hol}}_p(\omega )/{\mathrm{Hol}}_p^0(\omega ),}$ 使得${\displaystyle \phi ({\pi }_1(M))}$ 作用在${\displaystyle H(p)/{\mathrm{Hol}}_p^0(\omega )}$ 上。基本群的這個群作用稱為基本群的單延拓表示。^[4]

若 π:P →M 為主叢，ω 為P 的聯絡，則 ω 的和樂可限制到M 的開集的纖維上。若U 為M 的連通開集，則將 ω 限制到U 上可得叢 π⁻¹U 的聯絡。該叢的和樂群記為${\displaystyle {\mathrm{Hol}}_p(\omega ,U),}$ 而受限和樂群則記為${\displaystyle {\mathrm{Hol}}_p^0(\omega ,U),}$ 其中p 為滿足 π(p) ∈U 的點。

若U ⊂V 為包含 π(p) 的兩個開集，則有包含關係

${\displaystyle {\mathrm{Hol}}_p^0(\omega ,U)\subset {\mathrm{Hol}}_p^0(\omega ,V).}$

p 點的局域和樂群定義為

${\displaystyle {\mathrm{Hol}}_p^{\ast }(\omega )=\bigcap _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{Hol}}_p^0(\omega ,U_k),}$

其中U_k 為任意一族滿足${\displaystyle \bigcap _k{U}_k=\pi (p)}$ 的遞降（即${\displaystyle U_k\subset U_{k+1}\mathrm{\forall }k}$ ）連通開集。

局域和樂群有以下性質：

1. 其為受限和樂群${\displaystyle {\mathrm{Hol}}_p^0(\omega )}$ 的連通李子群。
2. 每點p 都有鄰域V 使得${\displaystyle {\mathrm{Hol}}_p^{\ast }(\omega )={\mathrm{Hol}}_p^0(\omega ,V).}$ 局域和樂群僅取決於p, 而非序列U_k 的選取。
3. 局域和樂群在結構群G 的作用下等變，即對任意g ∈G,${\displaystyle {\mathrm{Hol}}_{pg}^{\ast }(\omega )=\mathrm{Ad}(g^{-1}){\mathrm{Hol}}_p^{\ast }(\omega ).}$（注意由性質 1, 局域和樂群是G 的連通李子群，故伴隨 Ad 有定義。

局域和樂群不一定有全域的良好性質，例如流形的不同點上的局域和樂群不一定具有相同的維數。然而，有以下的定理：

• 若局域和樂群的維數恆定，則局域和樂群與受限和樂群相等，即${\displaystyle {\mathrm{Hol}}_p^{\ast }(\omega )={\mathrm{Hol}}_p^0(\omega ).}$

英文Holonomy與「全純」（Holomorphic）相似，"Holomorphic"一詞由柯西的兩個學生夏爾·布里奧（法语：Charles Briot）（1817–1882）和讓-克勞迪·波桂（法语：Jean-Claude Bouquet）（1819–1895）引入，來自希臘文ὅλος（holos）和μορφή（morphē），意思分別是「全」、「形態」。^[5]

"Holonomy"與"holomorphic"的前半（holos）一樣。至於後半：

非常難在網絡上找出holonomic（或holonomy）的詞源。我找到（鳴謝普林斯頓的約翰·康威）：

我相信潘索（Louis Poinsot）最早在他對剛體運動的分析用到它。這個理論中，若某種意義下，能夠從一個系統的局域資訊得悉其全局資訊，就叫一個和樂的 （"holonomic"）系統，所以它的意思「整體法則」（"entire-law"）很貼切。球在桌上滾動並不和樂，因為沿不同的路徑滾到同一點，可以使球的方向不同。然而，將「和樂」理解成「整體法則」恐怕有點過於簡化。希臘文的"nom"詞根有多層互相交織的意思，可能更多時解「數算」（counting）。它與我們的詞數字"number"來自同一個印歐詞根。

——S. Golwala^[6]

參見νόμος（nomos）和-nomy。

安布羅斯－辛格定理（得名自Warren Ambrose and Isadore M. Singer （1953））描述主叢聯絡的和樂與該聯絡的曲率形式之間的關係。為理解此定理，先考慮較熟知的情況，如仿射联络、切叢聯絡（或其特例列維－奇維塔聯絡）。沿無窮小平行四邊形的邊界走一圈，就會感受到曲率。

引入更多細節，若${\displaystyle \sigma :[0,1]\times [0,1]\to M}$是${\displaystyle M}$中某曲面的坐標表示，則向量${\displaystyle V}$可以沿${\displaystyle \sigma }$的邊界平行移動，由原點出發，先沿${\displaystyle (x,0)}$，再沿${\displaystyle (1,y)}$，再${\displaystyle (x,1)}$（${\displaystyle x}$反方向，即由${\displaystyle 1}$遞減至${\displaystyle 0}$），最後${\displaystyle (0,y)}$，回到原點。此為和樂環圈的特例，因為向量${\displaystyle V}$沿該圈平行移動的結果，相當於${\displaystyle \sigma }$邊界的提升，對應的和樂群元素，作用在${\displaystyle V}$上。當平行四邊形縮至無窮小時（即沿更小的平行四邊形圈，對應${\displaystyle \sigma }$坐標中的區域${\displaystyle [0,x]\times [0,y]}$，而${\displaystyle x,y}$趨向於${\displaystyle 0}$），就會明確得到曲率。換言之，取平行移動映射於${\displaystyle x=y=0}$處的導數：

${\displaystyle \frac{D}{dx}\frac{D}{dy}V-\frac{D}{dy}\frac{D}{dx}V=R\left(\frac{\mathrm{\partial }\sigma }{\mathrm{\partial }x},\frac{\mathrm{\partial }\sigma }{\mathrm{\partial }y}\right)V}$

其中${\displaystyle R}$為曲率張量。^[7]所以，粗略而言，曲率給出閉環圈（無窮小平行四邊形）上的無窮小和樂。更嚴格地，曲率是和樂作用於和樂群單位元處的導數。換言之，${\displaystyle R(X,Y)}$是${\displaystyle {\mathrm{Hol}}_p(\omega )}$的李代數的元素。

一般來說，考慮結構群為${\displaystyle G}$的主叢${\displaystyle P\to M}$某聯絡的和樂。以${\displaystyle \mathfrak{g}}$表示${\displaystyle G}$的李代數，則聯絡的曲率形式是${\displaystyle P}$上的${\displaystyle \mathfrak{g}}$值2-形式${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$。安布羅斯－辛格定理斷言：^[8]

${\displaystyle {\mathrm{Hol}}_p(\omega )}$的李代數，是由${\displaystyle \mathfrak{g}}$中所有形如${\displaystyle {\mathrm{\Omega }}_q(X,Y)}$的元素線性張成，其中${\displaystyle q}$取遍所有可以用水平曲線${\displaystyle (q\sim p)}$與${\displaystyle p}$連接的點，而${\displaystyle X,Y}$皆是${\displaystyle q}$處的水平切向量。

亦可用和樂叢的說法，複述如下：^[9]

${\displaystyle {\mathrm{Hol}}_p(\omega )}$的李代數，是${\displaystyle \mathfrak{g}}$中形如${\displaystyle {\mathrm{\Omega }}_q(X,Y)}$的元素張成的線性子空間，其中${\displaystyle q}$取遍${\displaystyle H(p)}$的元素，而${\displaystyle X,Y}$取遍${\displaystyle q}$處的水平向量。

設${\displaystyle x\in M}$為任意一點，則和樂群${\displaystyle \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{l}(M)}$作用在切空間${\displaystyle T_{x}M}$上。視之為群的表示，則可能不可約，亦可能可約，即可以將${\displaystyle T_{x}M}$分解成正交子空間的直和

${\displaystyle T_{x}M=T_x^{\prime }M\oplus T_x^{″}M,}$

而兩個子空間皆在${\displaystyle \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{l}(M)}$作用下不變。此時亦稱${\displaystyle M}$可約。

設${\displaystyle M}$為可約流形。上式說明，在每一點${\displaystyle x}$處，切空間可以約化分解成${\displaystyle T_x^{\prime }M}$和${\displaystyle T_x^{″}M}$，所以當${\displaystyle x}$變動時，就定義出向量叢${\displaystyle T^{\prime }M}$和${\displaystyle T^{″}M}$，兩者皆光滑分佈，且是弗比尼斯可積。兩個分佈的積分流形（英语：integral manifold）皆為完全測地（英语：Totally geodesic）子流形，換言之，子流形的測地線皆為原流形的測地線。所以局部觀察${\displaystyle M}$，是笛卡爾積${\displaystyle M^{\prime }\times M^{″}}$。重複上述分解，直到切空間完全約化，則得到（局部）德拉姆同構：^[10]

設${\displaystyle M}$為單連通黎曼流形，^[11]又設在和樂群的作用下，${\displaystyle TM=T^{(0)}M\oplus T^{(1)}M\oplus \cdots \oplus T^{(k)}M}$為切叢的完全約化分解，而和樂群在${\displaystyle T^{(0)}M}$上的作用平凡（恆等映射），則${\displaystyle M}$局部等距同構於乘積

${\displaystyle V_0\times V_1\times \cdots \times V_k,}$

其中${\displaystyle V_0}$是歐氏開集，而每個${\displaystyle V_i}$是${\displaystyle T^{(i)}M}$的積分流形。更甚者，${\displaystyle \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{l}(M)}$是${\displaystyle \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{l}(M_i)}$的直積（${\displaystyle M_i}$是${\displaystyle T^{(i)}}$過某點的極大積分流形）。

若同時假設${\displaystyle M}$測地完備（英语：geodesically complete）（每點每個方向的測地線皆可無限延伸），則定理不僅局部成立，而是全域成立，且各${\displaystyle M_i}$本身也是測地完備流形。^[12]

1955年，馬塞爾·伯格（英语：Marcel Berger）將不可約（並非局部等同積空間）、非對稱（並非局部地黎曼對稱（英语：Riemannian symmetric space））、單連通的黎曼流形，可能具有的和樂群，完全分類。伯格分類表如下：

${\displaystyle \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{l}(g)}$	${\displaystyle \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}(M)}$	流形類型	備註
正交群${\displaystyle SO(n)}$	${\displaystyle n}$	可定向流形	—
酉群${\displaystyle U(n)}$	${\displaystyle 2n}$	凯勒流形	凱勒
特殊酉群${\displaystyle SU(n)}$	${\displaystyle 2n}$	卡拉比–丘流形	里奇平、凱勒
辛群${\displaystyle \mathrm{S}\mathrm{p}(n)}$	${\displaystyle 4n}$	超凱勒流形（英语：Hyperkähler manifold）	里奇平、凱勒
${\displaystyle \mathrm{S}\mathrm{p}(n)\cdot \mathrm{S}\mathrm{p}(1)}$	${\displaystyle 4n}$	四元數凱勒流形（英语：Quaternion-Kähler manifold）	愛因斯坦（英语：Einstein manifold）
例外單李群（英语：G2 (mathematics)）${\displaystyle G_2}$	${\displaystyle 7}$	G2流形（英语：G2 manifold）	里奇平
旋量群${\displaystyle \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(7)}$	${\displaystyle 8}$	Spin(7)流形（英语：Spin(7) manifold）	里奇平

1965年，愛德蒙·博南（英语：Edmond Bonan）及Vivian Yoh Kraines同時研究和樂群為${\displaystyle \mathrm{S}\mathrm{p}(n)\cdot \mathrm{S}\mathrm{p}(1)}$的流形，構造出其平行4形式。

愛德蒙·博南（英语：Edmond Bonan）於1966年最早引入和樂群為${\displaystyle G_2}$或${\displaystyle \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(7)}$的流形，他構造出全部平行形式，並證明該些流形皆為里奇平。

伯格原先的表中，未排除${\displaystyle \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(9)}$（作為${\displaystyle SO(16)}$的子群）。後來，迪米特里·阿列克謝耶夫斯基（Dmitri V. Alekseevsky）一人，與布朗（Brown）、格雷（Gray）二人，分別證明具此和樂群的黎曼流形必然局部對稱，即與凱萊平面（英语：Cayley plane）${\displaystyle F_4/\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(9)}$局部等距同構，或局部平坦，故上表不列。上表列出的各可能，現已確實知道是某黎曼流形的和樂群。末尾兩個例外情況的流形最難發現，見${\displaystyle G_2}$流形（英语：G2 manifold）和${\displaystyle \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(7)}$流形（英语：Spin(7) manifold）。

注意${\displaystyle \mathrm{S}\mathrm{p}(n)\subset SU(2n)\subset U(2n)\subset SO(4n)}$，故超凱勒流形（英语：hyperkähler manifold）必為卡拉比－丘，卡拉比－丘流形必為凱勒，而凯勒流形必可定向。

以上看似奇怪的列表（伯格定理），可由西蒙斯（Simons）的證明解釋。另有一個簡單幾何證明，由卡洛斯·奧爾莫斯（Carlos E. Olmos）於2005年給出。^[13]第一步要證，若黎曼流形並非局部對稱空間（英语：locally symmetric space），而約化和樂在切空間上的作用不可約，則遞移地作用在單位球面上。但已知有何種李群遞移作用於球面：上表所列各項，以及兩個額外情況，分別是${\displaystyle \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(9)}$（作用於${\displaystyle {\mathbb{R}}^{16}}$），以及${\displaystyle U(1)\cdot \mathrm{S}\mathrm{p}(m)}$（作用於${\displaystyle {\mathbb{R}}^{4m}}$）。最後，要驗證前者只能作為局部對稱空間（局部同構於的凱萊射影平面（英语：Cayley projective plane））的和樂群，而後者則根本不能作為和樂群出現。

伯格的原分類，尚有涵蓋非正定的偽黎曼度量，其給出非局部對稱和樂的可能列表為：

和樂群	度量符號（英语：Metric signature）
${\displaystyle SO(p,q)}$	${\displaystyle (p,q)}$
${\displaystyle U(p,q)}$	${\displaystyle (2p,2q)}$
${\displaystyle SU(p,q)}$	${\displaystyle (2p,2q)}$
${\displaystyle \mathrm{S}\mathrm{p}(p,q)}$	${\displaystyle (4p,4q)}$
${\displaystyle \mathrm{S}\mathrm{p}(p,q)\cdot \mathrm{S}\mathrm{p}(1)}$	${\displaystyle (4p,4q)}$
${\displaystyle SO(n,\mathbb{C})}$	${\displaystyle (n,n)}$
${\displaystyle SO(n,\mathbb{H})}$	${\displaystyle (2n,2n)}$
分裂${\displaystyle G_2}$	${\displaystyle (4,3)}$
${\displaystyle G_2(\mathbb{C})}$	${\displaystyle (7,7)}$
${\displaystyle \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(4,3)}$	${\displaystyle (4,4)}$
${\displaystyle \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(7,\mathbb{C})}$	${\displaystyle (7,7)}$
${\displaystyle (\ast )\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(5,4)}$	${\displaystyle (8,8)}$
${\displaystyle (\ast )\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(9,\mathbb{C})}$	${\displaystyle (16,16)}$

但是，標${\displaystyle (\ast )}$的兩種和樂群（分裂${\displaystyle \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(9)}$及複化${\displaystyle \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(9)}$），如同正定的情況，只能在局部對稱空間出現，故應予刪去。至於複化和樂群${\displaystyle SO(n,\mathbb{C}),G_2(\mathbb{C}),\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(7,\mathbb{C})}$三種，可以將實解析黎曼流形複化得到。而和樂群為${\displaystyle SO(n,\mathbb{H})}$子群的流形，R. McLean證明其為局部平。^[14]

對稱黎曼空間，因為局部與齊性空間${\displaystyle G/H}$同構，其局部和樂群同構於${\displaystyle H}$，經已分類完畢。

最後，伯格的論文亦有列舉僅得無撓仿射联络的流形的可能和樂群，見下節。

一些流形具特殊的和樂，該性質亦可藉平行旋量是否存在來刻劃（平行旋量即協變導數為零的旋量場），^[15]尤其有以下各項命題成立：

• ${\displaystyle \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{l}(\omega )\subseteq U(n)}$，當且僅當${\displaystyle M}$上存在平行的射影純旋量場。
• 若${\displaystyle M}$為旋量流形（英语：spin structure），則${\displaystyle \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{l}(\omega )\subseteq SU(n)}$，當且僅當${\displaystyle M}$具有至少兩個線性獨立的平行純旋量場。事實上，平行純旋量場足以確定由結構群到${\displaystyle SU(n)}$的典範歸約。
• 若${\displaystyle M}$是七維旋量流形，則${\displaystyle M}$具有非平凡平行旋量場，當且僅當和樂群是${\displaystyle G_2}$的子群。
• 若${\displaystyle M}$為八維旋量流形，則${\displaystyle M}$具有非平凡平行旋量場，當且僅當和樂群是${\displaystyle \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(7)}$的子群。

么正與特殊么正和樂經常連帶扭量理论^[16]、殆复流形^[15]一同研究。

具特殊和樂的黎曼流形，對弦論緊化很重要。^[17]原因是，特殊和樂流形上，存在共變常值（即平行）旋量，於是保一部分超对称。較重要的緊化是在具${\displaystyle SU(2)}$或${\displaystyle SU(3)}$和樂的卡拉比–丘流形上，以及${\displaystyle G_2}$流形（英语：G2 manifold）上。

在机器学习，尤其流形學習（英语：manifold learning）方面，曾有人提出，藉計算黎曼流形的和樂，得出數據流形的結構。由於和樂群包含數據流形的全域結構，其適用於判斷數據流形可能如何分解成子流形之積。由於取樣有限，無法完全準確計算出和樂群，但利用來自譜圖論的思想（類似向量擴散映射（英语：Diffusion map）），有可能構造出數值近似。所得的算法「幾何流形分量估計量」（英語：Geometric Manifold Component Estimator，簡寫GeoManCEr「探地者」），能給出德拉姆分解的數值近似，並應用於現實數據。^[18]

仿射和樂群（英語：affine holonomy groups），是無撓仿射联络的和樂群；其中一些不能作為（偽）黎曼和樂群出現，稱為非度量和樂群（英語：non-metric holonomy groups）。德拉姆分解定理不適用於仿射和樂群，所以離完成分類尚有很遠，但仍可以將不可約的仿射和樂分類。

伯格在證明黎曼和樂分類定理的過程中，發現對於非局部對稱（英语：symmetric space）的無撓仿射聯絡而言，和樂群的李代數必定符合兩個條件。伯格第一準則（英語：Berger's first criterion）是安布羅斯－辛格定理（即曲率張量生成和樂的李代數，見前節）的後果；而第二準則，來自聯絡非局部對稱的條件。伯格列舉了滿足此兩個準則，且作用不可約的群，可以視之為不可約仿射和樂群的可能情況表。

但伯格的列表，其後證實並未齊全。羅伯特·布萊恩特（英语：Robert Bryant (mathematician)）（1991）和Q. Chi、S. Merkulov、L. Schwachhöfer（1996）找到未在列表的例子，有時稱為「怪和樂」（exotic holonomies）。努力搜索例子之後，最終由Merkulov和Schwachhöfer（1999年）完成不可約仿射和樂群的分類，而反方向的結果則由布萊恩特（2000年）證明，即列表上所有群皆確實能作為仿射和樂群。

觀察到表中的群和埃爾米特對稱空間（英语：hermitian symmetric space）、四元數凱勒對稱空間（英语：quaternion-Kähler symmetric space）之間有聯繫之後，Merkulov–Schwachhöfer分類會變得更清晰。此種聯繫在複仿射和樂的情況尤其明確，見於Schwachhöfer（2001）。

設${\displaystyle V}$為有限維複向量空間，${\displaystyle H\subseteq \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V)}$為不可約半單複連通李子群，又設${\displaystyle K\subseteq H}$為極大緊子群。

1. 若有不可約埃爾米特對稱空間形如${\displaystyle G/(U(1)\cdot K)}$，則${\displaystyle H}$和${\displaystyle {\mathbb{C}}^{\ast }\cdot H}$兩者皆為非對稱不可約仿射和樂群，其中${\displaystyle V}$為${\displaystyle K}$的切表示。
2. 若有不可約四元數凱勒對稱空間形如${\displaystyle G/(\mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cdot K)}$，則${\displaystyle H}$為非對稱不可約仿射和樂群，而當${\displaystyle \dim V=4}$時，${\displaystyle {\mathbb{C}}^{\ast }\cdot H}$亦然。此時，${\displaystyle \mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cdot K}$的複化切表示是${\displaystyle {\mathbb{C}}^2\otimes V}$，而${\displaystyle H}$保${\displaystyle V}$上某個複辛形式。

上述兩族已涵蓋大部分非對稱不可約複仿射和樂群，例外僅有：

利用埃爾米特對稱空間的分類，第一族的複仿射和樂群有：

其中${\displaystyle Z_{\mathbb{C}}}$可取平凡群，亦可取為${\displaystyle {\mathbb{C}}^{\ast }}$。

同樣，用四元數凱勒對稱空間的分類，第二族複辛和樂群有：

（第二行中，${\displaystyle Z_{\mathbb{C}}}$必須取為平凡群，除非${\displaystyle n=2}$，此時可取為${\displaystyle {\mathbb{C}}^{\ast }}$。）

從以上各列表，可以觀察出一個結論，類似西蒙斯斷言黎曼和樂群遞移作用於球面：複和樂表示皆為預齊性向量空間（英语：prehomogeneous vector space）。但是，未知此事實的概念性證明。

不可約實仿射和樂的分類，用「實仿射和樂複化成複仿射和樂」此結論，結合上表，仔細分析便得。

• A-B效应

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