以古氏積木 演示完全數6 完全数 （perfect number 完美數 或完備數 ，是一些特殊的自然数 ：它所有的真因子 （即除了自身以外的约数）的和，恰好等於它本身，完全数不可能是楔形數 、平方數 、佩爾數 或費波那契數 。
例如：第一个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1 + 2 + 3 = 6 {\displaystyle {{{1}+{2}}+{3}}=6} 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 {\displaystyle {{{{{1}+{2}}+{4}}+{7}}+{14}}=28} 496 、8128 。
十進位 的5位數到7位數、9位數、11位數、13到18位數等位數都沒有完全數，它們不是虧數 就是盈數 。
古希腊数学家欧几里得 是通过2 n − 1 × ( 2 n − 1 ) {\displaystyle 2^{n-1}\times (2^{n}-1)}
当n = 2 : {\displaystyle n=2:} 2 1 × ( 2 2 − 1 ) = 6 {\displaystyle {{{2}^{1}}\times {\left({{{2}^{2}}-{1}}\right)}}=6} 当n = 3 : {\displaystyle n=3:} 2 2 × ( 2 3 − 1 ) = 28 {\displaystyle {{{2}^{2}}\times {\left({{{2}^{3}}-{1}}\right)}}=28} 当n = 5 : {\displaystyle n=5:} 2 4 × ( 2 5 − 1 ) = 496 {\displaystyle {{{2}^{4}}\times {\left({{{2}^{5}}-{1}}\right)}}=496} 当n = 7 : {\displaystyle n=7:} 2 6 × ( 2 7 − 1 ) = 8128 {\displaystyle {{{2}^{6}}\times {\left({{{2}^{7}}-{1}}\right)}}=8128} 一个偶数 是完美数，当且仅当它具有如下形式：2 n − 1 ( 2 n − 1 ) {\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)} 2 n − 1 {\displaystyle 2^{n}-1} 歐拉 所證明。
比如，上面的6 {\displaystyle 6} 28 {\displaystyle 28} n = 2 {\displaystyle n=2} 3 {\displaystyle 3} 2 n − 1 {\displaystyle 2^{n}-1} 素数 （即梅森素数 ），也就知道了一个偶完美数。
尽管没有发现奇完全数，但是当代数学家奥斯丁·欧尔 证明，若有奇完全数，则其形式必然是12 p + 1 {\displaystyle 12p+1} 36 p + 9 {\displaystyle 36p+9} p {\displaystyle p}
首十個完全數是（A000396
6 （1位）28 （2位）496 （3位）8128 （4位）33550336（8位） 8589869056（10位） 137438691328（12位） 2305843008139952128（19位） 2658455991569831744654692615953842176（37位） 191561942608236107294793378084303638130997321548169216（54位） 古代数学家根据當時已知的四个完全数做了很多假设，大部分都是错误的。其中的一个假设是：因为 2、3、5、7 恰好是头 4 个素数，第 5 个完全数应该是第 5 个素数，即当n = 11 {\displaystyle n=11} 2 11 − 1 = 23 × 89 {\displaystyle 2^{11}-1=23\times 89} n = 11 {\displaystyle n=11} 错误假设 是：
头四个完全数分别是 1、2、3、4 位数，第五个应该是 5 位数。 完全数应该是交替以 6 或 8 结尾。 事实上，第五个完全数33550336 = 2 12 ( 2 13 − 1 ) {\displaystyle 33550336=2^{12}(2^{13}-1)} 8 {\displaystyle 8}
对于第二个假设，第五个完全数确实是以6 {\displaystyle 6} 彼得羅·卡塔爾迪 計出第六个完全数8589869056 {\displaystyle 8589869056} 6 {\displaystyle 6} 6 {\displaystyle 6} 8 {\displaystyle 8} [ 1] [ 2] [ 3]
对完全数的研究，至少已经有两千多年的历史。《几何原本 》中就提出了寻求某种类型完全数的问题。
每一个梅森素数 给出一个偶完全数；反之，每個偶完全數給出一個梅森素數，這結果稱為歐幾里得－歐拉定理 。到 2018 年 12 月为止，共发现了 51 个完全数，且都是偶数。最大的已知完全數為2 82589932 × ( 2 82589933 − 1 ) {\displaystyle 2^{82589932}\times (2^{82589933}-1)} 49724095 {\displaystyle 49724095}
以下是目前已發現的完全數共有的性質。
28 {\displaystyle 28} 2 + 8 = 10 {\displaystyle 2+8=10} 1 + 0 = 1 {\displaystyle 1+0=1} 496 {\displaystyle 496} 4 + 9 + 6 = 19 {\displaystyle 4+9+6=19} 1 + 9 = 10 {\displaystyle 1+9=10} 1 + 0 = 1 {\displaystyle 1+0=1} 6 = 2 1 + 2 2 {\displaystyle 6=2^{1}+2^{2}} 28 = 2 2 + 2 3 + 2 4 {\displaystyle 28=2^{2}+2^{3}+2^{4}} 496 = 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 {\displaystyle 496=2^{4}+2^{5}+2^{6}+2^{7}+2^{8}} 8128 = 2 6 + 2 7 + . . . + 2 12 {\displaystyle 8128=2^{6}+2^{7}+...+2^{12}} 6 = 1 + 2 + 3 {\displaystyle 6=1+2+3} 28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 {\displaystyle 28=1+2+3+4+5+6+7} 496 = 1 + 2 + 3 + . . . + 30 + 31 {\displaystyle 496=1+2+3+...+30+31} 8128 = 1 + 2 + 3 + . . . + 126 + 127 {\displaystyle 8128=1+2+3+...+126+127} 28 = 1 3 + 3 3 {\displaystyle 28=1^{3}+3^{3}} 496 = 1 3 + 3 3 + 5 3 + 7 3 {\displaystyle 496=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}} 8128 = 1 3 + 3 3 + 5 3 + . . . + 15 3 {\displaystyle 8128=1^{3}+3^{3}+5^{3}+...+15^{3}} 33550336 = 1 3 + 3 3 + 5 3 + . . . + 127 3 {\displaystyle 33550336=1^{3}+3^{3}+5^{3}+...+127^{3}} 每个完全数的所有约数（包括本身）的倒数之和，都等于2：（這可以用通分證得。因此每個完全數都是歐爾調和數 。） 1 1 + 1 2 + 1 3 + 1 6 = 6 + 3 + 2 + 1 6 = 2 {\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{6}}={\frac {6+3+2+1}{6}}=2} 1 1 + 1 2 + 1 4 + 1 7 + 1 14 + 1 28 = 28 + 14 + 7 + 4 + 2 + 1 28 = 2 {\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{28}}={\frac {28+14+7+4+2+1}{28}}=2} ( 6 ) 10 = ( 110 ) 2 {\displaystyle (6)_{10}=(110)_{2}} ( 28 ) 10 = ( 11100 ) 2 {\displaystyle (28)_{10}=(11100)_{2}} ( 496 ) 10 = ( 111110000 ) 2 {\displaystyle (496)_{10}=(111110000)_{2}} ( 8128 ) 10 = ( 1111111000000 ) 2 {\displaystyle (8128)_{10}=(1111111000000)_{2}} ( 33550336 ) 10 = ( 1111111111111000000000000 ) 2 {\displaystyle (33550336)_{10}=(1111111111111000000000000)_{2}} ( 8589869056 ) 10 = ( 111111111111111110000000000000000 ) 2 {\displaystyle (8589869056)_{10}=(111111111111111110000000000000000)_{2}} ( 137438691328 ) 10 = ( 1111111111111111111000000000000000000 ) 2 {\displaystyle (137438691328)_{10}=(1111111111111111111000000000000000000)_{2}} 截至2024年6月30日，用计算机已经证实：在102200 以下，没有奇完全数；至今还证明了，如果奇完全数存在，则它至少包含11个不同素数（包含一個不少於7位數的質因子）但不包含3 ，亦不會是立方數 。一般猜测奇完全数是不存在的；完全数是否有無限多個也至今未能證明。
美國 數學家卡爾·帕梅朗斯 提出了一個想法說明奇完全數不太可能存在。[ 7]
N = q α p 1 2 e 1 … p k 2 e k , {\displaystyle N=q^{\alpha }p_{1}^{2e_{1}}\ldots p_{k}^{2e_{k}},} 其中： 如果对于所有的i ，都有e i {\displaystyle e_{i}} N 的最小素因子必须大于739（Cohen 1987）。α ≡ 1（mod 12）或α ≡ 9 (mod 12)（McDaniel 1970）。 這個定理說明若存在奇完全數，其形式必如12 m + 1 {\displaystyle 12m+1} 36 q + 9 {\displaystyle 36q+9} 雅克·圖查德 （ 英语 ： Jacques Touchard ） 巴爾塔薩·范德波爾 用非線性偏微分方程 得出證明。茱蒂·霍爾德納 在《美國數學月刊 》第109卷第7期刊證了一個初等的證明。
證明會使用這四個結果：（下面的n,k,j,m,q均為正整數）
引理的證明（甲）：
使用反證法 ，設n {\displaystyle n} n ≡ − 1 ( mod 6 ) {\displaystyle n\equiv -1{\pmod {6}}}
n ≡ − 1 ( mod 3 ) {\displaystyle n\equiv -1{\pmod {3}}} 二次剩餘 只有0,1，故n {\displaystyle n}
n {\displaystyle n} d {\displaystyle d}
d ≡ 1 ( mod 3 ) {\displaystyle d\equiv 1{\pmod {3}}} n / d ≡ − 1 ( mod 3 ) {\displaystyle n/d\equiv -1{\pmod {3}}} d ≡ − 1 ( mod 3 ) {\displaystyle d\equiv -1{\pmod {3}}} n / d ≡ 1 ( mod 3 ) {\displaystyle n/d\equiv 1{\pmod {3}}} 因此，( n / d + d ) ≡ 0 ( mod 3 ) {\displaystyle (n/d+d)\equiv 0{\pmod {3}}} σ ( n ) = ∑ d < n d + n / d ≡ 0 ( mod 3 ) {\displaystyle \sigma (n)=\sum _{d<{\sqrt {n}}}d+n/d\equiv 0{\pmod {3}}}
但2 n ≡ 2 ( − 1 ) ≡ 1 ( mod 3 ) {\displaystyle 2n\equiv 2(-1)\equiv 1{\pmod {3}}}
故n {\displaystyle n} 6 k + 1 {\displaystyle 6k+1} 6 k + 3 {\displaystyle 6k+3}
引理的證明（乙）：
使用反證法 ，設n {\displaystyle n} n ≡ − 1 ( mod 4 ) {\displaystyle n\equiv -1{\pmod {4}}}
n ≡ − 1 ( mod 4 ) {\displaystyle n\equiv -1{\pmod {4}}} 二次剩餘 只有0,1，故n {\displaystyle n}
n {\displaystyle n} d {\displaystyle d}
d ≡ 1 ( mod 4 ) {\displaystyle d\equiv 1{\pmod {4}}} n / d ≡ − 1 ( mod 4 ) {\displaystyle n/d\equiv -1{\pmod {4}}} d ≡ − 1 ( mod 4 ) {\displaystyle d\equiv -1{\pmod {4}}} n / d ≡ 1 ( mod 4 ) {\displaystyle n/d\equiv 1{\pmod {4}}} 因此，( n / d + d ) ≡ 0 ( mod 4 ) {\displaystyle (n/d+d)\equiv 0{\pmod {4}}} σ ( n ) = ∑ d < n d + n / d ≡ 0 ( mod 4 ) {\displaystyle \sigma (n)=\sum _{d<{\sqrt {n}}}d+n/d\equiv 0{\pmod {4}}}
但2 n ≡ 2 ( − 1 ) ≡ 2 ( mod 4 ) {\displaystyle 2n\equiv 2(-1)\equiv 2{\pmod {4}}}
故n {\displaystyle n} 4 k + 1 {\displaystyle 4k+1}
n = 6 k + 1 {\displaystyle n=6k+1} n = 4 j + 1 {\displaystyle n=4j+1} n = 12 m + 1 {\displaystyle n=12m+1}
若n = 6 k + 3 {\displaystyle n=6k+3} n = 4 j + 1 {\displaystyle n=4j+1} n = 12 m + 9 = 3 ( 4 m + 3 ) {\displaystyle n=12m+9=3(4m+3)} m {\displaystyle m} 3 的倍數 ，3和4 m + 3 {\displaystyle 4m+3}
因為σ ( n ) {\displaystyle \sigma (n)} σ ( n ) = σ ( 3 ) σ ( 4 m + 3 ) = 4 σ ( 4 m + 3 ) ≡ 0 ( mod 4 ) {\displaystyle \sigma (n)=\sigma (3)\sigma (4m+3)=4\sigma (4m+3)\equiv 0{\pmod {4}}}
但2 n = 2 ( 4 j + 1 ) ≡ 2 ( mod 4 ) {\displaystyle 2n=2(4j+1)\equiv 2{\pmod {4}}} m {\displaystyle m} 3 的倍數 。代入m = 3 q {\displaystyle m=3q} n = 36 q + 9 {\displaystyle n=36q+9}
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