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基 (線性代數)

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在R2中标准基的图示。红蓝向量是这个基的元素。
线性代数
向量 ·向量空间 ·基底 ·行列式 ·矩阵
向量
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线性空间与线性变换
线性空间 ·线性变换 ·线性子空间 ·线性生成空间 ·基 ·线性映射 ·线性投影 ·線性無關 ·线性组合 ·线性泛函 ·行空间与列空间 ·对偶空间 ·正交 ·特征向量 ·最小二乘法 ·格拉姆-施密特正交化

在线性代数中，基（拉丁語：basis，又稱基底）是向量空间裡某一群特殊的向量（称为基向量），使得向量空间中的任意向量，都可以唯一地表示成基向量的线性组合（或線性組合的極限）。

通过基底可以直接地描述向量空间V{\displaystyle \mathrm {V} } 上定义的线性映射f{\displaystyle f} ，詳請參見线性映射#矩陣一節。

定义

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Hamel基

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Hamel基的定義 — V{\displaystyle \mathrm {V} } 是定义在域K{\displaystyle K}（也就是标量的母空間，如实数系R{\displaystyle \mathbb {R} } 或复数系C{\displaystyle \mathbb {C} }）上的向量空间，如果V{\displaystyle \mathrm {V} } 的子集B{\displaystyle {\mathfrak {B}}} 满足：

  1. 0V∉B{\displaystyle 0_{V}\notin {\mathfrak {B}}} （也就是零向量不會在B{\displaystyle {\mathfrak {B}}} 裡）
  2. 若v∈V{\displaystyle v\in \mathrm {V} } 且v≠0V{\displaystyle v\neq 0_{V}}，則存在唯一的一組相異向量e1,e2,…,en∈B{\displaystyle e_{1},\,e_{2},\,\ldots ,\,e_{n}\in {\mathfrak {B}}} 和唯一的一組非零标量λ1,λ2,…,λn∈K{\displaystyle \lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\ldots ,\,\lambda _{n}\in K} 使得λ1⋅e1+λ2⋅e2+⋯+λn⋅en=v{\displaystyle \lambda _{1}\cdot e_{1}+\lambda _{2}\cdot e_{2}+\cdots +\lambda _{n}\cdot e_{n}=v} 。

则稱B{\displaystyle {\mathfrak {B}}} 是向量空间V{\displaystyle \mathrm {V} } 的一组Hamel基。B{\displaystyle {\mathfrak {B}}} 裡的元素被稱為基向量 ，若基向量的總數是有限個，B{\displaystyle {\mathfrak {B}}} 則會被稱為有限基或直接簡稱為基。

上面的第二個條件，也可以等價地改寫為以下兩條[1]：

线性无关(linear independence)對任意相異的e1,e2,…,en∈B{\displaystyle e_{1},\,e_{2},\,\ldots ,\,e_{n}\in {\mathfrak {B}}} 和任意的λ1,λ2,…,λn∈K{\displaystyle \lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\ldots ,\,\lambda _{n}\in K}，若λ1⋅e1+λ2⋅e2+⋯+λn⋅en=0V{\displaystyle \lambda _{1}\cdot e_{1}+\lambda _{2}\cdot e_{2}+\cdots +\lambda _{n}\cdot e_{n}=0_{V}}，则λ1=λ2=…=λn=0K{\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=\ldots =\lambda _{n}=0_{K}}
生成律(spanning property)对任意v∈V{\displaystyle v\in \mathrm {V} }，存在相異向量e1,e2,…,en∈B{\displaystyle e_{1},\,e_{2},\,\ldots ,\,e_{n}\in {\mathfrak {B}}}和标量λ1,λ2,…,λn∈K{\displaystyle \lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\ldots ,\,\lambda _{n}\in K} 使得λ1e1+λ2e2+⋯+λnen=v{\displaystyle \lambda _{1}e_{1}+\lambda _{2}e_{2}+\cdots +\lambda _{n}e_{n}=v}

等價性來自於線性無關：

若有第二組相異E1,E2,…,Em∈B{\displaystyle E_{1},\,E_{2},\,\ldots ,\,E_{m}\in {\mathfrak {B}}} 基向量和第二組标量c1,c2,…,cm∈K{\displaystyle c_{1},\,c_{2},\,\ldots ,\,c_{m}\in K} 也滿足c1⋅E1+c2⋅E2+⋯+cm⋅Em=v{\displaystyle c_{1}\cdot E_{1}+c_{2}\cdot E_{2}+\cdots +c_{m}\cdot E_{m}=v} 的話，把這住兩組基向量合併，並重新排列，於兩組間重複的記為w1,w2,…,wl∈B{\displaystyle w_{1},\,w_{2},\,\ldots ,\,w_{l}\in {\mathfrak {B}}} ，其他不重複的部分，第一組的記為v1,v2,…,vn−l∈B{\displaystyle v_{1},\,v_{2},\,\ldots ,\,v_{n-l}\in {\mathfrak {B}}} ；而第二組的記為u1,u2,…,um−l∈B{\displaystyle u_{1},\,u_{2},\,\ldots ,\,u_{m-l}\in {\mathfrak {B}}} ；然後設w1,w2,…,wl∈B{\displaystyle w_{1},\,w_{2},\,\ldots ,\,w_{l}\in {\mathfrak {B}}} 於原來第一組對應的标量係數是α1,α2,…,αl∈K{\displaystyle \alpha _{1},\,\alpha _{2},\,\ldots ,\,\alpha _{l}\in K} ；原第二組則是對應a1,a2,…,al∈K{\displaystyle a_{1},\,a_{2},\,\ldots ,\,a_{l}\in K} 。另外v1,v2,…,vn−l∈B{\displaystyle v_{1},\,v_{2},\,\ldots ,\,v_{n-l}\in {\mathfrak {B}}} 對應的标量係數則為β1,β2,…,βn−l∈K{\displaystyle \beta _{1},\,\beta _{2},\,\ldots ,\,\beta _{n-l}\in K} ；u1,u2,…,um−l∈B{\displaystyle u_{1},\,u_{2},\,\ldots ,\,u_{m-l}\in {\mathfrak {B}}} 對應的标量係數則為b1,b2,…,bm−l∈K{\displaystyle b_{1},\,b_{2},\,\ldots ,\,b_{m-l}\in K} ； 這樣把v∈V{\displaystyle v\in \mathrm {V} } 的第一組線性組合表達式減去第二組會有

∑i=1l(αi−ai)⋅wi+∑j=1n−lβj⋅vj+∑k=1m−l(−bk)⋅uk=0V{\displaystyle \sum _{i=1}^{l}(\alpha _{i}-a_{i})\cdot w_{i}+\sum _{j=1}^{n-l}\beta _{j}\cdot v_{j}+\sum _{k=1}^{m-l}(-b_{k})\cdot u_{k}=0_{V}}

這樣依據線性無關，就有

α1−a1=α2−a2=⋯=αl−al=0K{\displaystyle \alpha _{1}-a_{1}=\alpha _{2}-a_{2}=\cdots =\alpha _{l}-a_{l}=0_{K}}
β1=β2=⋯=βn−l=0K{\displaystyle \beta _{1}=\beta _{2}=\cdots =\beta _{n-l}=0_{K}}
b1=b2=⋯=bm−l=0K{\displaystyle b_{1}=b_{2}=\cdots =b_{m-l}=0_{K}}

這就確保任意v∈V{\displaystyle v\in \mathrm {V} } 的線性組合表達式都是用同一組的基向量，且其标量係數也是唯一的。

Schauder基

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除了上小節單以線性組合定義的Hamel基，也有以無窮級數展開任意向量為動機來定義基：

Schauder基的定義 — V{\displaystyle \mathrm {V} } 是定义在域K{\displaystyle K} 上的巴拿赫空间（范数記為‖v‖{\displaystyle \|v\|}），若向量序列{ei∈V}i∈N{\displaystyle {\{e_{i}\in V\}}_{i\in \mathbb {N} }} 滿足：

那向量序列{ei∈V}i∈N{\displaystyle {\{e_{i}\in V\}}_{i\in \mathbb {N} }} 則被稱為是向量空间V{\displaystyle \mathrm {V} } 的一组Schauder基。

第二項條件通常會簡寫為

對每個v∈V{\displaystyle v\in \mathrm {V} } ，都存在唯一組标量{λi∈K}i∈N{\displaystyle {\{\lambda _{i}\in K\}}_{i\in \mathbb {N} }}，使v=limn→∞∑i=0nλi⋅ei{\displaystyle v=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}\cdot e_{i}}

甚至寫為

v=∑i=0∞λi⋅ei{\displaystyle v=\sum _{i=0}^{\infty }\lambda _{i}\cdot e_{i}}

例子

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在傅立叶级数的研究中，函数{1}∪{sin⁡(nx),cos⁡(nx)|n∈N}{\displaystyle \{1\}\cup \{\sin(nx),\cos(nx)|n\in \mathbb {N} \}}是所有的在区间[0, 2π]上为平方可积分的（实数或复数值）的函数的（实数或复数）向量空间的“正交基”，这种函数f(x){\displaystyle f(x)}满足

∫02π|f(x)|2dx<∞.{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\left|f(x)\right|^{2}\,dx<\infty .}

函数族{1}∪{sin⁡(nx),cos⁡(nx)|n∈N}{\displaystyle \{1\}\cup \{\sin(nx),\cos(nx)|n\in \mathbb {N} \}}是线性无关的，所有在[0, 2π]上平方可积分的函数是它们的“无限线性组合”，在如下意义上

limn→∞∫02π|a0+∑k=1n(akcos⁡(kx)+bksin⁡(kx))−f(x)|2dx=0{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\int _{0}^{2\pi }{\biggl |}a_{0}+\sum _{k=1}^{n}{\bigl (}a_{k}\cos(kx)+b_{k}\sin(kx){\bigr )}-f(x){\biggr |}^{2}\,dx=0}

对于适合的（实数或复数）系数ak,bk。但是多数平方可积分函数不能表达为这些基函数的有限线性组合，因为它们不构成Hamel基。这个空间的所有Hamel基都大于这个函数的只可数无限集合。此类空间的Hamel基没有什么价值，而这些空间的正交基是傅立叶分析的根本。

維度

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如果基中元素个数有限，就称向量空间为有限维向量空间，並将元素的个数称作向量空间的维度[2]。如果原本的基底為：

B={e1,e2,…,eN}{\displaystyle {\mathfrak {B}}=\left\{e_{1},\,e_{2},\ldots ,\,e_{N}\right\}}

那時也可依據元素個數的數數是以一對一對應來定義的本質，反過來用基向量序列{ei∈V}i=1N{\displaystyle {\{e_{i}\in V\}}_{i=1}^{N}} 來間接代表B{\displaystyle {\mathfrak {B}}}。

事实上，不是所有空间都拥有由有限个元素构成的基底。这样的空间称为无限维空间。某些无限维空间上可以定义由无限个元素构成的基。在现代集合论中，如果承认选择公理，就可以证明任何向量空间都拥有一组基。一个向量空间的基不止一组，但同一个空间的两组不同的基，它们的元素个数或势（当元素个数是无限的时候）会是相等的。一组基里面的任意一部分向量都是线性无关的；反之，如果向量空间拥有一组基，那么在向量空间中取一组线性无关的向量，一定能得到一组基。特别地，在内积向量空间中，可以定义正交的概念。通过特别的方法，可以将任意的一组基变换成正交基乃至标准正交基。

性质

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设B{\displaystyle {\mathfrak {B}}}是向量空间V{\displaystyle \mathrm {V} }的子集。则B{\displaystyle {\mathfrak {B}}}是基，当且仅当满足了下列任一条件：

如果承认良序定理或任何选择公理的等价物，那么作为推论，可以证明任何的向量空间都拥有一组基。（证明：良序排序这个向量空间的元素。建立不线性依赖于前面元素的所有元素的子集。它就是基）。反过来也是真的。一个向量空间的所有基都拥有同样的势（元素个数），叫做这个向量空间的维度。这个结果叫做维度定理，它要求系统承认严格弱形式的选择公理即超滤子引理。

例子

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  • 考虑所有坐标 (a,b)的向量空间R2，这里的a和b都是实数。则非常自然和简单的基就是向量e1 = (1,0)和e2 = (0,1):假设v = (a,b)是R2中的向量，则v =a (1,0) +b(0,1)。而任何两个线性无关向量如 (1,1)和(−1,2)，也形成R2的一个基。
  • 更一般的说，给定自然数n。n个线性无关的向量e1,e2, ...,en可以在实数域上生成Rn。因此，它们也是的一个基而Rn的维度是n。这个基叫做Rn的标准基。
  • 设V是由函数et和e2t生成的实数向量空间。这两个函数是线性无关的，所有它们形成了V的基。

标准基

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在行向量空间Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}中有单位行向量

E(1)=(1,0,...,0),E(2)=(0,1,...,0),...,E(n)=(0,0,...,1){\displaystyle E_{(1)}=(1,0,...,0),E_{(2)}=(0,1,...,0),...,E_{(n)}=(0,0,...,1)}

那么在该空间中，任意向量X=(x1,x2,...,xn){\displaystyle X=(x_{1},x_{2},...,x_{n})},都可以唯一表示成X=x1E(1)+x2E(2)+...+xnE(n){\displaystyle X=x_{1}E_{(1)}+x_{2}E_{(2)}+...+x_{n}E_{(n)}}.然后我们可以看出，Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}可以由它的向量子空间构成

Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}=<E(1),E(2),...,E(n)>{\displaystyle =<E_{(1)},E_{(2)},...,E_{(n)}>}.

同样的，单位列向量就可以表达为Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}=[E(1),E(2),...,E(n)]{\displaystyle =[E_{(1)},E_{(2)},...,E_{(n)}]}.

线性无关的单位行向量E(1),E(2),...,E(n){\displaystyle E_{(1)},E_{(2)},...,E_{(n)}}生成Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}. 那么E(1),E(2),...,E(n){\displaystyle {E_{(1)},E_{(2)},...,E_{(n)}}}是Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}的基，称这个基为标准基.

基的扩张

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如上所述，一个向量空间的每一组基都是一个极大的线性无关集合，同时也是极小的生成集合。可以证明，如果向量空间拥有一组基，那么每个线性无关的子集都可以扩张成一组基（也称为基的扩充定理），每个能够生成整个空间的子集也必然包含一组基。特别地，在任何线性无关集合和任何生成集合之间有一组基。以数学语言来说：如果L{\displaystyle {\mathfrak {L}}}是在向量空间V{\displaystyle \mathrm {V} }中的一个线性无关集合而集合G{\displaystyle {\mathfrak {G}}}是一个包含L{\displaystyle {\mathfrak {L}}}而且能够生成V{\displaystyle \mathrm {V} }的集合，则存在V{\displaystyle \mathrm {V} }的一组基B{\displaystyle {\mathfrak {B}}}，它包含了L{\displaystyle {\mathfrak {L}}}而且是G{\displaystyle {\mathfrak {G}}}的子集：L⊆B⊆G{\displaystyle {\mathfrak {L}}\subseteq {\mathfrak {B}}\subseteq {\mathfrak {G}}}。

以上两个结论可以帮助证明一个集合是否是给定向量空间的基。如果不知道某个向量空间的维度，证明一个集合是它的基需要证明这个集合不仅是线性无关的，而且能够生成整个空间。如果已知这个向量空间的维度（有限维），那么这个集合的元素个数必须等于维数，才可能是它的基。在两者相等时，只需要证明这个集合线性无关，或这个集合能够生成整个空间这两者之一就够了。这是因为线性无关的子集必然能扩充成基；而这个集合的元素个数已经等于基的元素个数，需要添加的元素是0个。这说明原集合就是一组基。同理，能够生成整个空间的集合必然包含一组基作为子集；但假如这个子集是真子集，那么元素个数必须少于原集合的元素个数。然而原集合的元素个数等于维数，也就是基的元素个数，这是矛盾的。这说明原集合就是一组基。

有序基和坐标

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基底是作为向量空间的子集定义的，其中的元素并不按照顺序排列。为了更方便相关的讨论，通常会将基向量进行排列。比如说将：B={e1,e2,⋯,en}{\displaystyle {\mathfrak {B}}=\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}\}}写成有序向量组：(e1,e2,⋯,en){\displaystyle (e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n})}。这样的有序向量组称为有序基。在有限维向量空间和可数维数的向量空间中，都可以自然地将基底表示成有序基。在有序基下，任意的向量都可以用确定的数组表示，称为向量的坐标。例如，在使用向量的坐标表示的时候习惯谈论“第一个”或“第二个”坐标，这只在指定了基的次序前提下有意义。在这个意义下，有序基可以看作是向量空间的坐标架。

设V{\displaystyle \mathrm {V} }是在域F{\displaystyle \mathbb {F} }上的n维向量空间。在V{\displaystyle \mathrm {V} }上确定一个有序基等价于确定一个从坐标空间Fn{\displaystyle \mathbb {F} ^{n}}到V{\displaystyle \mathrm {V} }的一个选定线性同构ϕ{\displaystyle \phi }。

证明：这个证明利用了Fn{\displaystyle \mathbb {F} ^{n}}的标准基是有序基的事实。

首先假设

ϕ:Fn→V{\displaystyle \phi :\;\;\mathbb {F} ^{n}\rightarrow \mathrm {V} }是线性同构。可以定义V{\displaystyle \mathrm {V} }的一组有序基{vi}1⩽i⩽n{\displaystyle \{v_{i}\}_{1\leqslant i\leqslant n}}如下：
vi=ϕ(ei),∀i,1⩽i⩽n.{\displaystyle v_{i}=\phi (e_{i}),\;\;\forall i,\;1\leqslant i\leqslant n.}

其中的{ei}1⩽i⩽n{\displaystyle \{e_{i}\}_{1\leqslant i\leqslant n}}是Fn{\displaystyle \mathbb {F} ^{n}}的标准基。

反过来说，给定一个有序基，考虑如下定义的映射

φ(x) =x1v1 +x2v2 + ... +xnvn,

这里的x =x1e1 +x2e2 + ... +xnen是Fn的一个元素。不难检查出φ是线性同构。

这两个构造明显互逆。所以V的有序基一一对应于线性同构Fn →V。

确定自有序基{vi}线性映射φ的逆映射为V装备了坐标：如果对于向量v ∈V,φ-1(v) = (a1,a2,...,an) ∈Fn，则aj =aj(v)的分量是v的坐标，在v =a1(v)v1 +a2(v)v2 + ... +an(v)vn的意义上。

从向量v到分量aj(v)的映射是从V到F的线性映射，因为φ-1是线性的。所以它们是线性泛函。它们形成V的对偶空间的基，叫做对偶基。

参考文献

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  1. ^柯斯特利金.代数学引论（第二版）[M]高等教育出版社:53
  2. ^Lang, Serge. Linear algebra. Berlin: New York: Springer-Verlag. 1987.ISBN 978-0-387-96412-6. 

参见

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外部链接

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线性代数的相关概念
重要概念
矩阵
数值线性代数
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