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函數極限

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关于与「函數極限」標題相近或相同的条目，請見「极限」。
x{\displaystyle x}sin⁡xx{\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}}
10.841471...
0.10.998334...
0.010.999983...
上表所示函數的圖形，請注意在x=0{\displaystyle x=0}處取不到值。因為被零除，所以在這一點函數沒有意義。

儘管函數sin⁡xx{\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}}的定義域中不包括“0”，但當x{\displaystyle x}無限接近於零時，sin⁡xx{\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}}就無限接近於 1，換句話說，x{\displaystyle x}接近於零時，sin⁡xx{\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}}的極限是 1。

在數學中，函數極限（英語：Limit of a function）是微積分的一個基本概念。它描述函數在接近某一給定自變量時的特徵。函數f{\displaystyle f} 於a{\displaystyle a} 的極限為L{\displaystyle L} ，直觀上意為當x{\displaystyle x} 無限接近a{\displaystyle a} 時，f(x){\displaystyle f(x)} 便無限接近L{\displaystyle L} 。

正式定義

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動機

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如果取δ{\displaystyle \delta } 為＂x{\displaystyle x} 與a{\displaystyle a} 差距的上限＂；類似地，取ϵ{\displaystyle \epsilon } 為＂f(x){\displaystyle f(x)} 與L{\displaystyle L} 差距的上限＂，那根據直觀，可以將函數極限定義為：

若對所有的δ>0{\displaystyle \delta >0} ，存在0<ϵ≤δ{\displaystyle 0<\epsilon \leq \delta }，使得對所有的x∈Df{\displaystyle x\in D_{f}} ，只要0<|x−a|<δ{\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta } 就有|f(x)−L|<ϵ{\displaystyle \left|f(x)-L\right|<\epsilon }

其中ϵ≤δ{\displaystyle \epsilon \leq \delta } 是要確保δ{\displaystyle \delta } 越來越小時，ϵ{\displaystyle \epsilon } 也會越來越小；0<|x−a|<δ{\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta } 是為了凸顯x{\displaystyle x} 是逼近而非等於a{\displaystyle a} ，但對應的f(x){\displaystyle f(x)} 是可以等於L{\displaystyle L} 的。

但對於实函数f(x)=x2{\displaystyle f(x)=x^{2}} 逼近a=0{\displaystyle a=0} 時，考慮到δ≥1{\displaystyle \delta \geq 1} 的部分；在|x−0|2<δ2{\displaystyle {\left|x-0\right|}^{2}<\delta ^{2}} 下是沒有這樣的ϵ{\displaystyle \epsilon } 使得0<ϵ≤δ{\displaystyle 0<\epsilon \leq \delta } 且|x2−0|<ϵ{\displaystyle \left|x^{2}-0\right|<\epsilon } 的，但數值上f(x)=x2{\displaystyle f(x)=x^{2}} 的確在a=0{\displaystyle a=0} 時很靠近0{\displaystyle 0} ，也就是ϵ≤δ{\displaystyle \epsilon \leq \delta } 的部分侷限了定義能覆蓋的範圍。

上面的例子表明以x{\displaystyle x} 的變化去限制f(x){\displaystyle f(x)} 的變化通常是很困難的，但如果反過來從ϵ{\displaystyle \epsilon } 出發，去找怎樣的x{\displaystyle x} 會讓f(x){\displaystyle f(x)} 與L{\displaystyle L} 的差距小於ϵ{\displaystyle \epsilon } ，也就是從＂若對所有的ϵ>0{\displaystyle \epsilon >0} 存在δ>0{\displaystyle \delta >0} ＂出發的話，顯然上面f(x)=x2{\displaystyle f(x)=x^{2}}的例子只要取δ=ϵ{\displaystyle \delta ={\sqrt {\epsilon }}} 即可；而且在這個定義被滿足的情況下，若進一步取ϵ{\displaystyle \epsilon } 和δ{\displaystyle \delta } 的最小值為x{\displaystyle x} 與a{\displaystyle a} 差距的上限，還是會有|f(x)−L|<ϵ{\displaystyle \left|f(x)-L\right|<\epsilon } ，這樣就可以用ϵ{\displaystyle \epsilon } 控制x{\displaystyle x} 的變化，而滿足＂x{\displaystyle x} 趨近於a{\displaystyle a} 時f(x){\displaystyle f(x)} 趨近於L{\displaystyle L} ＂的直觀想法。

但實際上無法確保對所有δ>0{\displaystyle \delta >0}，都有x∈Df{\displaystyle x\in D_{f}} 使得0<|x−a|<δ{\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta } ，所以定義函數極限之前必須要求a{\displaystyle a} 為Df{\displaystyle D_{f}} 的极限点。但大部分的情況會退而求其次的假設存在r>0{\displaystyle r>0} 使得f(x){\displaystyle f(x)} 在0<|x−a|<r{\displaystyle 0<\left|x-a\right|<r} 都有定義，也就是存在a{\displaystyle a} 的去心鄰域使f(x){\displaystyle f(x)} 都有定義，這樣的話a{\displaystyle a} 會自動成為Df{\displaystyle D_{f}} 的極限點。

自變量趨於有限值時函數的極限

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f{\displaystyle f} 為实函数，a∈R{\displaystyle a\in \mathbb {R} } 為Df{\displaystyle D_{f}} 的極限點且L∈R{\displaystyle L\in \mathbb {R} } ，若＂對所有的ϵ>0{\displaystyle \epsilon >0}，存在δ>0{\displaystyle \delta >0}，使得對所有的x∈Df{\displaystyle x\in D_{f}} 只要0<|x−a|<δ{\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta } 就有|f(x)−L|<ϵ{\displaystyle \left|f(x)-L\right|<\epsilon } ＂，或以正式的邏輯符號表述為

(∀ϵ>0)(∃δ>0)(∀x∈Df)[(0<|x−a|<δ)⇒(|f(x)−L|<ϵ)]{\displaystyle (\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in D_{f})[\,(\,0<\left|x-a\right|<\delta \,)\Rightarrow (\,\left|f(x)-L\right|<\epsilon \,)\,]}

則以limx→af(x)=L{\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L} 表示，稱L{\displaystyle L} 為實函數f{\displaystyle f} 於a{\displaystyle a} 的極限。

自變量趨於無窮大時函數的極限

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由於＂無窮大＂不能直接定義成定義域Df{\displaystyle D_{f}} 的極限點，可以退而求其次假設＂對所有的δ>0{\displaystyle \delta >0} 存在x∈Df{\displaystyle x\in D_{f}} 使得x>δ{\displaystyle x>\delta } ＂。也就是直觀上可以用定義域Df{\displaystyle D_{f}} 裡的點去逼近＂無窮大＂。那在這種條件下，L∈R{\displaystyle L\in \mathbb {R} }，且若＂對所有ϵ>0{\displaystyle \epsilon >0}，存在δ>0{\displaystyle \delta >0}，使得對所有的x∈Df{\displaystyle x\in D_{f}} 只要x>δ{\displaystyle x>\delta } 時，有|f(x)−L|<ϵ{\displaystyle \left|f(x)-L\right|<\epsilon } ＂，或以正式的邏輯符號表述為

(∀ϵ>0)(∃δ>0)(∀x∈Df)[(x>δ)⇒(|f(x)−L|<ϵ)]{\displaystyle (\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in D_{f})[\,(\,x>\delta \,)\Rightarrow (\,\left|f(x)-L\right|<\epsilon \,)\,]}

則稱L{\displaystyle L} 為實函數f{\displaystyle f} 於正無窮大（∞{\displaystyle \infty } ）的極限，記作limx→∞f(x)=L{\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=L}類似的，若假設＂對所有的δ<0{\displaystyle \delta <0} 存在x∈Df{\displaystyle x\in D_{f}} 使得x<δ{\displaystyle x<\delta } ＂，那在這種條件下，L∈R{\displaystyle L\in \mathbb {R} }，且若＂對所有ϵ>0{\displaystyle \epsilon >0}，存在δ<0{\displaystyle \delta <0}，使得對所有的x∈Df{\displaystyle x\in D_{f}} 只要x<δ{\displaystyle x<\delta } 時，有|f(x)−L|<ϵ{\displaystyle \left|f(x)-L\right|<\epsilon } ＂，或以正式的邏輯符號表述為

(∀ϵ>0)(∃δ<0)(∀x∈Df)[(x<δ)⇒(|f(x)−L|<ϵ)]{\displaystyle (\forall \epsilon >0)(\exists \delta <0)(\forall x\in D_{f})[\,(\,x<\delta \,)\Rightarrow (\,\left|f(x)-L\right|<\epsilon \,)\,]}

則稱L{\displaystyle L} 為實函數f{\displaystyle f} 於負無窮大（−∞{\displaystyle -\infty } ）的極限，記作limx→−∞f(x)=L{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=L}

制限極限

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直觀上來講，從數線左邊逼近或右邊逼近應該會得到一樣的極限，為了把這個概念推廣，需要函數限制的極限（也就是縮小定義域後的極限）：

定理

若A∪B=Df{\displaystyle A\cup B=D_{f}} 且a{\displaystyle a} 同時為A{\displaystyle A} 和B{\displaystyle B} 的极限点，則

limx→af(x)=L{\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}

等價於

limx→af|A(x)=L{\displaystyle \lim _{x\to a}f|_{A}(x)=L} 且limx→af|B(x)=L{\displaystyle \lim _{x\to a}f|_{B}(x)=L}

上述定理的證明只須注意到a{\displaystyle a} 也必為Df{\displaystyle D_{f}} 的極限點，然後把函數極限的定義展開，考慮到A∪B=Df{\displaystyle A\cup B=D_{f}}，還有對x∈A{\displaystyle x\in A} 取δA{\displaystyle \delta _{A}} 的和x∈B{\displaystyle x\in B} 取的δB{\displaystyle \delta _{B}} ，那只要取δ{\displaystyle \delta } 為δA{\displaystyle \delta _{A}} 和δB{\displaystyle \delta _{B}} 的最小值，對所有x∈Df{\displaystyle x\in D_{f}} 就有(0<|x−a|<δ)⇒(|f(x)−L|<ϵ){\displaystyle (\,0<\left|x-a\right|<\delta \,)\Rightarrow (\,\left|f(x)-L\right|<\epsilon \,)} ；反過來由原函數f{\displaystyle f} 推出f|A{\displaystyle f|_{A}} 和f|B{\displaystyle f|_{B}} 的狀況是非常顯然的。

左右極限

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若取

A={x∈Df|x≥a}{\displaystyle A={\big \{}x\in D_{f}\,|\,x\geq a{\big \}}}
B={x∈Df|x≤a}{\displaystyle B={\big \{}x\in D_{f}\,|\,x\leq a{\big \}}}

如果假設a{\displaystyle a} 同時為A{\displaystyle A} 和B{\displaystyle B} 的极限点，那A{\displaystyle A} 和B{\displaystyle B} 顯然符合上面定理的要求的，而這時

limx→af|A(x)=L{\displaystyle \lim _{x\to a}f|_{A}(x)=L}

這個表達式會被別稱為＂L{\displaystyle L} 是實函數f{\displaystyle f} 於a{\displaystyle a} 的右極限＂，也可以用limx→a+f(x)=L{\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)=L} 表示。

類似的

limx→af|B(x)=L{\displaystyle \lim _{x\to a}f|_{B}(x)=L}

這個表達式會被別稱為＂L{\displaystyle L} 是實函數f{\displaystyle f} 於a{\displaystyle a} 的左極限＂，也可以用limx→a−f(x)=L{\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)=L} 表示。

常用公式

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有理函數

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以下公式中，n>0,a>1{\displaystyle n>0,a>1}。

無理函數

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三角函數

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指數函數

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對數函數

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參考

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检索自“https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=函數極限&oldid=88248603”
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