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函数图形

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函數f(x)=x2{\displaystyle f(x)=x^{2}} 的圖形
由于技术原因，此旧版图表已停用，並須迁移至新版图表。造成您的不便，我們深表歉意。
sin(x)等函數的圖形

在数学中，函数f 的图形（或图像）指的是所有有序对(x,f(x))组成的集合。具体而言，如果x为实数，则函数图形在平面直角坐标系上呈现为一条曲线。如果函数自变量x为两个实数组成的有序对(x1,x2)，则图形就是所有三重序(x1,x2,f(x1,x2))组成的集合，呈现为曲面（参见三维计算机图形）。

实函数的图形拥有其唯一的图像。而对于一般的函数，其图形形式无法应用，图形的正式定义取决于数学表述的需要，例如泛函分析中的閉圖像定理。

函数图形的概念由二元关系图形推广而来。需要注意的是，尽管一个函数与其图像通常是一一对应的，但二者并不可混淆。两个函数可能拥有相同的图像，却有不同的上域。例如，对于下文提到的三次多项式，当其上域为实数时函数即为满射，而若其上域为复数则不然。

通过垂线测试可以判断一条曲线是否为一个函数，而通过水平線測試可以判断函数是否为单射且是否存在反函数。如果反函数存在，则其图像可以通过将原函数图像以直线y=x为轴进行对称得到。

样例

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单变量函数

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一次函数

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三個線性函數的圖形都是直線。紅色與藍色直線的斜率相同。 紅色與綠色直線的 y-截距相同
参见：线性函数

形如

f(x)=kx+b {\displaystyle f(x)=kx+b\!\ }

的图像为：

{(x,kx+b)|x∈R}{\displaystyle \left\{(x,kx+b)|x\in \mathbb {R} \right\}}

在平面直角坐标系中，该图像为一条直线。这是因为，该函数的导数为常数k{\displaystyle k}。

非線性函數

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函数f(x)=x3−9x{\displaystyle f(x)=x^{3}-9x} 的图像

对于二次或更高次的多項式函数，或者其他的非線性函數，其图像则会呈现为一条曲线。这是因为其導函數不是常數函數。

例如，三次函数

f(x)=x3−9x {\displaystyle f(x)={{x^{3}}-9x}\!\ }

的图像为

{(x,x3−9x)|x∈R}{\displaystyle \left\{(x,x^{3}-9x)|x\in \mathbb {R} \right\}}

如果將这个图像绘制在平面直角坐标系中，则会得到一条三次曲线（见右图）。

双变量函数

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函数f(x,y)=sin⁡(x2)×cos⁡(y2){\displaystyle {\begin{smallmatrix}f(x,y)=\sin(x^{2})\times \cos(y^{2})\end{smallmatrix}}} 的图像

三角学中的函数

f(x,y)=sin⁡x2cos⁡y2{\displaystyle f(x,y)=\sin x^{2}\cos y^{2}}

的图像为

{(x,y,sin⁡x2cos⁡y2)|x,y∈R}{\displaystyle \left\{(x,y,\sin x^{2}\cos y^{2})|x,y\in \mathbb {R} \right\}}

如果这个图像绘制在了三维坐标系中，则会得到一个曲面（见图）。

函数图像绘制工具

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硬件

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TI-83繪圖計算器

软件

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更多信息：動態幾何軟體

参考文献

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相关条目

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维基共享资源上的相关多媒体资源：函数图形
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