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凹凸性 (幾何)

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在几何学中，一个幾何圖形可分为凸或凹的。例如多邊形和多面體。其中，凸的多邊形稱為凸多邊形、凹的多邊形則可稱為凹多邊形或非凸多邊形，多面體與多胞體亦然。然而在三維或更高維度的空間中，不是凸的幾何圖形不一定會是凹幾何圖形，亦可能是星形幾何圖形，因此在三維或更高維度的空間中較常分為凸與非凸。

凸幾何圖形

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凸幾何圖形是指内部为凸集的幾何圖形^[1]，二維空間中的凸幾何圖形稱為凸多邊形、三維空間則稱凸多面體。若一多胞形的内部为凸集，則稱凸多胞形。

二維空間中的凸幾何圖形稱為凸多邊形，简单多边形的下列性质与其凸性等价：

每个内角小于180度。
任何两个顶点间的线段位于多边形的内部或边界上。

凸幾何圖形的凸包與其邊界相同。

凸多边形示例：正五边形
凸多面體示例：正十二面體

凹幾何圖形

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凹幾何圖形是指内部不是凸集的幾何圖形，在二維空間中，不是凸集的簡單多邊形，稱為凹多边形（Concave polygon）^[2]或凹角^[3]。

凹多邊形至少存在一個內角大於180度。

在三維空間中，不是凸的幾何圖形不一定會是凹幾何圖形，亦可能是星形多面體，因此在三維空間中較常分為凸與非凸。

凹多边形示例
凹多面體示例：凹鷂形柱
環形多面體

嚴格凸與非嚴格凸

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非嚴格凸的正三角錐反角柱，其由一個正三角錐和一個三角反角柱組成，上方的三角錐側面與三角反角柱側面共面，而非严格小于180度。

如果一个简单多边形的每个内角严格小于180度，是严格凸的；如果每个非相邻顶点间的线段除端点外严格位于多边形的内部，也是严格凸的。

所有非退化三角形都是严格凸的。

星形幾何圖形

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星形幾何圖形是非凸幾何圖形的一個特例，其並未有一個明確的定義。在二維空間中，稱為星形多邊形，數學家Branko Grünbaum指出了兩種由克普勒提出的定義：一種是具有自相交稜的正星形多邊形，且自相交的稜不產生新的頂點，另一種是邊可遞的簡單凹多邊形^[4]。

星形多边形示例：五角星
星形多面體示例：大十二面體

參見

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参考文献

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^Definition and properties of convex polygons with interactive animation.. [2009-10-18]. （原始内容存档于2017-10-17）.
^McConnell, Jeffrey J., Computer Graphics: Theory Into Practice: 130, 2006,ISBN 0763722502 .
^Mason, J. I.,On the angles of a polygon, The Mathematical Gazette, 1935,30 (291): 237–238 [2009-10-18], （原始内容存档于2016-03-25） .
^Grünbaum & Shephard 1987，section 2.5 harvnb模板錯誤: 無指向目標: CITEREFGrünbaumShephard1987 (幫助)

外部链接

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幾何形狀

分類

依對稱程度	正（Regular）擬正（Quasiregular）半正（英语：Semiregular_polytope）（Semiregular）不完全正（Demiregular）均勻（英语：Uniform_polytope）（Uniform）不規則（Irregular）
依對稱性	正（標記可遞）等維面（維面可遞）等面（面可遞）等邊（邊可遞）等角（點可遞）等面等角（面可遞且點可遞）
依凹凸性	凸（章節）非凸（章節）凹（章節）星形（章節）環狀（英语：Toroidal_polyhedron）扭歪
元素特性	簡單複雜抽象（英语：abstract polytope）
所屬空間	實數 $\mathbb {R} ^{n}$ 複數 $\mathbb {C} ^{n}$ 四元數（英语：Quaternionic polytope） $\mathbb {Q} ^{n}$ 八元數 $\mathbb {O} ^{n}$
維度	多胞形（總稱）空多胞形（負維）頂點（零維）直线（一維）多边形（二維）多面形（三維退化）多面体（三維）多胞體四維多胞體五維多胞體密鋪鑲嵌堆砌
註：一般而言上面的分類皆可嵌套，例如「正星形多面體」（正+星形+多面體）

性質

組成

分类：

几何形状

隐藏分类：

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