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内切圆

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三角形的角平分線會相交於內切圓的圓心

在數學中，若一個二維平面上的多邊形的每條邊都能與其內部的一個圓形相切，該圓就是所謂的多邊形的內切圓，這時稱這個多邊形為圓外切多邊形。它亦是多邊形內部最大的圓形。内切圓的圓心被稱為該多邊形的内心。

一個多邊形至多有一個内切圓，也就是說對於一個多邊形，它的内切圓，如果存在的話，是唯一的。並非所有的多邊形都有内切圓。三角形和正多邊形一定有内切圓。擁有内切圓的四邊形被稱為圆外切四边形。

三角形的內切圓

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任何三角形ABC{\displaystyle ABC}都有內切圓。這個內切圓的圓心稱為內心，一般标记为I{\displaystyle I}，是三角形內角平分線的交點[1]。在三線坐標，內心是1:1:1。

性质

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內切圓的半徑為2△a+b+c{\displaystyle {\frac {2\triangle }{a+b+c}}}，當中△{\displaystyle \triangle }表示三角形的面積，a{\displaystyle a}、b{\displaystyle b}、c{\displaystyle c}為三角形的三個邊長。

以內切圓和三角形的三個切點為頂點的三角形TATBTC{\displaystyle T_{A}T_{B}T_{C}}是ABC{\displaystyle ABC}的内接三角形之一。ABC{\displaystyle ABC}的內切圓就是TATBTC{\displaystyle T_{A}T_{B}T_{C}}的外接圓。而ATA{\displaystyle AT_{A}}、BTB{\displaystyle BT_{B}}和CTC{\displaystyle CT_{C}}三线交于一点，它们的交點就是熱爾崗點（Gergonne point）。内切圆与九点圆相切，切点称作费尔巴哈点（见九点圆）。

若以三角形的内切圆为反演圆进行反演，则三角形的三条边和外接圆会分别变为半径相等的四个圆（半径都等于内切圆半径的一半）。[2]

三角形的外接圆半径R{\displaystyle R}、内切圆半径r{\displaystyle r}以及内外心间距OI{\displaystyle OI}之间有如下关系：

R2−OI2=2Rr{\displaystyle R^{2}-OI^{2}=2Rr}[3]

直角三角形兩股和等於斜邊長加上該三角形內切圓直徑

a+b=c+2r{\displaystyle a+b=c+2r}

由此性質再加上勾股定理a2+b2=c2{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}，可推得：

△=r(r+c){\displaystyle \triangle =r(r+c)}

在直角座標系中，若頂點的座標分別為(x1,y1){\displaystyle (x_{1},y_{1})}、(x2,y2){\displaystyle (x_{2},y_{2})}、(x3,y3){\displaystyle (x_{3},y_{3})}，則内心的座標為：

(ax1+bx2+cx3a+b+c,ay1+by2+cy3a+b+c){\displaystyle ({\frac {ax_{1}+bx_{2}+cx_{3}}{a+b+c}},{\frac {ay_{1}+by_{2}+cy_{3}}{a+b+c}})}[4]

若I{\displaystyle I}为三角形ABC{\displaystyle ABC}的内心，AI{\displaystyle AI}所在直线交三角形ABC{\displaystyle ABC}外接圆与点D{\displaystyle D}，则有ID=DB=DC{\displaystyle ID=DB=DC}(见鸡爪定理)

四边形的内切圆

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不是所有的四边形都有内切圆，拥有内切圆的四边形称为圆外切四边形。凸四边形ABCD{\displaystyle ABCD}有内切圆当且仅当两对对边之和相等：AB+CD=AD+BC{\displaystyle AB+CD=AD+BC}，此命题称为皮托定理。圆外切四边形的面积和内切圆半径的关系为：SABCD=rs{\displaystyle S_{ABCD}=rs}，其中s{\displaystyle s}为半周长。

同时拥有内切圆和外接圆的四边形称为双心四边形。这样的四边形有无限多个。若一个四边形为双心四边形，那么其内切圆在两对对边的切点的连线相互垂直。而只要在一个圆上选取两条相互垂直的弦，并过相应的顶点做切线，就能得到一个双心四边形。

正多边形的内切圆

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正多边形必然有内切圆，而且其内切圆的圆心和外接圆的圆心重合，都在正多边形的中心。边长为a{\displaystyle a}的正多边形的内切圆半径为：

rn=a2cot⁡(πn){\displaystyle r_{n}={\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)}

其内切圆的面积为：

sn=πrn2=πa24cot2⁡(πn){\displaystyle s_{n}=\pi r_{n}^{2}={\frac {\pi a^{2}}{4}}\cot ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)}

内切圓面積sn{\displaystyle s_{n}}與正多邊形的面積Sn{\displaystyle S_{n}}之比為：

φn=snSn=πa24cot2⁡(πn)na2[a2cot⁡(πn)]=πncot⁡(πn){\displaystyle \varphi _{n}={\frac {s_{n}}{S_{n}}}={\dfrac {{\frac {\pi a^{2}}{4}}\cot ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)}{{\frac {na}{2}}\left[{\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)\right]}}={\frac {\pi }{n}}\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)}

故此，當正多邊形的邊數n{\displaystyle n}趨向無窮時，

limn→∞φn=limn→∞πncot⁡(πn)=limn→∞cos2⁡(πn)=1{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\varphi _{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\pi }{n}}\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)=\lim _{n\to \infty }\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)=1}

参考文献

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  1. ^R.A.约翰逊，《近代欧氏几何学》，单墫 译，第158页，上海教育出版社，ISBN 7-5320-6392-5
  2. ^《近代欧氏几何学》，第163页
  3. ^《近代欧氏几何学》，第162页
  4. ^平面向量教学与三角形内心. [2013-12-05]. （原始内容存档于2020-08-07）. 

参见

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X(11)-X(20)
X(21)-
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