倒易点阵（英語：reciprocal lattice），又称倒（易）晶格、倒（易）格子，是物理学中描述空间波函数的傅立叶变换后的周期性的一种方法。相对于正晶格所描述的实空间周期性，倒晶格描述的是动量空间，亦可认为是k空间的周期性。根据位置和动量所满足的庞特里亚金对偶性，布拉菲晶格的倒晶格仍然是一种布拉菲晶格，而倒晶格的倒晶格就会变回原始晶格（正晶格）。

对于以${\displaystyle \mathit{a}}$为基矢的一维晶格，其倒格子的基矢为

${\displaystyle \mathit{b}=2\pi \frac{\mathit{a}}{a^2}}$

对于以${\displaystyle ({\mathit{a}}_{\mathbf{1}},{\mathit{a}}_{\mathbf{2}})}$为基矢的二维晶格，定义其二维平面法线向量为${\displaystyle \mathit{n}}$，其倒格子的基矢为

${\displaystyle {\mathit{b}}_{\mathbf{1}}=2\pi \frac{{\mathit{a}}_{\mathbf{2}}\times \mathit{n}}{{\mathit{a}}_{\mathbf{1}}\cdot ({\mathit{a}}_{\mathbf{2}}\times \mathit{n})}}$

${\displaystyle {\mathit{b}}_{\mathbf{2}}=2\pi \frac{\mathit{n}\times {\mathit{a}}_{\mathbf{1}}}{{\mathit{a}}_{\mathbf{2}}\cdot (\mathit{n}\times {\mathit{a}}_{\mathbf{1}})}}$

對三維晶格而言，我們定義素晶胞的基矢${\displaystyle ({\mathit{a}}_{\mathbf{1}},{\mathit{a}}_{\mathbf{2}},{\mathit{a}}_{\mathbf{3}})}$，可以用下列公式決定倒晶格的晶胞基矢${\displaystyle ({\mathit{b}}_{\mathbf{1}},{\mathit{b}}_{\mathbf{2}},{\mathit{b}}_{\mathbf{3}})}$

${\displaystyle {\mathit{b}}_{\mathbf{1}}=2\pi \frac{{\mathit{a}}_{\mathbf{2}}\times {\mathit{a}}_{\mathbf{3}}}{{\mathit{a}}_{\mathbf{1}}\cdot ({\mathit{a}}_{\mathbf{2}}\times {\mathit{a}}_{\mathbf{3}})}}$

${\displaystyle {\mathit{b}}_{\mathbf{2}}=2\pi \frac{{\mathit{a}}_{\mathbf{3}}\times {\mathit{a}}_{\mathbf{1}}}{{\mathit{a}}_{\mathbf{2}}\cdot ({\mathit{a}}_{\mathbf{3}}\times {\mathit{a}}_{\mathbf{1}})}}$

${\displaystyle {\mathit{b}}_{\mathbf{3}}=2\pi \frac{{\mathit{a}}_{\mathbf{1}}\times {\mathit{a}}_{\mathbf{2}}}{{\mathit{a}}_{\mathbf{3}}\cdot ({\mathit{a}}_{\mathbf{1}}\times {\mathit{a}}_{\mathbf{2}})}}$

倒晶格与正晶格的基矢满足以下关系

定义三维中的倒晶格向量G

${\displaystyle \mathbf{G}=h{\mathit{b}}_{\mathbf{1}}+k{\mathit{b}}_{\mathbf{2}}+l{\mathit{b}}_{\mathbf{3}}}$

其中(h,k,l)为密勒指数，向量G的模长与正晶格的晶面间距有以下关系

${\displaystyle \mathbf{|}{\mathbf{G}}_{\mathbf{h}\mathbf{k}\mathbf{l}}\mathbf{|}=\frac{2\pi }{d_{hkl}}}$

向量G和正晶格向量R有以下关系

${\displaystyle \mathbf{R}=c_1{\mathit{a}}_{\mathbf{1}}+c_2{\mathit{a}}_{\mathbf{2}}+c_3{\mathit{a}}_{\mathbf{3}}}$

${\displaystyle {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\mathbf{G}\cdot \mathbf{R}}=1}$

三维倒晶格中的晶胞体积Ω_G和正晶格的晶胞体积Ω有以下关系

${\displaystyle {\mathrm{\Omega }}_G=\frac{(2\pi {)}^3}{\mathrm{\Omega }}}$

在此以一维晶格为例。在一个以${\displaystyle \mathit{a}}$为基矢的一维晶格中，其波函数应该为布洛赫波

${\displaystyle {\psi }_{\mathit{k}}(\mathit{x})={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\mathit{k}\cdot \mathit{x}}{u}_{\mathit{k}}(\mathit{x})}$

定义其倒晶格向量

${\displaystyle \mathit{G}=n\mathit{b},n=0,1,2,\cdots }$

${\displaystyle \mathit{b}=2\pi \frac{\mathit{a}}{a^2}}$

${\displaystyle \mathit{G}\cdot \mathit{a}=2\pi n}$

以及一个函数

由于${\displaystyle u_{\mathit{k}}(\mathit{x})}$是一个布洛赫波包，满足

${\displaystyle u_{\mathit{k}}(\mathit{x}\mathbf{+}\mathit{a})=u_{\mathit{k}}(\mathit{x})}$

所以

${\displaystyle u_{\mathit{k}\mathbf{+}\mathit{G}}(\mathit{x}\mathbf{+}\mathit{a})=u_{\mathit{k}\mathbf{+}\mathit{G}}(\mathit{x})}$

也是一个布洛赫波包。则波函数有以下性质

可见，倒晶格向量G描述了波函数在以k为基矢的动量空间（k空间）内的周期性。其向量单位，即倒晶格的基矢${\displaystyle {\mathit{b}}_{\mathit{i}}}$是描述k空间中平移对称性的基矢。其最小可重复单位，即倒晶格的晶胞，称为第一布里渊区。由于波矢k和动量与波函数对应的能量密切相关，在能带理论中也用来解释能带的周期性。

晶体衍射满足布拉格定律

${\displaystyle \begin{array}{r}2d\sin \theta =n\lambda \\ 2\times \frac{2\pi }{\lambda }\sin \theta =\frac{2\pi }{d_n}\end{array}}$

定义入射波波矢为${\displaystyle \mathit{k}}$，则上述公式可变换为

${\displaystyle \begin{array}{l}|\mathit{k}|=\frac{2\pi }{\lambda }\\ \mathbf{|}{\mathbf{G}}_{\mathbf{h}\mathbf{k}\mathbf{l}}\mathbf{|}=\frac{2\pi }{d_{hkl}}\\ 2|\mathit{k}|\sin \theta =|\mathbf{G}|\end{array}}$

因此满足布拉格定律的晶体衍射反映的不是正晶格，而是倒晶格。

进一步将以上公式转化为向量形式，定义入射波波矢为${\displaystyle {\mathit{k}}_{\mathit{i}}}$，反射波波矢为${\displaystyle {\mathit{k}}_{\mathit{o}}}$，可以得到

${\displaystyle \mathbf{\Delta }\mathit{k}={\mathit{k}}_{\mathit{o}}-{\mathit{k}}_{\mathit{i}}=\mathbf{G}}$

这个形式也和劳厄方程式相符。

晶体衍射的想法也可以用来解释能带结构中，为什么能量的分布是不連續的。

簡單立方晶體的素格子基矢可以寫成

${\displaystyle {\mathit{a}}_{\mathbf{1}}=a\hat{x}}$

${\displaystyle {\mathit{a}}_{\mathbf{2}}=a\hat{y}}$

${\displaystyle {\mathit{a}}_{\mathbf{3}}=a\hat{z}}$

體積為

${\displaystyle {\mathit{a}}_{\mathbf{1}}\cdot {\mathit{a}}_{\mathbf{2}}\times {\mathit{a}}_{\mathbf{3}}=a^3}$

可推得倒晶格的素格子基矢

${\displaystyle {\mathit{b}}_{\mathbf{1}}=\frac{2\pi }{a}\hat{x}}$

${\displaystyle {\mathit{b}}_{\mathbf{2}}=\frac{2\pi }{a}\hat{y}}$

${\displaystyle {\mathit{b}}_{\mathbf{3}}=\frac{2\pi }{a}\hat{z}}$

所以簡單立方晶體的倒晶格同樣為簡單立方晶體，但是晶格常數為$\frac{{\displaystyle 2\pi }}{a}$。

面心立方晶體的素格子基矢可以寫成下列三項

${\displaystyle {\mathit{a}}_{\mathbf{1}}=\frac{a}{2}\left(\hat{y}+\hat{z}\right)}$

${\displaystyle {\mathit{a}}_{\mathbf{2}}=\frac{a}{2}\left(\hat{z}+\hat{x}\right)}$

${\displaystyle {\mathit{a}}_{\mathbf{3}}=\frac{a}{2}\left(\hat{x}+\hat{y}\right)}$

體積為

${\displaystyle {\mathit{a}}_{\mathbf{1}}\cdot {\mathit{a}}_{\mathbf{2}}\times {\mathit{a}}_{\mathbf{3}}=\frac{a^3}{4}}$

可推得倒晶格之素格子基矢

${\displaystyle {\mathit{b}}_{\mathbf{1}}=\frac{2\pi }{a}\left(-\hat{x}+\hat{y}+\hat{z}\right)}$

${\displaystyle {\mathit{b}}_{\mathbf{2}}=\frac{2\pi }{a}\left(+\hat{x}-\hat{y}+\hat{z}\right)}$

${\displaystyle {\mathit{b}}_{\mathbf{3}}=\frac{2\pi }{a}\left(+\hat{x}+\hat{y}-\hat{z}\right)}$

面心立方晶體的倒晶格為體心立方晶體。

體心立方晶體的素格子基矢可以寫成下列三項

${\displaystyle {\mathit{a}}_{\mathbf{1}}=\frac{a}{2}\left(-\hat{x}+\hat{y}+\hat{z}\right)}$

${\displaystyle {\mathit{a}}_{\mathbf{2}}=\frac{a}{2}\left(+\hat{x}-\hat{y}+\hat{z}\right)}$

${\displaystyle {\mathit{a}}_{\mathbf{3}}=\frac{a}{2}\left(+\hat{x}+\hat{y}-\hat{z}\right)}$

體積為

${\displaystyle {\mathit{a}}_{\mathbf{1}}\cdot {\mathit{a}}_{\mathbf{2}}\times {\mathit{a}}_{\mathbf{3}}=\frac{a^3}{2}}$

可推得倒晶格之素格子基矢

${\displaystyle {\mathit{b}}_{\mathbf{1}}=\frac{2\pi }{a}\left(\hat{y}+\hat{z}\right)}$

${\displaystyle {\mathit{b}}_{\mathbf{2}}=\frac{2\pi }{a}\left(\hat{z}+\hat{x}\right)}$

${\displaystyle {\mathit{b}}_{\mathbf{3}}=\frac{2\pi }{a}\left(\hat{x}+\hat{y}\right)}$

可得知體心立方晶體之倒晶格為面心立方晶體。

在布拉菲晶格中,三軸互為九十度的${\displaystyle ({\mathit{a}}_{\mathbf{1}},{\mathit{a}}_{\mathbf{2}},{\mathit{a}}_{\mathbf{3}})}$ (立方, 正方, 斜方)的晶體結構,是很容易被證明其倒晶格空間之三軸${\displaystyle ({\mathit{b}}_{\mathbf{1}},{\mathit{b}}_{\mathbf{2}},{\mathit{b}}_{\mathbf{3}})}$與其真實晶格之三軸有垂直的關係.

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• 埃瓦尔德球（英語：Ewald's sphere）
• 密勒指数（英語：Miller index）
• 布里渊区

维基共享资源中相关的多媒体资源：倒易点阵

• （英文）http://newton.umsl.edu/run//nano/known.html （页面存档备份，存于互联网档案馆） -Jmol-based electron diffraction simulator lets you explore the intersection between reciprocal lattice and Ewald sphere during tilt.
• （英文）DoITPoMS Teaching and Learning Package on Reciprocal Space and the Reciprocal Lattice（页面存档备份，存于互联网档案馆）

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