在量子力學裏，位置算符（position operator）是一種量子算符。對應於位置算符的可觀察量是粒子的位置。位置算符的本徵值是位置向量。採用狄拉克標記，位置算符${\displaystyle \hat{x}}$ 的本徵態${\displaystyle |x⟩}$ 滿足方程式

${\displaystyle \hat{x}|x⟩=x|x⟩}$ ；

其中，${\displaystyle x}$ 是本徵值，是量子態為${\displaystyle |x⟩}$ 的粒子所處的位置，${\displaystyle x}$ 只是一個數值。

設定量子態${\displaystyle |\mathrm{\Psi }⟩=\hat{x}|\psi ⟩}$ 。量子態${\displaystyle |\mathrm{\Psi }⟩}$ 、${\displaystyle |\psi ⟩}$ 的位置空間表現，即波函數，分別定義為

${\displaystyle \mathrm{\Psi }(x)\stackrel{def}{=}⟨x|\mathrm{\Psi }⟩}$ 、

${\displaystyle \psi (x)\stackrel{def}{=}⟨x|\psi ⟩}$ 。

在位置空間裡，定義算符${\displaystyle \hat{\mathfrak{x}}}$ 為

${\displaystyle \hat{\mathfrak{x}}\psi (x)\stackrel{def}{=}x\psi (x)}$ 。

在位置空間裡，使用連續本徵態${\displaystyle |x^{\prime }⟩}$ 所組成的基底，任意量子態${\displaystyle |\psi ⟩}$ 展開為

${\displaystyle |\psi ⟩={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{d}{x}^{\prime }|x^{\prime }⟩⟨x^{\prime }|\psi ⟩}$ 。

將量子算符${\displaystyle \hat{x}}$ 作用於量子態${\displaystyle |\psi ⟩}$ ，可以得到

${\displaystyle \hat{x}|\psi ⟩=\hat{x}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{d}{x}^{\prime }|x^{\prime }⟩⟨x^{\prime }|\psi ⟩={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{d}{x}^{\prime }{x}^{\prime }|x^{\prime }⟩⟨x^{\prime }|\psi ⟩={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{d}{x}^{\prime }{x}^{\prime }\psi (x^{\prime })|x^{\prime }⟩={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{d}{x}^{\prime }\hat{\mathfrak{x}}\psi (x^{\prime })|x^{\prime }⟩}$ 。

應用狄拉克正交歸一性，${\displaystyle ⟨x|x^{\prime }⟩=\delta (x-x^{\prime })}$ ，這方程式與左矢${\displaystyle ⟨x|}$ 的內積為

${\displaystyle ⟨x|\hat{x}|\psi ⟩={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{d}{x}^{\prime }\hat{\mathfrak{x}}\psi (x^{\prime })⟨x|x^{\prime }⟩={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{d}{x}^{\prime }\hat{\mathfrak{x}}\psi (x^{\prime })\delta (x-x^{\prime })=\hat{\mathfrak{x}}\psi (x)}$ 。

量子態${\displaystyle |\mathrm{\Psi }⟩}$ 的展開式為

${\displaystyle \mathrm{\Psi }⟩={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{d}{x}^{\prime }|x^{\prime }⟩⟨x^{\prime }|\mathrm{\Psi }⟩={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{d}{x}^{\prime }\mathrm{\Psi }(x^{\prime })|x^{\prime }⟩}$ 。

應用狄拉克正交歸一性，這方程式與左矢${\displaystyle ⟨x|}$ 的內積為

${\displaystyle ⟨x|\mathrm{\Psi }⟩={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{d}{x}^{\prime }\mathrm{\Psi }(x^{\prime })⟨x|x^{\prime }⟩={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{d}{x}^{\prime }\mathrm{\Psi }(x^{\prime })\delta (x-x^{\prime })=\mathrm{\Psi }(x)}$ 。

所以，兩個波函數${\displaystyle \mathrm{\Psi }(x)}$ 、${\displaystyle \psi (x)}$ 之間的關係為

${\displaystyle \mathrm{\Psi }(x)=\hat{\mathfrak{x}}\psi (x)}$ 。

總結，位置算符${\displaystyle \hat{x}}$ 作用於量子態${\displaystyle |\psi ⟩}$ 的結果${\displaystyle |\mathrm{\Psi }⟩}$ ，表現於位置空間，等價於波函數${\displaystyle \psi (x)}$ 與${\displaystyle x}$ 的乘積${\displaystyle \mathrm{\Psi }(x)}$ 。位置算符${\displaystyle \hat{x}}$ 的位置空間表現是位算符${\displaystyle \hat{\mathfrak{x}}}$ ，可以稱算符${\displaystyle \hat{\mathfrak{x}}}$ 為位置算符。

假設，在位置空間裡，位置算符${\displaystyle \hat{\mathfrak{x}}}$ 的本徵值為${\displaystyle q}$ 的本徵函數是${\displaystyle g_q(x)}$ 。用方程式表達，^[1]

${\displaystyle \hat{\mathfrak{x}}{g}_q(x)=q{g}_q(x)}$ 。

這方程式的一般解為，

${\displaystyle g_q(x)=g_0\delta (x-q)}$ ；

其中，${\displaystyle g_0}$ 是常數，${\displaystyle \delta (x-q)}$ 是狄拉克δ函數。

注意到${\displaystyle g_q(x)}$ 無法歸一化：

${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{g}_q^{\ast }(x)g_q(x)dx=|g_0{|}^2{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\delta }^2(x-q)dx=\text{?}}$ 。

設定${\displaystyle g_0=1}$ ，函數${\displaystyle g_q(x)}$ 滿足下述方程式：

${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{g}_{q1}^{\ast }(x)g_{q2}(x)dx={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (x-q1)\delta (x-q2)dx=\delta (q1-q2)}$ 。

這性質不是普通的正交歸一性，這性質稱為狄拉克正交歸一性。因為這性質，位置算符的本徵函數具有完備性，也就是說，任意波函數${\displaystyle \psi (x)}$ 都可以表達為本徵函數的線性組合：

${\displaystyle \psi (x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\psi (q)g_q(x)dq}$ 。

雖然本徵函數${\displaystyle g_q(x)}$ 所代表的量子態是無法實際體現的，並且嚴格而論，不是一個函數，它可以視為代表一種理想量子態，這種理想量子態具有準確的位置${\displaystyle q}$ ，因此，根據不確定性原理，這種理想量子態的動量呈均勻分佈。

採用位置空間表現，設想一個移動於一維空間的量子粒子。在這裏，希爾伯特空間是${\displaystyle \mathcal{H}=L^2(\mathbb{R})}$ ，是實值定義域的平方可積函數的空間。^[2]:11兩個態向量的內積是

${\displaystyle ⟨{\psi }_1|{\psi }_2⟩={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\psi }_1^{\ast }(x){\psi }_2(x)\mathrm{d}x}$ 。

對於任意量子態${\displaystyle \psi }$ ，可觀察量${\displaystyle x}$ 的期望值為

${\displaystyle ⟨x⟩\stackrel{def}{=}⟨\psi |\hat{x}|\psi ⟩}$ 。

位置算符${\displaystyle \hat{x}}$ 作用於量子態${\displaystyle |\psi ⟩}$ 的結果，表現於位置空間，等價於波函數${\displaystyle \psi (x)}$ 與${\displaystyle x}$ 的乘積，所以，

${\displaystyle ⟨x⟩={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\psi }^{\ast }(x)x\psi (x)\mathrm{d}x={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x|\psi (x){|}^2\mathrm{d}x}$ 。

粒子處於${\displaystyle x}$ 與${\displaystyle x+dx}$ 微小區間內的機率是

${\displaystyle p(x)\mathrm{d}x={\psi }^{\ast }(x)\psi (x)\mathrm{d}x}$ 。

粒子位置與機率的乘積在位置空間的積分，就是粒子位置的期望值。

推廣至三維空間相當直截了當，參數為三維位置${\displaystyle \mathbf{r}}$ 的波函數為${\displaystyle \psi (\mathbf{r})}$ ，位置的期望值為^[2]:41-42

${\displaystyle ⟨\mathbf{r}⟩={\int }_{\mathbb{V}}\mathbf{r}|\psi (\mathbf{r}){|}^2{\mathrm{d}}^3\mathbf{r}}$ ；

其中，${\displaystyle \mathbb{V}}$ 是積分體積。

位置算符${\displaystyle \hat{\mathfrak{r}}}$ 的作用為

${\displaystyle \hat{\mathfrak{r}}\psi =\mathbf{r}\psi }$ 。

位置算符與動量算符的對易算符，當作用於波函數時，會得到一個簡單的結果：

${\displaystyle [\hat{x},\hat{p}]\psi =(\hat{x}\hat{p}-\hat{p}\hat{x})\psi =x\frac{\hslash }{i}\frac{\mathrm{\partial }\psi }{\mathrm{\partial }x}-\frac{\hslash }{i}\frac{\mathrm{\partial }(x\psi )}{\mathrm{\partial }x}=i\hslash \psi }$ 。

所以，${\displaystyle [\hat{x},\hat{p}]=i\hslash }$ 。這關係稱為位置算符與動量算符的對易關係。由於兩者的對易關係不等於 0 ，位置與動量彼此是不相容可觀察量。${\displaystyle \hat{x}}$ 與${\displaystyle \hat{p}}$ 絕對不會擁有共同的基底量子態。一般而言，${\displaystyle \hat{x}}$ 的本徵態與${\displaystyle \hat{p}}$ 的本徵態不同。

根據不確定性原理，

${\displaystyle \mathrm{\Delta }A\mathrm{\Delta }B\ge \left|\frac{⟨[A,B]⟩}{2i}\right|}$ 。

由於${\displaystyle x}$ 與${\displaystyle p}$ 是兩個不相容可觀察量，${\displaystyle \left|\frac{⟨[\hat{x},\hat{p}]⟩}{2i}\right|=\hslash /2}$ 。所以，${\displaystyle x}$ 的不確定性與${\displaystyle p}$ 的不確定性的乘積${\displaystyle \mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }p}$ ，必定大於或等於${\displaystyle \hslash /2}$ 。

• 物理算符

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