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交集

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在集合论和数学中，两个集合A{\displaystyle A}和B{\displaystyle B}的交集（Intersection）是含有所有既属于A{\displaystyle A}又属于B{\displaystyle B}的元素，而没有其他元素的集合。

有限交集

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A和B{\displaystyle B}的交集

交集是由公理化集合论的分類公理來確保其唯一存在的特定集合A∩B{\displaystyle A\cap B} ：

(∀A)(∀B)(∀x){(x∈A∩B)⇔[(x∈A)∧(x∈B)]}{\displaystyle (\forall A)(\forall B)(\forall x)\left\{(x\in A\cap B)\Leftrightarrow \left[(x\in A)\wedge (x\in B)\right]\right\}}

也就是直觀上：

A{\displaystyle A}和B{\displaystyle B}的交集写作「A∩B{\displaystyle A\cap B}」，「對所有x{\displaystyle x} ，x∈A∩B{\displaystyle x\in A\cap B} 等價於x∈A{\displaystyle x\in A} 且x∈B{\displaystyle x\in B}」

例如：集合{1,2,3}{\displaystyle \{1,2,3\}}和{2,3,4}{\displaystyle \{2,3,4\}}的交集为{2,3}{\displaystyle \{2,3\}}。数字9{\displaystyle 9}不属于素数集合{2,3,5,7,11,…}{\displaystyle \{2,3,5,7,11,\ldots \}}和奇数集合{1,3,5,7,9,11,…}{\displaystyle \{1,3,5,7,9,11,\ldots \}}的交集。

若两个集合A{\displaystyle A}和B{\displaystyle B}的交集为空，就是说它们彼此没有公共元素，则他们不相交，写作：A∩B=∅{\displaystyle A\cap B=\varnothing }。例如集合{1,2}{\displaystyle \{1,2\}}和{3,4}{\displaystyle \{3,4\}}不相交，写作{1,2}∩{3,4}=∅{\displaystyle \{1,2\}\cap \{3,4\}=\varnothing }。

更一般的，交集运算可以对多个集合同时进行。例如，集合A,B{\displaystyle A,B}，C{\displaystyle C}和D{\displaystyle D}的交集为A∩B∩C∩D=A∩(B∩(C∩D)){\displaystyle A\cap B\cap C\cap D=A\cap (B\cap (C\cap D))}。交集运算满足结合律。即：

A∩(B∩C)=(A∩B)∩C{\displaystyle A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C}

任意交集

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以上定義可根據无限并集和补集來推廣到任意集合的交集。

取一个集合M{\displaystyle {\mathcal {M}}} ，則根據分類公理可以取以下唯一存在的集合：

M¯:={A|(∃M∈M)(A=Mc)}{\displaystyle {\bar {\mathcal {M}}}:=\left\{A\,|\,(\exists M\in {\mathcal {M}})(A=M^{c})\right\}}。

也就是直觀上蒐集所有Mc{\displaystyle M^{c}} 的集合， 這樣的話有：

x∈⋃M¯⇔(∃A)[(x∈A)∧(∃M∈M)(A=Mc)]{\displaystyle x\in \bigcup {\bar {\mathcal {M}}}\Leftrightarrow (\exists A)[(x\in A)\wedge (\exists M\in {\mathcal {M}})(A=M^{c})]}

根據一阶逻辑的定理(Ce)，也就是：

x∈⋃M¯⇔(∃M)[(M∈M)∧(x∉M)∧(∃A)(A=Mc)]{\displaystyle x\in \bigcup {\bar {\mathcal {M}}}\Leftrightarrow (\exists M)[(M\in {\mathcal {M}})\wedge (x\notin M)\wedge (\exists A)(A=M^{c})]}

但根據一阶逻辑的等式相關定理，下式：

(∃A)(A=Mc){\displaystyle (\exists A)(A=M^{c})}

顯然是個定理（也就是直觀上為真），故：

x∈⋃M¯⇔(∃M∈M)(x∉M){\displaystyle x\in \bigcup {\bar {\mathcal {M}}}\Leftrightarrow (\exists M\in {\mathcal {M}})(x\notin M)}

換句話說：

x∈(⋃M¯)c⇔(∀M∈M)(x∈M){\displaystyle x\in {\left(\bigcup {\bar {\mathcal {M}}}\right)}^{c}\Leftrightarrow (\forall M\in {\mathcal {M}})(x\in M)}

那可以做如下的符號定義：

⋂M:=(⋃M¯)c{\displaystyle \bigcap {\mathcal {M}}:={\left(\bigcup {\bar {\mathcal {M}}}\right)}^{c}}

稱為M{\displaystyle {\mathcal {M}}} 的任意交集或无限交集。也就是直觀上「對所有x{\displaystyle x} ，x∈⋂M{\displaystyle x\in \bigcap {\mathcal {M}}} 等價於對任何M{\displaystyle {\mathcal {M}}} 的下屬集合M{\displaystyle M} ，都有x∈M{\displaystyle x\in M}」

例如：

A∩B=⋂{A,B}{\displaystyle A\cap B=\bigcap \{A,\,B\}}

類似於无限并集，无限交集的表示符號也有多種

可模仿求和符号記為

⋂A∈MA{\displaystyle \bigcap _{A\in {\mathcal {M}}}A}。

但大多數人會假設指标集I{\displaystyle I} 的存在，換句話說

若I≅AM{\displaystyle I\,{\overset {A}{\cong }}\,{\mathcal {M}}} 則⋂i∈IA(i):=⋂M{\displaystyle \bigcap _{i\in I}A(i):=\bigcap {\mathcal {M}}}

在指标集I{\displaystyle I} 是自然数系N{\displaystyle \mathbb {N} } 的情况下，更可以仿无穷级数來表示，也就是說：

若N≅AM{\displaystyle \mathbb {N} \,{\overset {A}{\cong }}\,{\mathcal {M}}} 則⋂i=1∞A(i):=⋂M{\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }A(i):=\bigcap {\mathcal {M}}}

也可以更粗略直觀的將⋂i=1∞A(i){\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }A(i)} 写作A1∩A2∩A3∩…{\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \ldots }。

参见

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公理
Venn diagram of set intersection
运算
  • 概念
  • 方法
集合类型
理论
集合論者
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