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三角函数

三角函數最一開始是用來表示角度和直角三角形三邊邊長關係的式子，直角三角形中的${\displaystyle \sin x}$ 和${\displaystyle \cos x}$可由畢氏定理給出它的定義：若一個直角三角形，它的一個銳角角度為${\displaystyle x}$，此角的對邊為${\displaystyle a}$，鄰邊為${\displaystyle b}$，斜邊為${\displaystyle c}$（如圖所示），則：

${\displaystyle \sin x=\frac{a}{c}=\frac{\text{对 边 长 }}{\text{斜 边 长 }}}$

${\displaystyle \cos x=\frac{b}{c}=\frac{\text{鄰 边 长 }}{\text{斜 边 长 }}}$

${\displaystyle \tan x=\frac{a}{b}=\frac{\text{对 边 长 }}{\text{鄰 边 长 }}}$

因此得到正弦函數${\displaystyle \sin x}$和餘弦函數${\displaystyle \cos x}$的定義.

當時，且

一个角度制数值所对应的弧度制数值等于单位圆中圆心角角度与该角度制数值相同时该圆心角所对应的弧长。用${\displaystyle rad}$表示弧度制数值，用${\displaystyle deg}$表示角度制数值，二者转换关系为：

${\displaystyle rad=\pi \frac{deg}{{180}^{\circ }}}$

常用的弧度转换公式：

${\displaystyle 2\pi \leftrightarrow {360}^{\circ }}$

${\displaystyle \pi \leftrightarrow {180}^{\circ }}$

${\displaystyle \frac{\pi }{2}\leftrightarrow {90}^{\circ }}$

${\displaystyle \frac{\pi }{3}\leftrightarrow {60}^{\circ }}$

${\displaystyle \frac{\pi }{4}\leftrightarrow {45}^{\circ }}$

${\displaystyle \frac{\pi }{6}\leftrightarrow {30}^{\circ }}$

${\displaystyle \sin \alpha =\frac{1}{\csc \alpha }}$

${\displaystyle \cos \beta =\frac{1}{\sec \beta }}$

${\displaystyle \tan \theta =\frac{1}{\cot \theta }}$

${\displaystyle {\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1}$
${\displaystyle {\tan }^2\theta +1={\sec }^2\theta }$
${\displaystyle 1+{\cot }^2\theta ={\csc }^2\theta }$

${\displaystyle \sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta }$

${\displaystyle \cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta }$

${\displaystyle \tan (\alpha \pm \beta )=\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}$

2倍角公式:

${\displaystyle \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta }$

${\displaystyle \cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta =2{\cos }^2\theta -1=1-2{\sin }^2\theta }$

${\displaystyle \tan 2\theta =\frac{2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta }}$

3倍角公式:

${\displaystyle \cos 3\theta =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta }$

${\displaystyle \sin 3\theta =-4{\sin }^3\theta +3\sin \theta }$

半角公式:

${\displaystyle \sin \frac{\theta }{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \theta }{2}}}$

${\displaystyle \cos \frac{\theta }{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos \theta }{2}}}$

${\displaystyle \tan \frac{\theta }{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \theta }{1+cos\theta }}=\frac{\sin \theta }{1+\cos \theta }=\frac{1-\cos \theta }{\sin \theta }}$

積化和差:

${\displaystyle \sin \alpha \cos \beta =\frac{\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )}{2}}$

${\displaystyle \cos \alpha \sin \beta =\frac{\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )}{2}}$

${\displaystyle \cos \alpha \cos \beta =\frac{\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )}{2}}$

${\displaystyle \sin \alpha \sin \beta =\frac{\cos (\alpha -\beta )-\cos (\alpha +\beta )}{2}}$

和差化積:

${\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}}$

${\displaystyle \sin \alpha -\sin \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}}$

${\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}}$

${\displaystyle \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}}$

万能公式：

${\displaystyle \sin 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1+{\tan }^2\alpha }}$

${\displaystyle \cos 2\alpha =\frac{1-{\tan }^2\alpha }{1+{\tan }^2\alpha }}$

${\displaystyle \tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }}$

平方差公式：

${\displaystyle \sin (\alpha +\beta )\cdot \sin (\alpha -\beta )={\sin }^2\alpha -{\sin }^2\beta }$

${\displaystyle \cos (\alpha +\beta )\cdot \cos (\alpha -\beta )={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\beta }$

降次升角公式：

${\displaystyle {\cos }^2\alpha =\frac{1+\cos 2\alpha }{2}}$

${\displaystyle {\sin }^2\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{2}}$

辅助角公式：

${\displaystyle a\sin \alpha +b\cos \alpha =\sqrt{a^2+b^2}\cdot \sin \left(\alpha +\arctan \frac{b}{a}\right)}$

若為任意三角形的三邊${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$,${\displaystyle c}$，${\displaystyle A}$,${\displaystyle B}$,${\displaystyle C}$分別為${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$,${\displaystyle c}$的對角，${\displaystyle R}$為此三角形的外接圓半徑，則存有以下關係式：${\displaystyle \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R=\frac{a+b+c}{\sin A+\sin B+\sin C}}$

由勾股定理得${\displaystyle {\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1}$当${\displaystyle \theta }$的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立。

根据三角函数的定义，当${\displaystyle \theta \ne k\pi +\frac{\pi }{2}}$（${\displaystyle k\notin \mathbb{Z}}$）时，有${\displaystyle \frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\tan \theta }$

这就是说，同一个角${\displaystyle \theta }$的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角${\displaystyle \theta }$的正切。

面积公式：

${\displaystyle S=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{abc}{4R}=2R^2\sin A\sin B\sin C}$

三角形形状的判定:

1)${\displaystyle c}$为三角形${\displaystyle ABC}$最大边时

${\displaystyle a^2+b^2=c^2}$三角形${\displaystyle ABC}$为直角三角形

${\displaystyle a^2+b^2>c^2}$三角形${\displaystyle ABC}$为锐角三角形

三角形${\displaystyle ABC}$为钝角三角形

2)推出

在实际生活中的应用很广，举个例子吧：1.测量建筑物的高度，用到仰角的正弦值；2.高架桥的两端的引桥，用到的坡度，是三角函数的正切值；3.汽车的侧方停车也要看角度后进对吗？4.公路的拐弯处也要科学运用角度的大小问题