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邏輯剔函數

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標準嘅邏輯剔函數 $\sigma (t)$ ：
對所有嘅 $t {\displaystyle t}$ ， $\sigma (t)\in (0,1)$ 。

{\displaystyle \sigma (t)} — 標準嘅邏輯剔函數 $\sigma (t)$ ：
對所有嘅 $t {\displaystyle t}$ ， $\sigma (t)\in (0,1)$ 。

邏輯剔tik1函數（英文：logistic function）係一種函數，屬於Sigmoid 函數嘅一種，可以將任意實數嘅輸入變換成 0 同 1 之間嘅數值。呢個函數喺統計學同機器學習上幾常用，尤其係用嚟處理一啲需要將輸出限制喺特定範圍內嘅問題，噉係因為好多實用上嘅問題，例如計機會率同比例等，都講求出嗰個數值要喺 0 同 1 之間。

數學定義

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睇埋：Sigmoid 函數

邏輯剔函數嘅標準形式係：

\sigma (t)={\frac {e^{t}}{e^{t}+1}}={\frac {1}{1+e^{-t}}}

當中 t 可以係任何實數輸入，而 σ(t) 就係佢個輸出值，永遠都會喺 0 同 1 之間^[1]。

此外，邏輯剔函數仲有一個更廣義化嘅款：

p(x)={\frac {1}{1+e^{-(x-\mu )/s}}}

當中 μ 同 s 係參數，其數值可以由計數嘅人設定，用嚟更改條曲線嘅位置同形狀，簡單講 μ 控制條曲線嘅水平位置，而 s 就控制曲線嘅有幾斜。

數學性質

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邏輯剔函數有幾個重要嘅性質：

當 t→ +∞ 嘅時候，σ(t) → 1
當 t → -∞ 嘅時候，σ(t) → 0
當 t = 0 嘅時候，σ(t) = 0.5
條曲線對稱，對照於 (0, 0.5) 嗰點。

應用

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睇埋：概率同廣義線性模型

邏輯剔函數常用於邏輯迴歸，用嚟將線性組合嘅結果轉換成 0 至 1 嘅概率值。假想有一個線性模型：

t=\beta _{0}+\beta _{1}x

當中 x 為自變數，將之代入邏輯剔函數度：

p(x)=\sigma (t)={\frac {1}{1+e^{-(\beta _{0}+\beta _{1}x)}}}

當中 p(x) 可以設為應變數嘅值為 1 嘅機率^[2]^[3]。

除咗邏輯迴歸，邏輯剔函數仲有應用於人工神經網絡，以及各種需要將數值轉化成 0 到 1 嘅範圍嘅應用之中，譬如係二元分類呀噉。

睇埋

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參考

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↑Hosmer, David W.; Lemeshow, Stanley (2000).Applied Logistic Regression (2nd ed.). Wiley.p. 6-8
↑McCullagh, P., & Nelder, J. A. (1989).Generalized linear models (Vol. 37). CRC press.p. 115-119
↑David A. Freedman (2009).Statistical Models: Theory and Practice. Cambridge University Press. p. 128.

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