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梅森質數

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梅森數係指形如2n−1{\displaystyle 2^{n}-1}嘅數，記做Mn{\displaystyle M_{n}}；如果一個梅森數係質數咁佢稱為梅森質數（英文：Mersenne prime）。

截至2024年10月，已知嘅梅森質數共有52個。已知最大嘅梅森質數係2136279841−1{\displaystyle 2^{136279841}-1}。由1997年到而家，所有新嘅梅森質數都係由互聯網梅森質數大搜索（GIMPS）分布式計算項目發現嘅。

相關命題同定理

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梅森數同梅森質數嘅性質

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  • q ≡ 3 mod 4為質數。則2q+1係質數 嘅充分必要條件系2q+1整除Mq，因此對於呢啲質數q（除咗3），Mq唔可能會係質數，前幾個咁嘅質數q為11, 23, 83, 131, 179, 191, 239, 251, 359, 419, 431, 443, 491, 659, 683, 719, 743, 911, 1019, 1031, 1103, 1223, 1439, 1451, 1499, ... （OEIS數列A002515）
  • 如果p係奇質數，咁任何能整除2p − 1嘅質數q都一定係1加上一個2p嘅倍數。例如，211 − 1 = 23×89，而23 = 1 + 2×11，89 = 1 + 8×11。
  • 如果p係奇質數，咁任何能整除2p−1{\displaystyle 2^{p}-1}嘅質數q都一定同±1(mod8){\displaystyle \pm 1{\pmod {8}}}同除，因為2係模2p−1{\displaystyle 2^{p}-1}和質數q嘅二次剩餘。

梅森數和梅森素數嘅關系

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下面嘅命題關注乜樣嘅梅森數系梅森素數。

  • 由2ab−1=(2a−1)×∑i=0b−12ia{\displaystyle 2^{ab}-1=(2^{a}-1)\times \sum _{i=0}^{b-1}2^{ia}}知：q系素數系Mq系素數嘅必要條件。但呢唔係充分嘅。M11 = 211 − 1 = 23 × 89系個反例。
  • 對Mq（q系素數）有：
    • 若a系Mq嘅因數，則a有如下性質：
      • a ≡ 1 mod 2q
      • a ≡ ±1 mod 8
    • 歐拉嘅一個關於形如1+6k嘅數嘅理論表明：Mq系素數當且僅當存在數對（x,y）使得Mq = (2x)2 + 3(3y)2，其中q ≥ 5。
    • Reix發現q > 3時，Mq可以寫成：Mq = (8x)2 - (3qy)2 = (1+Sq)2 - (Dq)2。顯然，若存在一個數對（x,y），咁Mq系素數。

梅森數嘅素數檢驗

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Mn為素數當且僅當Mn整除Sn-2（S0=4，Sk =S 2k − 1 − 2，k > 0），此數列為4, 14, 194, 37634, 1416317954, 2005956546822746114, 4023861667741036022825635656102100994, ... （OEIS數列A003010）

與完全數嘅關系

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相關問題同估想

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  • 係咪有冇窮多個梅森質數。
  • 梅森質數點樣分佈。

梅森質數對應指數位數分布

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梅森質數指數分布
位數/起始數字123456789總計
1位數11114
2位數31116
3位數2114
4位數121228
5位數22116
6位數21115
7位數21115
8位數133212113
9位數11

梅森質數一覽

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  梅森遺漏嘅梅森質數

 GIMPS發現嘅梅森質數

  古代知嘅梅森質數

  以試除法發現嘅梅森質數

 拉斐爾·米切爾·羅賓遜發現嘅梅森質數

 亞歷山大·赫維茲發現嘅梅森質數

 Donald B. Gillies發現嘅梅森質數

 Walt Colquitt &Luke Welsh發現嘅梅森質數

 拜仁特·塔克曼發現嘅梅森質數

下面表中列出晒所有已知嘅梅森質數：（OEIS數列A000668）

#nMnMn嘅位數發現日期發現者算法
1231公元前5世紀古希臘數學家
2371公元前5世紀古希臘數學家
35312公元前3世紀古希臘數學家
471273公元前3世紀古希臘數學家
513819141456年無名氏試除法
61713107161588年彼得·羅卡塔爾迪試除法
71952428761588年彼得·羅卡塔爾迪試除法
8312147483647101772年歐拉優化嘅試除法
9612305843009213693951191883年Ivan Mikheevich Pervushin盧卡斯數列
1089618970019642690137449562111271911年Ralph Ernest Powers盧卡斯數列
11107162259276829213363391578010288127331914年Ralph Ernest Powers盧卡斯數列
12127170141183460469231731687303715884105727391876年爱德華·盧卡斯盧卡斯數列
13521686479766013…2911150571511571952年1月30日拉斐爾·米切爾·羅賓遜盧卡斯-萊默檢驗法
14607531137992816…2190317281271831952年1月30日拉斐爾·米切爾·羅賓遜盧卡斯-萊默檢驗法
151,279104079321946…7031687290873861952年6月25日拉斐爾·米切爾·羅賓遜盧卡斯-萊默檢驗法
162,203147597991521…6866977710076641952年10月7日拉斐爾·米切爾·羅賓遜盧卡斯-萊默檢驗法
172,281446087557183…4181328363516871952年10月9日拉斐爾·米切爾·羅賓遜盧卡斯-萊默檢驗法
183,217259117086013…3629093150719691957年9月8日Hans Riesel盧卡斯-萊默檢驗法
194,253190797007524…8153504849911,2811961年11月3日亞歷山大·赫維茲盧卡斯-萊默檢驗法
204,423285542542228…9026085806071,3321961年11月3日亞歷山大·赫維茲盧卡斯-萊默檢驗法
219,689478220278805…8262257541112,9171963年5月11日Donald B. Gillies盧卡斯-萊默檢驗法
229,941346088282490…8837894635512,9931963年5月16日Donald B. Gillies盧卡斯-萊默檢驗法
2311,213281411201369…0876963921913,3761963年6月2日Donald B. Gillies盧卡斯-萊默檢驗法
2419,937431542479738…0309680414716,0021971年3月4日拜仁特·塔克曼盧卡斯-萊默檢驗法
2521,701448679166119…3535118827516,5331978年10月30日Landon Curt Noll &Laura Nickel盧卡斯-萊默檢驗法
2623,209402874115778…5237792645116,9871979年2月9日Landon Curt Noll盧卡斯-萊默檢驗法
2744,497854509824303…96101122867113,3951979年4月8日Harry Nelson &David Slowinski盧卡斯-萊默檢驗法
2886,243536927995502…20943343820725,9621982年9月25日David Slowinski盧卡斯-萊默檢驗法
29110,503521928313341…08346551500733,2651988年1月28日Walt Colquitt &Luke Welsh盧卡斯-萊默檢驗法
30132,049512740276269…45573006131139,7511983年9月20日David Slowinski盧卡斯-萊默檢驗法
31216,091746093103064…10381552844765,0501985年9月6日David Slowinski盧卡斯-萊默檢驗法
32756,839174135906820…328544677887227,8321992年2月19日David Slowinski &Paul Gage盧卡斯-萊默檢驗法
33859,433129498125604…243500142591258,7161994年1月10日David Slowinski & Paul Gage盧卡斯-萊默檢驗法
341,257,787412245773621…976089366527378,6321996年9月3日David Slowinski & Paul Gage盧卡斯-萊默檢驗法
351,398,269814717564412…868451315711420,9211996年11月13日GIMPS／Joel Armengaud盧卡斯-萊默檢驗法
362,976,221623340076248…743729201151895,9321997年8月24日GIMPS／Gordon Spence盧卡斯-萊默檢驗法
373,021,377127411683030…973024694271909,5261998年1月27日GIMPS／Roland Clarkson盧卡斯-萊默檢驗法
386,972,593437075744127…1429241937912,098,9601999年6月1日GIMPS／Nayan Hajratwala盧卡斯-萊默檢驗法
3913,466,917924947738006…4702562590714,053,9462001年11月14日GIMPS／Michael Cameron盧卡斯-萊默檢驗法
4020,996,011125976895450…7628556820476,320,4302003年11月17日GIMPS／Michael Shafer盧卡斯-萊默檢驗法
4124,036,583299410429404…8827339694077,235,7332004年5月15日GIMPS／Josh Findley盧卡斯-萊默檢驗法
4225,964,951122164630061…2805770772477,816,2302005年2月18日GIMPS／Martin Nowak盧卡斯-萊默檢驗法
4330,402,457315416475618…4116529438719,152,0522005年12月15日GIMPS／Curtis Cooper及Steven Boone盧卡斯-萊默檢驗法
4432,582,657124575026015…1540539678719,808,3582006年9月4日GIMPS／Curtis Cooper及Steven Boone盧卡斯-萊默檢驗法
4537,156,667202254406890…02230822092711,185,2722008年9月6日GIMPS／Hans-Michael Elvenich盧卡斯-萊默檢驗法
4642,643,801169873516452…76556231475112,837,0642009年4月12日GIMPS／Odd M. Strindmo盧卡斯-萊默檢驗法
4743,112,609316470269330…16669715251112,978,1892008年8月23日GIMPS／Edson Smith盧卡斯-萊默檢驗法
4857,885,161581887266232…07172428595117,425,1702013年1月25日GIMPS／Curtis Cooper盧卡斯-萊默檢驗法
49*74,207,281300376418084…39108643635122,338,6182015年9月17日GIMPS／Curtis Cooper盧卡斯-萊默檢驗法
50*77,232,917467333183359…06976217907123,249,4252017年12月26日GIMPS／Jon Pace盧卡斯-萊默檢驗法
51*82,589,933148894445742…32521790259124,862,0482018年12月7日GIMPS／Patrick Laroche盧卡斯-萊默檢驗法
52*136,279,841881694327503…21948687155141,024,3202024年10月21日GIMPS／Luke Durant盧卡斯-萊默檢驗法

注：依家重未知喺第48個梅森質數（M57885161）同第52個（M136279841）之間有冇未知梅森質數，所以喺其序號之前用*標出。

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