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執位

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執位（permutation）係一類代數類型。佢係由一堆函數組成，佢哋嘅性質就係將個集/群入面嘅嘢調亂。情形就好似一班學生排排坐好，之後將佢哋嘅位執過。

呢個概念喺19世紀中已經有數學家討論，直到1850年左右數學家Cayley用抽象群嘅概念討論執位。

定義

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執位係一個由集A{\displaystyle A}打返去集A{\displaystyle A}嘅可逆函數，即係ϕ:A→A{\displaystyle \phi :A\to A}。

執位群（Permutation Group）係一個群，入面全部都係A{\displaystyle A}嘅執位。二元運算就係組合函數∘{\displaystyle \circ }。

例子

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同微積分唔同嘅就係喺代數世界入面好少用一條公式嚟代表一個函數。例如：ϕ{\displaystyle \phi }係{1,2,3,4}{\displaystyle \{1,2,3,4\}}嘅換位。可以定義，ϕ(1)=1,ϕ(2)=4,ϕ(3)=2,ϕ(4)=3{\displaystyle \phi (1)=1,\phi (2)=4,\phi (3)=2,\phi (4)=3}

我哋可以用一個矩陣嚟代表ϕ{\displaystyle \phi }：ϕ=[1234ϕ(1)ϕ(2)ϕ(3)ϕ(4)]=[12341423]{\displaystyle \phi ={\begin{bmatrix}1&2&3&4\\\phi (1)&\phi (2)&\phi (3)&\phi (4)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&2&3&4\\1&4&2&3\end{bmatrix}}}如果{1,2,3,4,5}{\displaystyle \{1,2,3,4,5\}}有兩個執位ϕ=[1234524351];σ=[1234554123]{\displaystyle \phi ={\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\2&4&3&5&1\\\end{bmatrix}};\sigma ={\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\5&4&1&2&3\\\end{bmatrix}}}咁σϕ=[1234524351][1234554123]=[1234515243]{\displaystyle \sigma \phi ={\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\2&4&3&5&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\5&4&1&2&3\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\1&5&2&4&3\\\end{bmatrix}}}σϕ{\displaystyle \sigma \phi }嘅意思係σ∘ϕ{\displaystyle \sigma \circ \phi }，先做ϕ{\displaystyle \phi }再做σ{\displaystyle \sigma }。所以，σϕ(1)=σ(ϕ(1))=σ(5)=1{\displaystyle \sigma \phi (1)=\sigma (\phi (1))=\sigma (5)=1}。

對稱群一

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三邊對稱群S3{\displaystyle S_{3}}，係所有嗚{1,2,3}{\displaystyle \{1,2,3\}}自己入面嘅單對單函數。咁S3{\displaystyle S_{3}}係一個執位群，佢有六嚿嘢。

e=[123123]{\displaystyle e={\begin{bmatrix}1&2&3\\1&2&3\\\end{bmatrix}}}，a=[123231]{\displaystyle a={\begin{bmatrix}1&2&3\\2&3&1\\\end{bmatrix}}}，a2=[123312]{\displaystyle a^{2}={\begin{bmatrix}1&2&3\\3&1&2\\\end{bmatrix}}}，

b=[123132]{\displaystyle b={\begin{bmatrix}1&2&3\\1&3&2\\\end{bmatrix}}}，ab=[123213]{\displaystyle ab={\begin{bmatrix}1&2&3\\2&1&3\\\end{bmatrix}}}，a2b=[123321]{\displaystyle a^{2}b={\begin{bmatrix}1&2&3\\3&2&1\\\end{bmatrix}}}。

計下：

ab=[123231][123132]=[123213]{\displaystyle ab={\begin{bmatrix}1&2&3\\2&3&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2&3\\1&3&2\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&2&3\\2&1&3\\\end{bmatrix}}}

ba=[123132][123231]=[123132]{\displaystyle ba={\begin{bmatrix}1&2&3\\1&3&2\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2&3\\2&3&1\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&2&3\\1&3&2\\\end{bmatrix}}}

明顯ab≠ba{\displaystyle ab\neq ba}，所以S3{\displaystyle S_{3}}唔係阿標群。

對稱群二

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内文：對稱群

如果A={1,2,3,⋯,n}{\displaystyle A=\{1,2,3,\cdots ,n\}}，一個集集合曬所有A{\displaystyle A}嘅執位係一個n{\displaystyle n}次對稱群，用Sn{\displaystyle S_{n}}表示。

Sn{\displaystyle S_{n}}嘅嘢係咁嘅樣σ=[12⋯nσ(1)σ(2)⋯σ(n)]{\displaystyle \sigma ={\begin{bmatrix}1&2&\cdots &n\\\sigma (1)&\sigma (2)&\cdots &\sigma (n)\end{bmatrix}}}。

對稱群有好多子群。例如：S4{\displaystyle S_{4}}有30{\displaystyle 30}個子群，S5{\displaystyle S_{5}}就有超過100{\displaystyle 100}個。

正方形旋轉反射群

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將正方形嘅四隻角用{1,2,3,4}{\displaystyle \{1,2,3,4\}}代表。將個正方形旋轉同反射組合咁佢就係一個四次嘅旋轉反射群，D4{\displaystyle D_{4}}。

佢都係一類執位群：

旋轉90∘{\displaystyle 90^{\circ }}就係ρ=[12342341]{\displaystyle \rho ={\begin{bmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&1\end{bmatrix}}}；

打橫反射就係ϕ=[12342314]{\displaystyle \phi ={\begin{bmatrix}1&2&3&4\\2&3&1&4\end{bmatrix}}}。

D4{\displaystyle D_{4}}係S4{\displaystyle S_{4}}嘅子群。


執位嘅總數

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執位嘅方法總數係Prn=n!(n−r)!{\displaystyle \operatorname {P} _{r}^{n}={\frac {n!}{(n-r)!}}}

睇埋

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現代數學同數學各領域
數學證明
數學基礎
數論
代數學
幾何學
數學分析
離散數學
應用數學
運算數學
拉雜相關
常用術語
羣嘅類型
有限羣
李羣（Lie Groups）
無限次元羣
羣嘅理論
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