\(\mathfrak H_1\) sei ein abgeschlossener Teilraum des Hilbertschen Raumes \(\mathfrak H\) (beliebiger Mächtigkeit). \(A\) sei ein abgeschlossener linearer Operator in \(\mathfrak H\), für dessen Definitionsbereich \(\mathfrak D (A)\) gilt \(\overline{\mathfrak D(A) \cdot \mathfrak H_1} = \mathfrak H_1\) (\(\overline{\mathfrak B}\) bedeutet die abgeschlossene lineare Hülle von \(\mathfrak B\)), \(A(\mathfrak D(A) \cdot \mathfrak H_1) \subset \mathfrak H_1\). Der durch \(A_1 = A\) in \(\mathfrak D (A) \mathfrak H_1\) erklärte Operator in \(\mathfrak H_1\) heißt der Teil von \(A\) in \(\mathfrak H_1\), \(A\) heißt Fortsetzung zweiter Art von \(A_1\) nach \(\mathfrak H\). §1 und 2 enthalten einfache Eigenschaften des Teiles \(A_1\), insbesondere Kriterien der Art, wann \(A_1\) abgeschlossen und symmetrisch bzw. selbstadjungiert ist, wenn \(A\) es ist. Gilt \((Hf, g) = (f, Hg)\) für alle \(f, g\) in \(\mathfrak D(H)\), ohne daß \(\mathfrak D (H)\) als dicht in \(\mathfrak H\) vorausgesetzt wird, so heißt \(H\) hermitesch. Wie für symmetrische Operatoren werden in §3 zu jedem hermiteschen Operator \(H\) die Cayleytransformierte \(U_H\) und die Defekträume \(\mathfrak M^-\) und \(\mathfrak M^+\) eingeführt, deren Kardinalzahlen \((\mathfrak m, \mathfrak n)\) als Defektindex von \(H\) bezeichnet werden. Es gilt z. B., daß \(H\) dann und nur dann symmetrisch ist (d. h. \(\overline{\mathfrak D(H)} = \mathfrak D\)), wenn \(\mathfrak D(H)\), \(\mathfrak M^-\) und \(\mathfrak M^+\) linear unabhängig sind. Nach einem vorbereitenden §4 über direkte Summen von Operatoren werden in §5 die Hauptresultate über die selbstadjungierten Fortsetzungen zweiter Art eines abgeschlossenen symmetrischen Operators \(H_1\) in \(\mathfrak H_1\) abgeleitet. Es gilt: Sei \(\mathfrak H_2 = \mathfrak H \ominus \mathfrak H_1\). Eine selbstadjungierte Fortsetzung \(H\) von \(H_1\) auf \(\mathfrak H\) heißt regulär, wenn \(\overline{\mathfrak D(H) \cdot \mathfrak H_2} = \mathfrak H_2\) ist.\(H\) heißt endlich dimensional, wenn dim \(\mathfrak H_2\) endlich ist. Ein abgeschlossener symmetrischer Operator, der nicht selbstadjungiert ist, hat keine endlich dimensionalen Fortsetzungen. Ist \(H_1\) abgeschlossen symmetrisch mit dem Defektindex \((\mathfrak m, \mathfrak n)\), \(\mathfrak m\) und \(\mathfrak n\) unendlich, und ist \(H_2\) ein hermitescher Operator in \(\mathfrak H_2\) mit dem Defekt \((\mathfrak n, \mathfrak m)\), so gibt es unendlich viele reguläre selbstadjungierte Fortsetzungen von \(H_1\), die durch isometrische Abbildungen von \(\mathfrak M_1^- \oplus \mathfrak M_2^-\) auf \(\mathfrak M_1^+ \oplus \mathfrak M_2^+\) gegeben werden und auf \(\mathfrak H_2\) gleich \(H_2\) sind. Nichtreguläre selbstadjungierte Fortsetzungen gibt es nur, wenn der Defekt \((\mathfrak m, \mathfrak m)\) ist, \(\mathfrak m\) eine unendliche Kardinalzahl. §6 bringt als Anwendung eine Art Spektralzerlegung eines beliebigen abgeschlossenen symmetrischen Operators: Es wird für \(f\) in \(\mathfrak D(H_1)\)\(H_1 f = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\lambda d E_1(\lambda) \,f\). Die \(E_1(\lambda)\) sind beschränkte selbstadjungierte Operatoren in \(\mathfrak H_1\), von links stetig in \(\lambda\), mit \(E_1(\lambda) \to 0\), 1 für \(\lambda \to -\infty\) bzw. \(+\infty\) und \(E_1(\lambda_2) - E_1 (\lambda_1)\) positiv für \(\lambda_2 - \lambda_1 > 0\). Die \(E_1 (\lambda)\) ergeben sich aus der Spektralschar \(E(\lambda)\) einer selbstadjungierten Fortsetzung \(H\) von \(H_1\), wenn man \(E_1(\lambda) = PE (\lambda)\) setzt, \(P\) die Projektion von \(\mathfrak H\) auf \(\mathfrak H_1\).

Reviewer: Köthe, G., Prof. (Gießen)