Reviewer: A. Walfisz (Tbilisi)

\(\vartheta_1, \dots, \vartheta_s\) sei ein eigentliches System reeller Zahlen, d. h. es bestehe keine Relation \(x_0 + x_1\vartheta_1 + \cdots +x_s\vartheta_s = 0\) mit ganzen, nicht sämtlich verschwindenden \(x_i\). Setzt man dann \begin{align*} \mathop{\operatorname{Min}}\limits_{|x_i|\le \tau} |x_1\vartheta_1 + \cdots +x_s\vartheta_s+y|=\psi_1(\tau; \vartheta_1, \ldots, \vartheta_s)&=\psi_1(\tau)\\ \mathop{\operatorname{Min}}\limits_{0<q\leqq \tau} (\mathop{\operatorname{Max}}\limits_{1\leqq i \leqq s} |q\vartheta_i-p_i|)=\psi_2(\tau;\vartheta_1, \ldots, \vartheta_s)&=\psi_2(\tau) \quad (p_i, q \text{ ganz)}, \end{align*} so ist bekanntlich \[ 0 < \psi_1(\tau)\cdot \tau^s < 1, \quad 0 < \psi_2(\tau)\cdot \sqrt[s] {\tau} < 1. \] Verf. bezeichnet nun mit \[ \gamma_1 = \gamma_1(\vartheta_1, \ldots, \vartheta_s) \quad \text{bzw.} \quad \gamma_2=\gamma_2(\vartheta_1, \ldots, \vartheta_s) \] die obere Grenze derjenigen Zahlen \(\lambda\), für welche \(\varlimsup\limits_{\tau \to \infty}\psi_1(\tau) \cdot \tau^{s+\lambda}\) endlich bzw. \(\varlimsup\limits_{\tau \to \infty}\psi_2(\tau)\cdot \left(\sqrt[s] {\tau}\right)^{1+\lambda}\) endlich ist. Die analogen Bildungen mit \(\varliminf\) an Stelle von \(\varlimsup\) hat Khintchine mit \(\beta_1\), \(\beta_2\) bezeichnet und für sie die Ungleichungen bewiesen: \[ \beta_1 \ge \beta_2 \ge \frac {\beta_1}{(s-1)\beta_1+s^2} \tag{1} \][Rend. Circ. Mat. Palermo 50, 170–195 (1926;JFM 52.0183.01)]. Verf. beweist nun die analogen Ungleichungen : \[ \gamma_1 \ge \gamma_2 \ge \frac {\gamma_1}{(s-1)\gamma_1+s^2}. \tag{2} \] Für \(s > 2\) sind diese Grenzen bis zu gewissem Grad scharf, indem im Fall \(\gamma_1=\infty\) die durch (2) bestimmten äußersten Grenzen \(\gamma_2 = \infty\) und \(\gamma_2=\frac 1{s-1}\) tatsächlich für gewisse Systeme \(\vartheta_1, \dots, \vartheta_s\) vorkommen. Für \(s=2\) wird dagegen die schärfere Beziehung \(\gamma_2=\gamma_1(\gamma_1 + 2)^{-1}\) bewiesen.

Reviewer: Perron, O., Prof. (München)