Ente geometrico fondamentale, in genere assunto come primitivo nelle trattazioni assiomatiche.

Astronomia

R. d’altezza Proiezione di un tratto delcerchio d’altezza (➔ cerchio) sopra una carta di Mercatore. Le r. d’altezza sono utilizzate per le determinazioni delpunto.

Economia

R. del bilancio del consumatore, della spesa o dei prezzi Luogo dei punti corrispondenti alle varie combinazioni quantitative di due beni che, dati i prezzi dei beni stessi, il consumatore può acquistare con un dato reddito.

Matematica

fig.

La nozione di r.,insieme con quella di punto e con altre, fa parte delle nozioni primitive: rinunciando a ogni definizione a carattere descrittivo, ci si limita ad assegnare un gruppo di assiomi o postulati che costituiscono una definizione implicita della r., del punto, delpiano ecc. (➔geometria). Per essa valgono le seguenti proprietà: per due punti distinti Ae B (nel piano come nellospazio) passa una e una sola retta (che viene solitamente indicata con la notazioneAB); il tratto di retta (segmento) compreso tra Ae B rappresenta ilcammino più breve che collega Ae B; dati un puntoP e una rettaa, perP passa una e una sola retta parallela (oppureperpendicolare) ad a(quest’ultima proprietà vale solo nella geometria euclidea). In unsistema di assi cartesiani nel piano (v.fig.) una r. è rappresentata da unaequazione algebrica di 1°grado inx ey:

[1]formula

dovea,b,c sono tre coefficienti non tutti nulli, di cuia,b, mai contemporaneamente nulli, ex,y sono lecoordinate di un punto variabile sulla retta. L’equazione di una r. ha nei diversi sistemi di riferimento forme diverse; nel caso particolare di un sistema di assi cartesianix,y ortogonali, la r. è data mediante l’equazione [1] e i suoi coseni direttori (cioè i coseni degli angoliα eβ che la r. forma rispettivamente con l’assex e con l’assey), sono dati dalle formule:

mentre i coseni direttori di una r.normale alla retta data sono espressi da:

(dove, sia per i primi coseni sia per i secondi, il segno del denominatore resta determinato dall’orientamento della r.). Operando opportunamente sull’equazione [1], essa si può scrivere nella forma:

[2]formula

dove drappresenta ladistanza dell’origine Odegli assi dalla r. data. L’equazione [2] è anche nota con il nome di equazione di Hesse. La r. che incontra gli assi coordinati nei punti (p, 0), (0,q) ha equazione:

[3]formula

La [3] è dettaequazione segmentaria di una retta. Infine, la r. che passa per i puntiP₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂) ha equazione:

[4]formula

Nello spazio, una r. si rappresenta per solito comeintersezione di due piani e quindi mediante le equazioni generali

[5]formula

o mediante le equazioni ridotte

[6]formula

o ancora, forma da preferirsi quando la r. è assegnata mediante i puntiP₁(x₁,y₁,z₁),P₂(x₂,y₂,z₂), con le equazioni

[7]formula

I numeri direttori (o parametri direttori)l,m, nsono dati, nel caso [5], da quantità proporzionali abc′–b′c, ca′–c′a, ab′–a′b; in [6] sonol,m, 1 e infine nella [7] sono i tre denominatori. Due r. di parametril,m, nel′,m′,n′ sono parallele sel/l′=m/m′=n/n′, mentre sono perpendicolari sell′+mm′+nn′=0. In generale, l’angolo ϑ tra le due rette è individuato dallarelazione:

dove il segno del denominatore dipende dall’orientamento attribuito alle rette. Le due r. di equazioniax+by+cz+d=0,a′x+… +d′=0 ea″x+ … +d″=0,a‴x+ … +d‴=0 sono complanari o sghembe a seconda che ildeterminante

sia rispettivamente uguale azero o diverso da zero.

Con particolari qualificazioni, il termine r. assume diversi significati.R.caratteristica Per un sistema ∞¹ di piani, è quella r. di uno qualunque di essi che si ottiene comelimite dell’intersezione di detto piano con un altro piano del sistema il quale tenda a coincidere con il primo.R. complessa(o immaginaria) R. del piano per la quale i mutui rapporti dei coefficienti non sono tutti reali; nello spazio è una r. che non si può ottenere come intersezione di due piani reali. Una r. complessa dello spazio è detta di prima specie se contiene un punto reale, di seconda specie se non ne contiene alcuno.R. orientata R. su cui è fissato un verso di percorrenza.R. ortogonali Nello spazio, sono due r. tali che esista un piano passante per l’una eortogonale all’altra.R. parallele Nella geometria euclidea, sono r. di un piano che non hanno un punto comune; nella geometria affine sono r. che s’incontrano in un puntoimproprio.R. proiettiva R. euclidea completata con un punto improprio, da considerarsi alla stessa stregua degli altri punti; astrattamente è l’insieme delle coppie di numeri (x₀,x₁) (reali o complessi, a seconda che tale sia la r.), non entrambi nulli, definiti a meno di un comune fattore diproporzionalità non nullo.R. reale R. del piano i cui coefficienti sono reali, ovvero r. dello spazio che si può ottenere come intersezione di due piani reali.R.tangente Rispetto a unacurva o a unasuperficie, è il limite della congiungente due punti della curva o della superficie, i quali tendano a coincidere (➔ tangente).