Matematica

Ingeometria,a.piano, o più semplicemente a., è una regione di piano compresa tra due semirette uscenti da uno stessopunto. Analogamente, nellospazio,a. solido è una regione dello spazio stesso, variamente delimitata. L’a. piano e l’a. solido sono grandezze supplementari del sistema internazionale SI.

A. piani

fig. A 1

A. di due semirette

Due semirette a, b, aventi in comune l’origine V dividono il piano in due parti, ciascuna delle quali è un a.; le due semirette si dicono ilati dell’a., l’origine V ilvertice dell’angolo. Uno dei due a. si diceconvesso, l’altroconcavo: nell’a. convesso (fig. A 1) i prolungamenti dei lati cadono fuori dell’a., mentre essi cadono dentro l’a. quando questo è concavo (fig. A 2). In modo naturale si definisce l’uguaglianza di due a.: due a. sonouguali quando sono sovrapponibili. Un a. è generalmente indicato con una lettera minuscola dell’alfabeto greco oppure sovrapponendo il segno^∧ agli elementi che determinano l’angolo.

A. di due rette

Due rette d’un piano, tagliandosi in un punto O, formano quattro angoli (convessi) aventi lo stesso vertice O (fig. A 3). Essi possono essere considerati a coppie in due modi diversi: si può accoppiare a ognuno dei 4 a. l’a. che ha per lati i prolungamenti dei lati del primo (a. opposti al vertice, comeα eγ infig. A 3), oppure un a. che ha con il primo un lato in comune (a. adiacenti, comeα eβ infig. A 3). Due a. opposti al vertice sono sempre uguali. Se accade che i 4 a. formati dalle due rette siano tutti uguali tra di loro, le due rette si diconoperpendicolari (o normali), e ciascuno dei 4 a. si diceretto (fig. A 4).

Un a. tale che i suoi lati siano l’uno ilprolungamento dell’altro si dicea. piatto (fig. A 5); si dicea. giro quando i due lati coincidono (fig. A 6). Un a. maggiore del retto, ma minore del piatto, si diceottuso (fig. A 7); un a. minore di un a. retto si diceacuto (fig. A 8); un a. compreso tra l’a. piatto e l’a. giro è concavo, mentre un a. minore di un piatto è convesso. Se lasomma di due angoli è un a. retto, i due angoli si diconocomplementari; se è un a. piatto,supplementari; se la loro somma è un angolo giro,replementari; se la loro differenza è un angolo piatto,explementari.

Misura degli angoli

Nella pratica, gli a. si misurano in gradi sessagesimali, talvolta in gradi centesimali. Ungrado sessagesimale è la novantesima parte dell’a. retto, che equivale a 90°. L’a. piatto vale allora 180°, l’a. giro 360°. Un grado centesimale ogon è la centesima parte dell’a. retto. Nel sistema internazionale SI si ha una misura intrinseca degli a. usando come unità ilradiante; questo è definito come l’a. al centro, in uncerchio, compreso tra due raggi che intercettano sullacirconferenza unarco dilunghezza pari a quella delraggio R (fig. A 8). Poiché 2πR è la lunghezza dell’intera circonferenza, le misure in radianti dell’a. giro, dell’a. piatto e dell’a. retto risultano rispettivamente pari a 2π,π,π/2. Dalla loroproporzionalità diretta discende immediatamente che la misura,α, di un angolo in gradi sessagesimali è legata a quella, ϑ, in radianti dalla relazione:

da cui segue 1 rad = 57°17′45″. In pratica la misura degli a. si effettua con appositi strumenti (goniometro,sestante,teodolite ecc.) graduati per lo più in gradi sessagesimali.

Misura con segno degli angoli

Un a. si può anche pensare come la parte del piano spazzata da unasemirettar che ruoti in uno dei due sensi possibili fino a sovrapporsi a una semirettas avente la stessa origine dir. Conviene, per distinguere i due casi, considerare come positivo uno dei due possibili sensi dirotazione, per es. quello antiorario, e attribuire agli a. descritti da una semiretta che ruoti in senso antiorario misura positiva, a quelli descritti in sensoorario misura negativa. Per es., i due angoli dellefig. A 9 e 10, generati, il primo dalla sovrapposizione dis sur (rotazione antioraria), l’altro dalla sovrapposizione dir sus (rotazione oraria), hanno lo stesso valore assoluto, ma segno opposto.

A. di due rette orientate

Anche per poter parlare dell’a. di due rette orientate^→r ed^→s, uscenti da un puntoO, occorre fissare un verso positivo delle rotazioni nel piano (per es. il verso antiorario). Si intende allora per a. di^→r con^→s (in questo ordine), e si indica con^∧→r^→s l’a. descritto dalla semiretta orientataO^→r che ruoti in senso antiorario fino a sovrapporsi alla semiretta orientataO^→s (fig. A 11). L’a.^∧→s^→r (fig. A 12) è naturalmente distinto dall’a.^∧→r^→s. Se le due rette^→r e^→s sono sovrapposte, l’a.^∧→s^→r vale 0° ovvero 180° a seconda che gli orientamenti di^→r e^→s siano concordi o discordi.

A. di due rette con una trasversale

Date (fig. A 13) due rettea eb e una trasversalec, gli a. formati dac cona eb hanno nomi particolari; così: 1 e 7, 4 e 6 sonoa. alterni esterni; 2 e 8, 3 e 5a. alterni interni; 1 e 5, 2 e 6, 4 e 8, 3 e 7a. corrispondenti; 1 e 6, 4 e 7a. coniugati esterni; 2 e 5, 3 e 8a. coniugati interni. Perché due rette siano parallele, occorre e basta che: o due a. alterni esterni (interni) siano uguali; o due a. corrispondenti siano uguali; o due a. coniugati esterni (interni) siano supplementari.

A. di due rette sghembe

Date due rette sghembe,r es, si definiscea. delle due rette sghembe l’a. formato dar e da una parallela as per un punto qualsiasi di r (o viceversa).

A. di unaretta r con un piano α

È l’a.ϕ formato dar con la suaproiezioneortogonaler′ suα (fig. A 14).

Angolo di due piani α e β

È l’a. formato dalle normali ai due piani condotte da uno stesso punto.

A. di due curve (in un loro punto d’incontro)

Sono gli a. formati dalle tangenti alle curve date nel punto dato.

A. delle figure geometriche

Si vedano le singole voci (cerchio,triangolo,poligono ecc.).

Angoli solidi

Passando dal piano allo spazio la nozione di a. si generalizza in quella dia. solido osterangolo, che comprende come casi particolari quelle dia.diedro e diangoloide.

Angolo diedro

Due semipianiα eβ uscenti da una medesima retta a (fig. A 15) dividono lo spazio in due regioni, ciascuna delle quali è un a. diedro. I due semipianiα,β si dicono lefacce, la retta a lospigolo o costola del diedro. Agli a. diedri si estendono nozioni e nomenclatura relative agli a. piani; si parla così di diedro convesso e concavo, di diedri opposti allo spigolo ecc. A misura dell’a. diedro si assume la misura dellasezionenormale del diedro stesso, cioè l’angoloϕ ottenuto sezionando il diedro con un qualunque piano (γ infig. A 15) normale allo spigolo.

Angoloide

Sia AB ... EF un poligono convesso di n lati e V un punto non appartenente al suo piano. Conducendo per V le semirette VA, VB, ..., VF, restano determinati n a. convessi, A^∧VB, B^∧VC, …, E^∧VF, F^∧VA e n diedri (convessi) aventi come spigoli le semirette in questione. La parte di spazio comune a questi n diedri si chiama angoloide (convesso); il punto V è il vertice, le semirette VA, ..., VF sono gli spigoli o costole, gli a. A^∧VB, …, F^∧VA le facce dell’angoloide. Infig. A 16 è rappresentato un angoloide a 6 facce. L’angoloide si può anche pensare formato da tutte le semirette che vanno da V ai punti del poligono (sia interni che del contorno). Un angoloide con tre facce si dice, in particolare,triedro.

Sterangolo

È l’a. solido nella sua accezione più generale: se O è un punto qualsiasi dello spazio (fig. A 17) S unasuperficie sferica di centro O e s una qualsiasi porzione di S, illuogo delle semirette uscenti da O e passanti per i singoli punti di s (contorno compreso) è uno sterangolo di vertice O. Il rapportoσ/r², tra l’area σ di s e ilquadrato del raggio r dellasfera non dipende da r: infatti ogni altra sfera di centro O è tagliata dallo sterangolo secondo una superficie s′, simile a s e tale che il rapportoσ′/r′² fra la superficieσ′ di s′ e il quadrato del raggio r′ della nuova sfera èancora uguale aσ/r². Tale rapporto può quindi essere assunto come misura dello sterangolo. Seσ=r², il precedente rapporto vale 1; lo sterangolo corrispondente, che prende il nome di steradiante, si assume come unità di misura degli sterangoli. Per es., a un ottante di sfera corrisponde un a. solido che misurato in steradianti valeπ/2.

Antropologia

Le misure di a. trovano larga applicazione in antropometria. Per es., alcune caratteristiche morfologiche del cranio si valutano mediante glia. craniometrici, come quello facciale (o di prognatismo), che permette di stabilire laforma delprofilo verticale sul piano mediano. Nonmeno importanti sono gli a. che si misurano sulla pelvi (quale l’a. d’inclinazione dello stretto superiore del bacino); quelli che si misurano sulle ossa lunghe degli arti, come gli a. ditorsione (dell’omero, del femore ecc.), che esprimono la posizione reciproca delle due estremità di tali ossa, ecc.

Fisica

In fisica si definiscono numerosi a. che caratterizzano fenomeni meccanici (per es. l’a. diattrito statico), elettrici (a. difase), ottici (a. diincidenza, dirifrazione, diriflessione, di Brewster ecc.). Di particolare rilievo nella fisica delleinterazioni deboli è l’a. di Cabibbo, costante universale che interviene nella descrizione di processi con cambiamento di stranezza.