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Graph Algorithms Part 1

Graph Algorithms Part 1

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グラフアルゴリズムその12017-11-07宮川 拓
 グラフアルゴリズムを勉強しよう 背景 機械学習の部分問題として出てきがち ex.物体検出, 形態素解析, ... 最短経路問題が多そう?概要2/57
参考文献 コルメン他『アルゴリズム・イントロダクション』第3版(2013, 近代科学社)3/57
アジェンダ グラフに関する用語と概念 グラフの探索 トポロジカルソート 単一始点最短経路問題(次回)4/57
グラフに関する用語と概念5/57
グラフの構成 グラフ:= 頂点 (vertex) と、頂点同士をつなぐ辺 (edge) 、からなるデータ構造6/57
グラフの構成 グラフG=(V, E) ただしV={v0, v1, ... v5},E={e0, e1, ... e5}v0 v1v2v5v3 v4e0e1e2e3e4e5e67/57
有向グラフと無向グラフ有向グラフ無向グラフ8/57
有向グラフと無向グラフ 無向グラフは有向グラフの特殊な場合とみなすこともできる つまり、(v0, v1)がG.Eの元であるとき、必ず(v1, v0)もG.Eの元であるような有向グラフ、と考えれば良い9/57
道 (path) 列‹v0, v1, ... vk›について、すべての(v[i], v[i+1])がG.Eの元であれば、頂点v0からvkへの道(path)と呼ぶ10/57
閉路 (cycle) 最初の要素と最後の要素が同じ頂点であるような道を閉路(cycle)と呼ぶ11/57
有向非循環グラフ (DAG) 閉路のない有向グラフを有向非循環グラフ (Directed Acyclic Graph)と呼ぶ 木はDAGの特殊な場合とみなせる ただひとつの頂点(根)から他のすべての頂点へ道がたどれること 根以外の頂点への根からの道はひとつだけであること12/57
プログラム上のグラフの表現 隣接リスト0 1253 40 → {2, 3}1 → {1}2 → {1, 3, 4}3 → {}4 → {2}5 → {}省メモリだけど転置グラフが作りづらい13/57
プログラム上のグラフの表現 隣接行列0 1253 40 0 1 1 0 00 1 0 0 0 00 1 0 1 1 00 0 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0メモリ食いだけど転置グラフが作りやすい14/57
グラフの探索15/57
グラフの探索 幅優先探索 コード 辺の重みがすべて等しいときの、最短経路問題の解法とかんがえられる 深さ優先探索 コード トポロジカルソートなどの解法の一部として使われる16/57
グラフの探索 幅優先探索a bcfd eQueue = ‹a›0 ∞∞∞ ∞∞17/57
グラフの探索 幅優先探索a bcfd eQueue = ‹c, d›0 ∞11 ∞∞18/57
グラフの探索 幅優先探索a bcfd eQueue = ‹d, b, e›0 211 2∞19/57
グラフの探索 幅優先探索a bcfd eQueue = ‹b, e›0 211 2∞20/57
グラフの探索 幅優先探索a bcfd eQueue = ‹e›0 211 2∞21/57
グラフの探索 幅優先探索a bcfd eQueue = ‹›0 211 2∞22/57
グラフの探索 深さ優先探索a bcfd eまずはaの探索を開始23/57
グラフの探索 深さ優先探索a bcfd eaが指している先であるcの探索を開始24/57
グラフの探索 深さ優先探索a bcfd ecが指している先であるbの探索を開始25/57
グラフの探索 深さ優先探索a bcfd ebが指している先(b自身)はすでに探索済みしたがってbは探索終了26/57
グラフの探索 深さ優先探索a bcfd e27/57
グラフの探索 深さ優先探索a bcfd e28/57
グラフの探索 深さ優先探索a bcfd e29/57
グラフの探索 深さ優先探索a bcfd e30/57
グラフの探索 深さ優先探索a bcfd ecが指している先に未探索の頂点はないしたがってcは探索終了31/57
グラフの探索 深さ優先探索a bcfd eaも探索終了32/57
グラフの探索 深さ優先探索a bcfd e多くの場合深さ優先探索では全頂点をなめるトポロジカルソート等での使いやすさのため33/57
グラフの探索 深さ優先探索a bcfd e34/57
トポロジカルソート35/57
トポロジカルソート トポロジカルソート: DAGの頂点を、前後関係を保って一列に並べること36/57
トポロジカルソート ある日の家事のDAGア サ リ の砂 抜 きア ン チ ョ ビす り つ ぶ すニ ン ニ クみ じ ん 切 りア ン チ ョ ビ とニ ン ニ ク を 炒 め る蓋 を し て蒸 す白 身 魚 と ア サ リ とト マ ト を 投 入ア ン チ ョ ビつ ま み 食 い洗 濯 物取 り 入 れ るア イ ロ ン掛 け る37/57
トポロジカルソートア サ リ の 砂 抜 きア ン チ ョ ビ す り つ ぶ すニ ン ニ ク み じ ん 切 りア ン チ ョ ビ と ニ ン ニ ク を 炒 め るア ン チ ョ ビ つ ま み 食 い洗 濯 物 を 取 り 入 れ る白 身 魚 と ア サ リ と ト マ ト を 投 入蓋 を し て 蒸 すア イ ロ ン 掛 け る 手順の例38/57
トポロジカルソート アルゴリズム 全頂点を深さ優先探索する 探索が終わった頂点から順番に、結果列の先頭に追加する コード39/57
トポロジカルソートア サ リ の砂 抜 きア ン チ ョ ビす り つ ぶ すニ ン ニ クみ じ ん 切 りア ン チ ョ ビ とニ ン ニ ク を 炒 め る蓋 を し て蒸 す白 身 魚 と ア サ リ とト マ ト を 投 入ア ン チ ョ ビつ ま み 食 い洗 濯 物取 り 入 れ るア イ ロ ン掛 け る結 果 : ∅40/57
トポロジカルソートア サ リ の砂 抜 きア ン チ ョ ビす り つ ぶ すニ ン ニ クみ じ ん 切 りア ン チ ョ ビ とニ ン ニ ク を 炒 め る蓋 を し て蒸 す白 身 魚 と ア サ リ とト マ ト を 投 入ア ン チ ョ ビつ ま み 食 い洗 濯 物取 り 入 れ るア イ ロ ン掛 け る結 果 : ∅41/57
トポロジカルソートア サ リ の砂 抜 きア ン チ ョ ビす り つ ぶ すニ ン ニ クみ じ ん 切 りア ン チ ョ ビ とニ ン ニ ク を 炒 め る蓋 を し て蒸 す白 身 魚 と ア サ リ とト マ ト を 投 入ア ン チ ョ ビつ ま み 食 い洗 濯 物取 り 入 れ るア イ ロ ン掛 け る結 果 : ∅42/57
トポロジカルソートア サ リ の砂 抜 きア ン チ ョ ビす り つ ぶ すニ ン ニ クみ じ ん 切 りア ン チ ョ ビ とニ ン ニ ク を 炒 め る蓋 を し て蒸 す白 身 魚 と ア サ リ とト マ ト を 投 入ア ン チ ョ ビつ ま み 食 い洗 濯 物取 り 入 れ るア イ ロ ン掛 け る結 果 : 蓋 を し て 蒸 す43/57
トポロジカルソートア サ リ の砂 抜 きア ン チ ョ ビす り つ ぶ すニ ン ニ クみ じ ん 切 りア ン チ ョ ビ とニ ン ニ ク を 炒 め る蓋 を し て蒸 す白 身 魚 と ア サ リ とト マ ト を 投 入ア ン チ ョ ビつ ま み 食 い洗 濯 物取 り 入 れ るア イ ロ ン掛 け る結 果 : 白 身 魚 と ア サ リ と ト マ ト を 投 入 → 蓋 を し て 蒸 す44/57
トポロジカルソートア サ リ の砂 抜 きア ン チ ョ ビす り つ ぶ すニ ン ニ クみ じ ん 切 りア ン チ ョ ビ とニ ン ニ ク を 炒 め る蓋 を し て蒸 す白 身 魚 と ア サ リ とト マ ト を 投 入ア ン チ ョ ビつ ま み 食 い洗 濯 物取 り 入 れ るア イ ロ ン掛 け る結 果 : 白 身 魚 と ア サ リ と ト マ ト を 投 入 → 蓋 を し て 蒸 す45/57
トポロジカルソートア サ リ の砂 抜 きア ン チ ョ ビす り つ ぶ すニ ン ニ クみ じ ん 切 りア ン チ ョ ビ とニ ン ニ ク を 炒 め る蓋 を し て蒸 す白 身 魚 と ア サ リ とト マ ト を 投 入ア ン チ ョ ビつ ま み 食 い洗 濯 物取 り 入 れ るア イ ロ ン掛 け る結 果 : ア ン チ ョ ビ つ ま み 食 い → 白 身 魚 と ア サ リ と ト マ ト を 投 入 → 蓋 を し て 蒸 す46/57
トポロジカルソートア サ リ の砂 抜 きア ン チ ョ ビす り つ ぶ すニ ン ニ クみ じ ん 切 りア ン チ ョ ビ とニ ン ニ ク を 炒 め る蓋 を し て蒸 す白 身 魚 と ア サ リ とト マ ト を 投 入ア ン チ ョ ビつ ま み 食 い洗 濯 物取 り 入 れ るア イ ロ ン掛 け る結 果 : ア ン チ ョ ビ と ニ ン ニ ク を 炒 め る → ア ン チ ョ ビ つ ま み 食 い→ 白 身 魚 と ア サ リ と ト マ ト を 投 入 → 蓋 を し て 蒸 す47/57
トポロジカルソートア サ リ の砂 抜 きア ン チ ョ ビす り つ ぶ すニ ン ニ クみ じ ん 切 りア ン チ ョ ビ とニ ン ニ ク を 炒 め る蓋 を し て蒸 す白 身 魚 と ア サ リ とト マ ト を 投 入ア ン チ ョ ビつ ま み 食 い洗 濯 物取 り 入 れ るア イ ロ ン掛 け る結 果 : ア ン チ ョ ビ と ニ ン ニ ク を 炒 め る → ア ン チ ョ ビ つ ま み 食 い→ 白 身 魚 と ア サ リ と ト マ ト を 投 入 → 蓋 を し て 蒸 す48/57
トポロジカルソートア サ リ の砂 抜 きア ン チ ョ ビす り つ ぶ すニ ン ニ クみ じ ん 切 りア ン チ ョ ビ とニ ン ニ ク を 炒 め る蓋 を し て蒸 す白 身 魚 と ア サ リ とト マ ト を 投 入ア ン チ ョ ビつ ま み 食 い洗 濯 物取 り 入 れ るア イ ロ ン掛 け る結 果 : ア ン チ ョ ビ と ニ ン ニ ク を 炒 め る → ア ン チ ョ ビ つ ま み 食 い→ 白 身 魚 と ア サ リ と ト マ ト を 投 入 → 蓋 を し て 蒸 す49/57
トポロジカルソートア サ リ の砂 抜 きア ン チ ョ ビす り つ ぶ すニ ン ニ クみ じ ん 切 りア ン チ ョ ビ とニ ン ニ ク を 炒 め る蓋 を し て蒸 す白 身 魚 と ア サ リ とト マ ト を 投 入ア ン チ ョ ビつ ま み 食 い洗 濯 物取 り 入 れ るア イ ロ ン掛 け る結 果 : ア イ ロ ン 掛 け る → ア ン チ ョ ビ と ニ ン ニ ク を 炒 め る→ ア ン チ ョ ビ つ ま み 食 い → 白 身 魚 と ア サ リ と ト マ ト を 投 入 → 蓋 を し て 蒸 す50/57
トポロジカルソートア サ リ の砂 抜 きア ン チ ョ ビす り つ ぶ すニ ン ニ クみ じ ん 切 りア ン チ ョ ビ とニ ン ニ ク を 炒 め る蓋 を し て蒸 す白 身 魚 と ア サ リ とト マ ト を 投 入ア ン チ ョ ビつ ま み 食 い洗 濯 物取 り 入 れ るア イ ロ ン掛 け る結 果 : 洗 濯 物 取 り 入 れ る → ア イ ロ ン 掛 け る → ア ン チ ョ ビ と ニ ン ニ ク を 炒 め る→ ア ン チ ョ ビ つ ま み 食 い → 白 身 魚 と ア サ リ と ト マ ト を 投 入 → 蓋 を し て 蒸 す51/57
トポロジカルソートア サ リ の砂 抜 きア ン チ ョ ビす り つ ぶ すニ ン ニ クみ じ ん 切 りア ン チ ョ ビ とニ ン ニ ク を 炒 め る蓋 を し て蒸 す白 身 魚 と ア サ リ とト マ ト を 投 入ア ン チ ョ ビつ ま み 食 い洗 濯 物取 り 入 れ るア イ ロ ン掛 け る結 果 : 洗 濯 物 取 り 入 れ る → ア イ ロ ン 掛 け る → ア ン チ ョ ビ と ニ ン ニ ク を 炒 め る→ ア ン チ ョ ビ つ ま み 食 い → 白 身 魚 と ア サ リ と ト マ ト を 投 入 → 蓋 を し て 蒸 す52/57
トポロジカルソートア サ リ の砂 抜 きア ン チ ョ ビす り つ ぶ すニ ン ニ クみ じ ん 切 りア ン チ ョ ビ とニ ン ニ ク を 炒 め る蓋 を し て蒸 す白 身 魚 と ア サ リ とト マ ト を 投 入ア ン チ ョ ビつ ま み 食 い洗 濯 物取 り 入 れ るア イ ロ ン掛 け る結 果 : ア サ リ の 砂 抜 き → 洗 濯 物 取 り 入 れ る → ア イ ロ ン 掛 け る→ ア ン チ ョ ビ と ニ ン ニ ク を 炒 め る → ア ン チ ョ ビ つ ま み 食 い→ 白 身 魚 と ア サ リ と ト マ ト を 投 入 → 蓋 を し て 蒸 す53/57
トポロジカルソートア サ リ の砂 抜 きア ン チ ョ ビす り つ ぶ すニ ン ニ クみ じ ん 切 りア ン チ ョ ビ とニ ン ニ ク を 炒 め る蓋 を し て蒸 す白 身 魚 と ア サ リ とト マ ト を 投 入ア ン チ ョ ビつ ま み 食 い洗 濯 物取 り 入 れ るア イ ロ ン掛 け る結 果 : ア サ リ の 砂 抜 き → 洗 濯 物 取 り 入 れ る → ア イ ロ ン 掛 け る→ ア ン チ ョ ビ と ニ ン ニ ク を 炒 め る → ア ン チ ョ ビ つ ま み 食 い→ 白 身 魚 と ア サ リ と ト マ ト を 投 入 → 蓋 を し て 蒸 す54/57
トポロジカルソートア サ リ の砂 抜 きア ン チ ョ ビす り つ ぶ すニ ン ニ クみ じ ん 切 りア ン チ ョ ビ とニ ン ニ ク を 炒 め る蓋 を し て蒸 す白 身 魚 と ア サ リ とト マ ト を 投 入ア ン チ ョ ビつ ま み 食 い洗 濯 物取 り 入 れ るア イ ロ ン掛 け る結 果 : ア ン チ ョ ビ す り つ ぶ す → ア サ リ の 砂 抜 き → 洗 濯 物 取 り 入 れ る→ ア イ ロ ン 掛 け る → ア ン チ ョ ビ と ニ ン ニ ク を 炒 め る → ア ン チ ョ ビ つ ま み 食 い→ 白 身 魚 と ア サ リ と ト マ ト を 投 入 → 蓋 を し て 蒸 す55/57
トポロジカルソートア サ リ の砂 抜 きア ン チ ョ ビす り つ ぶ すニ ン ニ クみ じ ん 切 りア ン チ ョ ビ とニ ン ニ ク を 炒 め る蓋 を し て蒸 す白 身 魚 と ア サ リ とト マ ト を 投 入ア ン チ ョ ビつ ま み 食 い洗 濯 物取 り 入 れ るア イ ロ ン掛 け る結 果 : ア ン チ ョ ビ す り つ ぶ す → ア サ リ の 砂 抜 き → 洗 濯 物 取 り 入 れ る→ ア イ ロ ン 掛 け る → ア ン チ ョ ビ と ニ ン ニ ク を 炒 め る → ア ン チ ョ ビ つ ま み 食 い→ 白 身 魚 と ア サ リ と ト マ ト を 投 入 → 蓋 を し て 蒸 す56/57
トポロジカルソートア サ リ の砂 抜 きア ン チ ョ ビす り つ ぶ すニ ン ニ クみ じ ん 切 りア ン チ ョ ビ とニ ン ニ ク を 炒 め る蓋 を し て蒸 す白 身 魚 と ア サ リ とト マ ト を 投 入ア ン チ ョ ビつ ま み 食 い洗 濯 物取 り 入 れ るア イ ロ ン掛 け る結 果 : ニ ン ニ ク み じ ん 切 り → ア ン チ ョ ビ す り つ ぶ す → ア サ リ の 砂 抜 き→ 洗 濯 物 取 り 入 れ る → ア イ ロ ン 掛 け る → ア ン チ ョ ビ と ニ ン ニ ク を 炒 め る→ ア ン チ ョ ビ つ ま み 食 い → 白 身 魚 と ア サ リ と ト マ ト を 投 入 → 蓋 を し て 蒸 す57/57

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    グラフの探索 幅優先探索a bcfdeQueue = ‹a›0 ∞∞∞ ∞∞17/57
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    グラフの探索 幅優先探索a bcfdeQueue = ‹e›0 211 2∞21/57
  • 22.
    グラフの探索 幅優先探索a bcfdeQueue = ‹›0 211 2∞22/57
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    トポロジカルソートア サ リの砂 抜 きア ン チ ョ ビす り つ ぶ すニ ン ニ クみ じ ん 切 りア ン チ ョ ビ とニ ン ニ ク を 炒 め る蓋 を し て蒸 す白 身 魚 と ア サ リ とト マ ト を 投 入ア ン チ ョ ビつ ま み 食 い洗 濯 物取 り 入 れ るア イ ロ ン掛 け る結 果 : 白 身 魚 と ア サ リ と ト マ ト を 投 入 → 蓋 を し て 蒸 す45/57
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