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简谐运动

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同一简谐运动勒垃实空间帮相空间力学个弗同表现

简谐运动（英语：Simple Harmonic Motion），也叫简谐振动、谐振，是顶基本顶简单个一种机械振动。当某物体进行简谐运动时，物体所受个力搭位移成正比，并且力总是指向平衡位置。具体来讲，就是物事会得循环往复个运动。假使讲用F{\displaystyle F}表示物体受到个回復力，用x{\displaystyle x}表示物体对平衡位置个位移，根据胡克定律，F{\displaystyle F}帮x{\displaystyle x}成正比，箇末好写成下头箇隻公式：

F=−kx{\displaystyle F=-kx}[1]

里向，k{\displaystyle k}是回復力帮位移成正比个比例系数，一般性是弹簧个刚度；负号表明回復力个方向永远帮物体位移个方向相反。假使讲呒没摩擦力，箇末伊就好永远箇能循环往复个动，表明伊机械能守恒。[2]

动力学方程

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一维个简谐振动

对一维个简谐振动来讲，伊个动力学方程是二阶微分方程，从牛顿第二定律好推导出

F=ma=md2xdt2=mx¨{\displaystyle F=ma=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=m{\ddot {x}}}

又因为胡克定律，回復力好写成F=−kx{\displaystyle F=-kx}

故咾拿後头隻式子厾进去，有得x¨+kmx=0{\displaystyle {\ddot {x}}+{\frac {k}{m}}x=0}

位移搭辰光个函数图像，是条正弦或余弦曲线

拿方程解出来，有得下头箇隻有正弦函数个结果：

x(t)=c1cos⁡(ωt)+c2sin⁡(ωt)=Acos⁡(ωt−φ){\displaystyle x(t)=c_{1}\cos \left(\omega t\right)+c_{2}\sin \left(\omega t\right)=A\cos \left(\omega t-\varphi \right)}，箇当中
ω=km,{\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}},}
A=c12+c22,{\displaystyle A={\sqrt {{c_{1}}^{2}+{c_{2}}^{2}}},}
tan⁡φ=(c2c1),{\displaystyle \tan \varphi =\left({\frac {c_{2}}{c_{1}}}\right),}，c1{\displaystyle c_{1}}，c2{\displaystyle c_{2}}是初始条件决定个常数。拿平衡位置当原点么，每一项侪有伊自家个物理意义：A{\displaystyle A}是振幅，ω=2πf{\displaystyle \omega =2\pi f}是角频率，箇末速度加速度好算出来分别是
v(t)=dxdt=−Aωsin⁡(ωt−φ){\displaystyle v(t)={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=-A\omega \sin(\omega t-\varphi )}
vmax=ωA{\displaystyle v_{max}=\omega A}（勒垃平衡位置）
a(t)=d2xdt2=−Aω2cos⁡(ωt−φ){\displaystyle a(t)={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-A\omega ^{2}\cos(\omega t-\varphi )}
amax=ω2A{\displaystyle a_{max}=\omega ^{2}A}（勒垃位移顶大个地方）

加速度也好用位移写出来，是下头箇隻式子：

a(x)=−ω2x{\displaystyle a(x)=-\omega ^{2}x\!}。

因为ω=2πf{\displaystyle \omega =2\pi f}，

f=12πkm{\displaystyle f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}}，

又因为周期T=1f{\displaystyle T={\frac {1}{f}}}，故咾：T=2πmk{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}}，说明简谐振动有等时性，也就是做简谐振动个质点，伊个运动周期跟振幅、相位弗搭界。[1]:163

能量分析

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拿k/m{\displaystyle k/m}厾到ω2{\displaystyle \omega _{2}}里向，箇末整隻系统勒垃任何时间点t{\displaystyle t}个动能K{\displaystyle K}侪好写成功[3]：

K(t)=12mv2(t){\displaystyle K(t)={\tfrac {1}{2}}mv^{2}(t)}（动能个定义）；

拿速度方程厾进去，好化简出

K(t)=12mω2A2sin2⁡(ωt+φ)=12kA2sin2⁡(ωt+φ){\displaystyle K(t)={\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}A^{2}\sin ^{2}(\omega t+\varphi )={\tfrac {1}{2}}kA^{2}\sin ^{2}(\omega t+\varphi )}。

同时，勒垃整隻系统勒垃任何时间点t{\displaystyle t}个势能U{\displaystyle U}好写成：

U(t)=12kx2(t){\displaystyle U(t)={\tfrac {1}{2}}kx^{2}(t)}（弹弓系统势能个定义）；

拿位移方程厾进去，好化简出

U(t)=12kA2cos2⁡(ωt+φ){\displaystyle U(t)={\tfrac {1}{2}}kA^{2}\cos ^{2}(\omega t+\varphi )}。

假使讲呒没能量流失，箇末整隻系统勒垃任何时间点t{\displaystyle t}个机械能（动能同位能个总和）E{\displaystyle E}是：

E=K+U{\displaystyle E=K+U}（机械能个定义）=12kA2sin2⁡(ωt+φ)+12kA2cos2⁡(ωt+φ){\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}kA^{2}\sin ^{2}(\omega t+\varphi )+{\tfrac {1}{2}}kA^{2}\cos ^{2}(\omega t+\varphi )}。

因为无论θ{\displaystyle \theta }是几何，sin2⁡θ+cos2⁡θ=1{\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1}永远成立，故咾机械能只同振幅、刚度有关系，关系好写成：

E=12kA2{\displaystyle E={\tfrac {1}{2}}kA^{2}}。

简谐运动个叠加

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同一直线丄个叠加

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5隻方向相同个简谐振动勒垃同一直线丄叠加形成近似锯齿波

对同一直线丄个简谐振动来讲，伊个叠加是邪气便当个，好写成下头个形式：

x=x1+x2=A1cos⁡(ω1t+ϕ1)+A2cos⁡(ω2t+ϕ2)=Acos⁡(ω1+ω22t+ϕ1+ϕ22+ψ){\displaystyle x=x_{1}+x_{2}=A_{1}\cos(\omega _{1}t+\phi _{1})+A_{2}\cos(\omega _{2}t+\phi _{2})=A\cos \left({\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}t+{\frac {\phi _{1}+\phi _{2}}{2}}+\psi \right)}

箇当中，振幅A{\displaystyle A}是：A=A12+A12+2A1A2cos⁡[(ω1−ω2)t+ϕ1−ϕ2]{\displaystyle A={\sqrt {A_{1}^{2}+A_{1}^{2}+2A_{1}A_{2}\cos \left[(\omega _{1}-\omega _{2})t+\phi _{1}-\phi _{2}\right]}}}，相位角ψ{\displaystyle \psi }有得：tan⁡ψ=A1−A2A1+A2tan⁡(ω1−ω22t+ϕ1−ϕ22){\displaystyle \tan \psi ={\frac {A_{1}-A_{2}}{A_{1}+A_{2}}}\tan \left({\frac {\omega _{1}-\omega _{2}}{2}}t+{\frac {\phi _{1}-\phi _{2}}{2}}\right)}[4]

假使讲是几隻频率一式一样个简谐振动叠加个说话，ω1 =ω2，故咾好简化成下头个式子：

x=Acos⁡(ωt+α){\displaystyle x=A\cos \left(\omega t+\alpha \right)}
A=A12+A12+2A1A2cos⁡(ϕ1−ϕ2){\displaystyle A={\sqrt {A_{1}^{2}+A_{1}^{2}+2A_{1}A_{2}\cos(\phi _{1}-\phi _{2})}}}
ψ=tan−1⁡(A1sin⁡ϕ1+A2sin⁡ϕ2A1cos⁡ϕ1+A2cos⁡ϕ2){\displaystyle \psi =\tan ^{-1}\left({\frac {A_{1}\sin \phi _{1}+A_{2}\sin \phi _{2}}{A_{1}\cos \phi _{1}+A_{2}\cos \phi _{2}}}\right)}

垂直方向个叠加

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两隻简谐振动垂直方向叠加形成个李萨如图形
主文章：李萨如图形

箇末两隻简谐振动个位移方程式好分别写成下头箇样子：

x=A1cos⁡(ω1t+ϕ1){\displaystyle x=A_{1}\cos(\omega _{1}t+\phi _{1})}
y=A2cos⁡(ω2t+ϕ2){\displaystyle y=A_{2}\cos(\omega _{2}t+\phi _{2})}

箇能会得出现图里向个李萨如图形。

实用例子

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弹簧

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拿质量是M{\displaystyle M}个物事挂勒刚度k个弹簧个一端，再移动物事，箇末会得进行简谐运动，方程是：

ω=2πf=kM.{\displaystyle \omega =2\pi f={\sqrt {\frac {k}{M}}}.\,}

伊个周期是：

T=1f=2πMk{\displaystyle T={\frac {1}{f}}=2\pi {\sqrt {\frac {M}{k}}}}。

总能量是常数，好通过方程E=kA22{\displaystyle E={\frac {kA^{2}}{2}}}算出来。

匀速圆周运动

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匀速圆周运动个一维投影是简谐振动。假使讲物事用ω{\displaystyle \omega }个角速率沿咾半徑是R{\displaystyle R}个圆动，箇末伊勒垃x軸、y軸或任意一條直徑丄个投影侪是简谐振动，振幅是R{\displaystyle R}，角速率ω{\displaystyle \omega }。

单摆

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单摆

勒垃偏角弗太大个情况（一般性認為小於5°）下头，单摆个运动好近似看成是简谐运动。假使讲单摆长ℓ{\displaystyle \ell }，重力加速度是g{\displaystyle g}，箇末周期是：

T=2πℓg{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}}

迭隻公式只有勒垃偏角咾小个辰光纔好用，因为角加速度个表达式是帮位置个正弦成正比而弗是位置：

ℓmgsin⁡(θ)=Iα{\displaystyle \ell mg\sin(\theta )=I\alpha }

箇当中I是转动惯量，有I=mℓ2{\displaystyle I=m\ell ^{2}}。当θ{\displaystyle \theta }邪气小个辰光，sin⁡(θ)≈θ{\displaystyle \sin(\theta )\approx \theta }，故咾好简化成後头隻式子：

ℓmgθ=Iα{\displaystyle \ell mg\theta =I\alpha }

故咾角加速度与θ{\displaystyle \theta }成正比，满足简谐运动个定义。单摆个回復力是摆球个重力沿咾运动方向个分力。[1]:165

参考

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  1. ↑1.01.11.2（简体中文）赵志敏（2011年10月）．高中教程。基础篇．复旦大学出版社． 
  2. ↑Galeriu, C., Edwards, S., & Esper, G. (2014). An Arduino investigation of simple harmonic motion.The Physics Teacher, 52(3), 157-159.
  3. ↑Energy in Simple Harmonic Motion.
  4. ↑Taylor, John R.（2005）．Classical Mechanics．University Science Books．ISBN 1-891389-22-X． 

外部链接

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取自“https://wuu.wikipedia.org/w/index.php?title=简谐运动&oldid=366766”
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