 | Bài viết nàycần thêmchú thích nguồn gốc đểkiểm chứng thông tin. Mời bạn giúphoàn thiện bài viết này bằng cách bổ sung chú thích tớicác nguồn đáng tin cậy. Các nội dung không có nguồn có thể bị nghi ngờ và xóa bỏ. (Tìm hiểu cách thức và thời điểm xóa thông báo này) |
Tập hợp đếm được (hay tập hợp có lực lượng đếm được) trongtoán học đượcđịnh nghĩa làtập hợp có thể thiết lập mộtđơn ánh vàotập hợp số tự nhiên. Điều này nghĩa là tập hợp này có cùnglực lượng với mộttập con nào đó của tập các sốtự nhiên.
Các tập hợp không phải là tập đếm được được gọi làtập hợp không đếm được.
Khái niệm này được nhà toán họcGeorg Cantor đưa ra.
Một số tác giả thu hẹp định nghĩa tập đếm được là các tập mà tồn tạisong ánh từ chúng tới tập hợp các số tự nhiên (tức là có cùng lực lượng với lực lượng của các số tự nhiên). Định nghĩa hẹp này loại bỏ những tập có số lượnghữu hạn các phần tử khỏi khái niệm đếm được.
Theo định nghĩa rộng, các tập hữu hạn như
là các tập đếm được. Các tập vô hạn như tập các số tự nhiên, tập các sốhữu tỷ, tập tất cả các tập con hữu hạn của tập các số tự nhiên,... đều là các tập đếm được.
Những tập như tậpsố thực, tập tất cả các tập con của tập các số tự nhiên (tứctập lũy thừa của tập các số tự nhiên),... không phải là các tập đếm được.
Theo định nghĩa rộng, tập hợp đếm được có thể làvô hạn hoặchữu hạn. Tất cả mọi tập đếm được và có vô hạn phần tử đều có cùng lực lượng với tập các số tự nhiên; còn các tập đếm được hữu hạn đều có lực lượng là một số tự nhiên nào đó (bao gồm số 0).
Mọi tập con của tập đếm được là đếm được. Mọi tập con vô hạn của tập đếm được vô hạn cũng là tập đếm được vô hạn (và do đó có cùng lực lượng với tập mẹ).Tích Descartes của hữu hạn các tập đếm được là một tập đếm được.
.svg)
Tập hợp số tự nhiên và các tập con của nó đếm được, vì tập hợp này tương đương với chính nó (xét dãy logic: đồng nhất ánh - song ánh - đơn ánh - đếm được).
Tập hợpsố nguyên đếm được.
Xét ánh xạ sau:
f là song ánh. Điều đó chứng tỏZ vàN có cùng lực lượng.
Tập hợpsố hữu tỉ đếm được.
Thật vậy, mỗi số hữu tỉ có thể biểu diễn duy nhất bởim⁄n là phân số tối giản, vớim là số nguyên vàn là số nguyên dương. Xét ánh xạ từ tập hợpQ (tập các số hữu tỉ) lên tích DescartesZ ×Z\{0}:
ánh xạ này là đơn ánh, điều đó chứng tỏQ là tập hợp con của tậpZ ×Z\{0}, và do đó có lực lượng đếm được.
Tập hợpsố thựckhông đếm được.
Trước hết, ta chứng minh bổ đề sau:
ChoA là tập hợp các số thực trong khoảng (0,1); ta chứng minh tập hợpA không đếm được.
Chứng minh phản chứng. Giả sửA đếm được, khi đó tồn tại song ánh:f:A →N.
Xét số thựcr thuộcA.
Ký hiệuri là chữ số thứ i của r sau dấu phẩy (trong hệ thập phân). Như vậyr = 0,r1,r2,r3...,ri....
Ta xây dựngr bằng cách đưa ra quy tắc tính từng chữ số trong biểu diễn thập phân củar:
Dor thuộcA, nên tồn tạin thuộcN sao cho:f(r) =n.
Theo quy tắc trên thì:rn = 9 -rn, suy ra 2rn = 9 (vô lý vì 9 là số lẻ).
Vậy điều giả sử là sai, suy ra tậpA không đếm được. Bổ đề chứng minh xong.
Mặt khác, tậpA là tập con củaR (tập số thực), suy raR là tập không đếm được.
Tập hợpsố phức không đếm được.
DoR là tập con của tậpC (tập số phức),R không đếm được, suy raC không đếm được.
Tập các số thực thuộc các khoảng, đoạn, và nửa khoảng ((a,b), [a,b], [a,b), (a,b], [a,+), (a,+), (-,a), (-,a] )vớia <b là số thực, là tập không đếm được (xem chứng minh ở phần tập hợp số thực).
làsố thứ tự nhỏ nhất có lực lượng đếm được. Tiếp sau nó là Lực lượng của chúng đều bằng.
Số thứ tự không đếm được đầu tiên được ký hiệu là. Tiếp sau nó là Lực lượng của chúng đều bằng, lực lượng không đếm được nhỏ nhất.
| Tiên đề |  .svg)   | |
|---|---|---|
| Phép toán | ||
| ||
| Các dạng tập hợp | ||
| Lý thuyết | ||
| ||
| Nhà lý thuyết tập hợp | ||
