Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Bước tới nội dung
WikipediaBách khoa toàn thư mở
Tìm kiếm

Số phức

Đây là một bài viết cơ bản. Nhấn vào đây để biết thêm thông tin.
Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Biểu diễn số phức trênmặt phẳng phức, với Re (viết tắt cho Real, nghĩa là thực) là trục thực, Im (viết tắt cho Imaginary, nghĩa là ảo) là trục ảo.
Giải tích toán học →Giải tích phức
Giải tích phức
Số phức
Hàm số phức
Lý thuyết cơ bản
Nhân vật

Số phức làsố có thể viết dưới dạnga+bı{\displaystyle a+b\imath }, trong đóa vàb là cácsố thực,ı{\displaystyle \imath } làđơn vị ảo, vớiı2=−1{\displaystyle \imath ^{2}=-1} hayı=−1{\displaystyle \imath ={\sqrt {-1}}}.[1] Trong biểu thức này, sốa gọi là phần thực,b gọi là phần ảo của số phức. Số phức có thể được biểu diễn trênmặt phẳng phức vớitrục hoành là trục số thực vàtrục tung là trục số ảo, do đó một số phứca+bı{\displaystyle a+b\imath } được xác định bằng một điểm có tọa độ(a,b). Một số phức nếu có phần thực bằng không thì gọi là số thuần ảo (số ảo), nếu có phần ảo bằng không thì trở thành số thực R. Việc mở rộng trường số phức để giải nhữngbài toán mà không thể giải trong trường số thực.

Số phức được sử dụng trong nhiều lĩnh vựckhoa học, nhưkhoa học kỹ thuật,điện từ học,cơ học lượng tử,toán học ứng dụng chẳng hạn như tronglý thuyết hỗn loạn. Nhà toán học người ÝGerolamo Cardano là người đầu tiên đưa ra số phức. Ông sử dụng số phức để giải cácphương trình bậc ba trongthế kỉ 16.[2]

Lịch sử

[sửa |sửa mã nguồn]

Nhà toán họcngười ÝR. Bombelli (1526-1573) đã đưa định nghĩa đầu tiên về số phức, lúc đó được gọi là số "không thể có" hoặc "số ảo" trong công trìnhĐại số (Bologne,1572) công bố ít lâu trước khi ông mất. Ông đã định nghĩa các số đó (số phức) khi nghiên cứu cácphương trình bậc ba và đã đưa racăn bậc hai của−1{\displaystyle -1}.

Nhà toán họcngười PhápD’Alembert vào năm1746 đã xác định được dạng tổng quát "a+bı{\displaystyle a+b\imath }" của chúng, đồng thời chấp nhận nguyên lý tồn tại n nghiệm của mộtphương trình bậc n. Nhà toán họcThụy SĩL. Euler (1707-1783) đã đưa raký hiệu "ı{\displaystyle \imath }" để chỉ căn bậc hai của−1{\displaystyle -1}, năm1801Gauss đã dùng lại ký hiệu này.

Tổng quan

[sửa |sửa mã nguồn]

Số phức cho phép giải mộtphương trình nhất định mà không giải được trong trườngsố thực. Ví dụ, phương trình

(x+1)2=−9{\displaystyle \left(x+1\right)^{2}=-9\,}

không có nghiệm thực, vìbình phương của một số thực không thể âm. Các số phức cho phépgiải phương trình này. Ý tưởng là mở rộng trường số thực sangđơn vị ảoı{\displaystyle \imath } vớiı2=−1{\displaystyle \imath ^{2}=-1}, vì vậy phương trình trên được giải. Trong trường hợp này các nghiệm là−1 + 3i và−1 − 3i, có thể kiểm tra lại nghiệm khi thế vào phương trình và vớiı2=−1{\displaystyle \imath ^{2}=-1}:

[(−1+3i)+1]2=(3i)2=(32)(i2)=9⋅(−1)=−9{\displaystyle {\big [}\left(-1+3i\right)+1{\big ]}^{2}=\left(3i\right)^{2}=\left(3^{2}\right)\left(i^{2}\right)=9\cdot \left(-1\right)=-9}
[(−1−3i)+1]2=(−3i)2=(−3)2(i2)=9⋅(−1)=−9{\displaystyle {\big [}\left(-1-3i\right)+1{\big ]}^{2}=\left(-3i\right)^{2}=\left(-3\right)^{2}\left(i^{2}\right)=9\cdot (-1)=-9}

Thực tế không chỉ cácphương trình bậc hai mà tất cả cácphương trình đại số có hệ số thực hoặc số ảo với một biến số có thể giải bằng số phức.

Định nghĩa

[sửa |sửa mã nguồn]

Số phức được biểu diễn dưới dạnga+bı{\displaystyle a+b\imath }, vớia vàb là cácsố thực vài{\displaystyle i} làđơn vị ảo, thỏa mãn điều kiệnı2=−1{\displaystyle \imath ^{2}=-1}. Ví dụ−3,5+2ı{\displaystyle -3,5+2\imath } là một số phức.

Số thựca được gọi làphần thực củaa+bı{\displaystyle a+b\imath }; số thựcb được gọi làphần ảo củaa+bı{\displaystyle a+b\imath }. Theo đó, phần ảo không có chứa đơn vị ảo: do đób, không phảibi, là phần ảo.[3][4] Phần thực của số phứcz được ký hiệu làRe(z) hayℜ(z); phần ảo của phứcz được ký hiệu làIm(z) hayℑ(z). Ví dụ:

Re⁡(−3.5+2i)=−3.5Im⁡(−3.5+2i)=2{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Re} \left(-3.5+2i\right)&=-3.5\\\operatorname {Im} (-3.5+2i)&=2\end{aligned}}}

Do đó, nếu xét theo phần thực và phần ảo, một số phứcz sẽ được viết làRe⁡(z)+Im⁡(z)⋅i{\displaystyle \operatorname {Re} (z)+\operatorname {Im} (z)\cdot i}. Biểu thức này đôi khi được gọi là dạng Cartesi củaz.

Một số thựca có thể được biểu diễn ở dạng phức làa+0ı{\displaystyle a+0\imath } với phần ảo là 0. Số thuần ảobı{\displaystyle b\imath } là một số phức được viết là0+bı{\displaystyle 0+b\imath } với phần thực bằng 0. Ngoài ra, khi phần ảo âm, nó được viết làa−bı{\displaystyle a-b\imath } vớib>0{\displaystyle b>0} thay vìa+(−b)ı{\displaystyle a+(-b)\imath }, ví dụ3−4ı{\displaystyle 3-4\imath } thay vì3+(−4)ı{\displaystyle 3+(-4)\imath }.

Tập hợp tất cả các số phức hay trường số phức được ký hiệu làℂ,C{\displaystyle \mathbf {C} } hayC{\displaystyle \mathbb {C} }. Có nhiều phương pháp xây dựng trường số phức một cách chặt chẽ bằngphương pháp tiên đề.

GọiR{\displaystyle \mathbb {R} } là trường số thực. Ký hiệuC{\displaystyle \mathbb {C} } là tập hợp các cặp (a,b) vớia,b∈R{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }.

TrongC{\displaystyle \mathbb {C} }, định nghĩa haiphép cộng vàphép nhân như sau:

(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d){\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)}
(a,b)∗(c,d)=(ac−bd,ad+bc){\displaystyle (a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc)}

thìC{\displaystyle \mathbb {C} } là mộttrường (xemcấu trúc đại số).

Ta có thể lập mộtđơn ánh từ tập số thựcR{\displaystyle \mathbb {R} } vàoC{\displaystyle \mathbb {C} } bằng cách cho mỗi số thực a ứng với cặp(a,0)∈C{\displaystyle (a,0)\in \mathbb {C} }. Khi đó0→(0,0),1→(1,0),−1→(−1,0){\displaystyle 0\to (0,0),1\to (1,0),-1\to (-1,0)}... Nhờphép nhúng, tađồng nhất tập các số thựcR{\displaystyle \mathbb {R} } với tập con các số phức dạng(a,0){\displaystyle (a,0)}, khi đó tập các số thựcR{\displaystyle \mathbb {R} } làtập con của tập các số phứcC{\displaystyle \mathbb {C} } vàC{\displaystyle \mathbb {C} } được xem là một mở rộng củaR{\displaystyle \mathbb {R} }.

Ký hiệuı{\displaystyle \imath } là cặp (0,1)∈C{\displaystyle \in \mathbb {C} }. Ta có

ı2=(0,1)×(0,1)=(−1,0)=−1{\displaystyle \imath ^{2}=(0,1)\times (0,1)=(-1,0)=-1}.

Tất cả các số phức dạngbı{\displaystyle b\imath } được gọi là các số thuần ảo.

Một số khái niệm quan trọng trong trường số phức

[sửa |sửa mã nguồn]

Dạng đại số của số phức

[sửa |sửa mã nguồn]

Trong trường số phức, tính chất củađơn vị ảoı{\displaystyle \imath } đặc trưng bởi biểu thức

i2=−1{\displaystyle i^{2}=-1}
i=−1{\displaystyle i={\sqrt {-1}}}

Mỗi số phứcz đều được biểu diễn duy nhất dưới dạng:

z=a+bi{\displaystyle z=a+bi}

trong đóa,b là các số thực. Dạng biểu diễn này được gọi là dạng đại số của số phứcz.

Với cách biểu diễn dưới dạng đại số, phép cộng và nhân các số phức được thực hiện như phép cộng và nhân cácnhị thức bậc nhất với lưu ý rằngi2=−1{\displaystyle i^{2}=-1}. Như vậy, ta có:

(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d){\displaystyle (a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d)}
(a+ib)−(c+id)=(a−c)+i(b−d){\displaystyle (a+ib)-(c+id)=(a-c)+i(b-d)}
(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+i(ad+bc){\displaystyle (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+i(ad+bc)}
a+bic+di=(a+bi)(c−di)(c+di)(c−di)=ac+bdc2+d2+bc−adc2+d2i{\displaystyle {\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+{\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}i}

Mặt phẳng phức

[sửa |sửa mã nguồn]

Tronghệ toạ độ Descartes, có thể dùng trục hoành chỉ tọa độ phần thực còn trục tung cho tọa độ phần ảo để biểu diễn một số phức

z=x+iy.{\displaystyle z=x+iy.}

Khi đómặt phẳng tọa độ được gọi làmặt phẳng phức.

Số thực và số thuần ảo

[sửa |sửa mã nguồn]
Bài chi tiết:số thực

Mỗi số thựca{\displaystyle a} được xem là một số phức cób=0{\displaystyle b=0}.

Ta có:R{\displaystyle \mathbb {R} }⊂{\displaystyle \subset }C{\displaystyle \mathbb {C} }

Nếua=0{\displaystyle a=0}, số phứcbi{\displaystyle bi} được gọi là thuần ảo.

Số phức liên hợp

[sửa |sửa mã nguồn]
Bài chi tiết:Số phức liên hợp

Cho số phức dưới dạng đại sốZ=a+bi{\displaystyle Z=a+bi\,}, số phứcZ¯=a−bi{\displaystyle {\overline {Z}}=a-bi} được gọi làsố phức liên hợp của z.

Một số tính chất của số phức liên hợp:

  1. Z×Z¯=a2+b2{\displaystyle Z\times {\overline {Z}}=a^{2}+b^{2}} là một số thực.
  2. Z+Z¯=2a{\displaystyle Z+{\overline {Z}}=2a} là một số thực
  3. Z+Z′¯{\displaystyle {\overline {Z+Z'}}} =Z¯+Z′¯{\displaystyle {\overline {Z}}+{\overline {Z'}}}
  4. Z×Z′¯{\displaystyle {\overline {Z\times Z'}}} =Z¯×Z′¯{\displaystyle {\overline {Z}}\times {\overline {Z'}}}

Module và Argument

[sửa |sửa mã nguồn]
Bài chi tiết:Module vàArgument
Xem thêm:giá trị tuyệt đối
|z¯|=|z|,|z1∗z2|=|z1|∗|z2|,|zn|=|z|n,{\displaystyle |{\bar {z}}|=|z|,|z_{1}*z_{2}|=|z_{1}|*|z_{2}|,|z^{n}|=|z|^{n},}

arg⁡(z1∗z2)=arg⁡(z1)+arg⁡(z2),{\displaystyle \arg(z_{1}*z_{2})=\arg(z_{1})+\arg(z_{2}),}

arg⁡z1z2=arg⁡(z1)−arg⁡(z2), arg⁡(zn)=narg⁡(z){\displaystyle \arg {\frac {z_{1}}{z_{2}}}=\arg(z_{1})-\arg(z_{2}),\ \arg(z^{n})=n\,\arg(z)\,}

Dạng lượng giác của số phức

[sửa |sửa mã nguồn]

Định nghĩa

[sửa |sửa mã nguồn]

Số phứcz=a+bi{\displaystyle z=a+bi} có thể viết dưới dạng

z=a+bi=a2+b2(aa2+b2+ba2+b2⋅i){\displaystyle z=a+bi={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\left({\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}+{\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\cdot i\right)}

Khi đặt

r=|z|,φ=arg⁡(z){\displaystyle r=|z|,\varphi =\arg(z)},

ta có

z=r(cosφ+isinφ){\displaystyle z=r(cos\varphi +i\,sin\varphi )}

Cách biểu diễn này được gọi là dạnglượng giác của số phứcz{\displaystyle z}.

Phép toán trên các số phức viết dưới dạng lượng giác

[sửa |sửa mã nguồn]

Cho hai số phức dưới dạng lượng giác

z=r(cos⁡φ+isin⁡φ){\displaystyle z=r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)}
z′=r′(cos⁡φ′+isin⁡φ′){\displaystyle z'=r'\left(\cos \varphi '+i\sin \varphi '\right)}

Khi đó

z⋅z′=rr′(cos⁡(φ+φ′)+isin⁡(φ+φ′)){\displaystyle z\cdot z'=rr'\left(\cos \left(\varphi +\varphi '\right)+i\sin \left(\varphi +\varphi '\right)\right)}
zz′=rr′[cos⁡(φ−φ′)+isin⁡(φ−φ′){\displaystyle {\frac {z}{z'}}={\frac {r}{r'}}\left[\cos(\varphi -{\varphi }'\right)+i\sin \left(\varphi -{\varphi }'\right)}
zn=rn(cos⁡nφ+isin⁡nφ){\displaystyle z^{n}=r^{n}{\Bigg (}\cos n\,\varphi +i\sin n\,\varphi {\Bigg )}}
  • Khai căn số phức dưới dạng lượng giác.

Mọi số phức z khác 0 đều có đúng n căn bậc n, là các số dạng

ωk=rn(cos⁡ψk+isin⁡ψk){\displaystyle {\omega }_{k}={\sqrt[{n}]{r}}\left(\cos {\psi }_{k}+i\sin {\psi }_{k}\right)}

trong đóψk=φ+k2πn{\displaystyle {\psi }_{k}={\frac {\varphi +k\,2\,\pi }{n}}},k=0,1,...n−1{\displaystyle k=0,1,...n-1}

Một số ứng dụng

[sửa |sửa mã nguồn]
  • Ứng dụng của số phức tronghình học phẳng: phép quay 90độ cóbình phương bằng -1. Quay hai lần 90 độ thì bằng quay 180 độ, mà quay 180 độ có nghĩa là lấy điểm ngược lại, cũng có nghĩa là nhân với -1. Vậy ta có thể nói rằngsố ảoı{\displaystyle \imath } đại diện cho sự quay, sự chuyển hướng 90 độ. Chính vì "ı{\displaystyle \imath } chẳng qua là quay 90 độ" nên số phức rất hiệu nghiệm trong hình học phẳng và tronglượng giác. Nhiều vấn đề củahình học phẳng rất phức tạp, hay nhiềucông thức lượng giác phức tạp, trở nên đơn giản hơn hẳn khi sử dụng số phức để giải quyết.
  • Phân tíchđa thức thành nhân tử.
  • Tính toán cáctích phân.
  • Tìm dạng chuẩn và phân loại các cấu trúctoán học.
  • Trongvật lý ngày nay, số phức xuất hiện rất nhiều. Bởi vì vật lý liên quan đếnhình học, có nhiềuđại lượng không chỉ có độ lớn mà còn cóhướng. Mà đã nói đến hướng là dễ đụng đến số phức, vì số ảo thể hiện sự quay 90 độ. Ví dụ như để mô tả dòngđiện xoay chiều (là thứđiện ta dùng chủ yếu ngày nay) hay một số thứ trong mạng điện nói chung, người ta có thể dùng số phức.

Các tập hợp số

[sửa |sửa mã nguồn]
Các tập hợp số
N{\displaystyle \mathbb {N} }: Tập hợpsố tự nhiên
Z{\displaystyle \mathbb {Z} }: Tập hợpsố nguyên
Q{\displaystyle \mathbb {Q} }: Tập hợpsố hữu tỉ
I=R∖Q{\displaystyle \mathbb {I} =\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }: Tập hợpsố vô tỉ
R{\displaystyle \mathbb {R} }: Tập hợpsố thực
C{\displaystyle \mathbb {C} }: Tập hợp số phức

Xem thêm

[sửa |sửa mã nguồn]

Chú thích

[sửa |sửa mã nguồn]
  1. ^Charles P. McKeague (2011).Elementary Algebra. Brooks/Cole. tr. 524.ISBN 978-0-8400-6421-9.
  2. ^Burton (1995, tr. 294)Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFBurton1995 (trợ giúp)
  3. ^Complex Variables (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipschutz, J.J. Schiller, D. Spellman, Schaum's Outline Series, Mc Graw Hill (USA),ISBN 978-0-07-161569-3
  4. ^Aufmann, Richard N.; Barker, Vernon C.; Nation, Richard D. (2007),College Algebra and Trigonometry (ấn bản thứ 6), Cengage Learning, tr. 66,ISBN 0-618-82515-0,Chapter P, p. 66

Liên kết ngoài

[sửa |sửa mã nguồn]
Wikiquote có bộ sưu tập danh ngôn về:
Hệ thốngsố
Đếm được
Đại số chia
Split
Composition algebra
Số siêu phức khác
Các loại khác
Quốc tế
Quốc gia
Khác
Các chủ đề chính trongtoán học
Nền tảng toán học |Đại số |Giải tích |Hình học |Lý thuyết số |Toán học rời rạc |Toán học ứng dụng |
Toán học giải trí |Toán học tô pô |Xác suất thống kê
Lấy từ “https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Số_phức&oldid=74237387”
Thể loại:
Thể loại ẩn:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp