| Lý thuyết nhóm →Lie groups Nhóm Lies |
|---|
 |
|
| Cấu trúc đại số →lý thuyết nhóm Lý thuyết nhóm |
|---|
 |
Nhóm Lie vô hạn chiều
|
| Cấu trúc đại số |
|---|
Trongtoán học, mộtnhóm Lie, được đặt tên theo nhà toán học người Na UySophus Lie (IPA pronunciation:[liː], đọc như là "Lee"), là mộtnhóm (group) cũng là mộtđa tạp khả vi (trơn) (differentiable manifold), với tính chất là phép toán nhóm tương thích vớicấu trúc khả vi. Nhóm Lie đại diện cho lý thuyết phát triển nhất của cácđối xứng liên tục. Điều này đã làm nhóm Lie trở thành một công cụ gần như cho tất cả các ngành toán học hiện đại, vàvật lý lý thuyết hiện đại, đặc biệt là tronglý thuyết hạt cơ bản.
Vì nhóm Lie là một đa tạp khả vi, nó có thể được nghiên cứu bằng cách sử dụng giải tích vi phân (differential calculus), điều này không làm được với cácnhóm topo tổng quát hơn. Một trong những ý tưởng chính trong lý thuyết về nhóm Lie, đề xuất bởi Sophus Lie, là thay thế cấu trúc toàn cục,nhóm, bằng một phiên bản mang tínhđịa phương của nó hay còn gọi là phiên bản đã được làm tuyến tính hóa, mà Lie gọi là mộtnhóm cực nhỏ. Phiên bản này bây giờ được biết đến như làđại số Lie.
Nhóm Lie đã cung cấp một phương tiện tự nhiên để phân tích các đối xứng liên tục của cácphương trình vi phân (lý thuyết Picard-Vessiot), trong một cách thức như cácnhóm hoán vị (permutation group) được sử dụng tronglý thuyết Galois để phân tích các đối xứng rời rạc của cácphương trình đại số.
Theo Hawkins, một sử gia toán học, Sophus Lie tự cho là mùa đông năm 1873–1874 là năm khai sinh lý thuyết nhóm liên tục của ông. Một số ý tưởng ban đầu của Lie được phát triển khi hợp tác chặt chẽ vớiFelix Klein. Lie khẳng định rằng các kết quả chính đã được chứng minh vào năm 1884. Tuy nhiên, trong suốt những năm 1870 tất cả các bài báo của ông (ngoại trừ các bài đầu tiên) được xuất bản trong các tạp chí bằng tiếng Na Uy, đã làm chậm đi sự công nhận của các công trình của ông trên toàn bộ châu Âu. Vào năm 1884 một nhà toán học trẻ người Đức,Friedrich Engel, đến làm việc với Lie để viết nên một luận án có hệ thống về lý thuyết nhóm liên tục của ông. Từ cố gắng này đã phát sinh ra bộ sách ba tậpTheorie der Transformationsgruppen (Lý thuyết của các nhóm biến đổi), xuất bản năm 1888, 1890, và 1893.
Các ý tưởng của Lie không phải là đứng đơn độc so với phần còn lại của toán học. Thật ra, những nghiên cứu của ông về hình học của các phương trình vi phân được khởi nguồn từ các tác phẩm củaCarl Gustav Jacobi, về lý thuyếtphương trình vi phân riêng phần bậc 1 và các phương trình củacơ học cổ điển. Đa số các tác phẩm của Jacobi được xuất bản sau khi ông qua đời vào những năm 1860, đã được rất nhiều người chú ý ở Pháp và Đức. Ý tưởng ban đầu của Lie là phát triển một lý thuyết về các đối xứng của các phương trình vi phân để đạt đến những điều màEvarist Galois đã làm được cho các phương trình đại số: nghĩa là, phân loại chúng theo lý thuyết nhóm. Các nguyên nhân khác để nghiên cứu các nhóm liên tục đến từ các ý tưởng củaBernhard Riemann, trên nền tảng của hình học, và các phát triển thêm của Klein. Do đó ba ý tưởng lớn của toán học trong thế kỉ 19 đã được tổng hợp lại bởi Lie để tạo ra lý thuyết mới của ông: ý tưởng của sự đối xứng, đã được làm mẫu bởi Galois thông qua khái niệm đại số của mộtnhóm; lý thuyết hình học và các lời giải tường minh (explicit) của cácphương trình vi phân của cơ học, được tính ra bởiPoisson và Jacobi; các hiểu biết mới vềhình học phát triển lên từ các công trình củaPlücker,Möbius,Grassmann và những người khác, được dồn lại trong các tầm nhìn mang tính cách mạng của Riemann trong ngành này.
Mặc dù ngày nay Sophus Lie được công nhận một cách đúng đắn là người sáng lập ra lý thuyết về các nhóm liên tục, một bước phát triển lớn trong sự phát triển của lý thuyết cấu trúc, mà có nhiều ảnh hưởng lớn đến các phát triển sau này của toán học, được tạo ra bởiWilhelm Killing, người vào năm 1888 xuất bản bài báo đầu tiên trong chuỗi bài báo nhan đềDie Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen (The composition of continuous finite transformation groups). Các công trình của Killing, sau này được tu chỉnh lại và tổng quát hóa bởiElie Cartan, dẫn đến việc phân loạiđại số Lie nửa đơn, lý thuyết của Cartan vềcác không gian đối xứng, và miêu tả củaHermann Weyl vềbiểu diễn của nhóm Lie compact và nửa đơn sử dụnghighest weights.
Các nhóm Lie có thể được xem như là họ của các phép đối xứng biến đổi một cách trơn tru. Ví dụ như là các phép quay xung quanh một trục cho trước. Điều cần phải được hiểu là bản chất của các phép biến đổi 'nhỏ' này, ở đây là các phép quay với các góc cực nhỏ, nối kết các phép biến đổi lân cận nhau. Cấu trúc toán học nắm bắt cấu trúc này được gọi là mộtđại số Lie (màLie gọi là "những nhóm cực nhỏ" ("infinitesimal groups"). Nó có thể được định nghĩa bởi vì các nhóm Lie là các đa tạp (manifold), và các không gian tiếp tuyến (tangent space)tại từng điểm cũng định nghĩa được.
Đại số Lie của bất kì một nhóm Liecompact nào (very roughly: one for which the symmetries form a bounded set) cũng có thể được phân tích ra được thành mộttổng trực tiếp (direct sum) của mộtđại số Lie giao hoán và một sốnhóm Lie đơn (simple Lie group) khác. Cấu trúc của một đại số Lie abelian là không có gì đáng nói; cái đáng để ý là tổng của các nhóm đơn. Do đó câu hỏi đặt ra là: Cácđại số Lie đơn của một nhóm compact là gì? Câu trả lời là hầu hết nó thuộc về 4 gia đình vô hạn, các "đại số Lie cổ điển" An, Bn, Cn và Dn, và chúng có những mô tả khá đơn giản dưới dạng các phép đối xứng trongkhông gian Euclid. Nhưng cũng có chỉ 5 "đại số Lie ngoại lệ" không rơi vào bất kì các gia đình này. E8 là gia đình lớn nhất trong các gia đình này.
Ví dụ, cácma trận khả nghịch 2×2 định nghĩa trên toàn trườngsố thực,
tạo thành mộtnhóm với phép nhân, được ký hiệu bởi GL2(R), là một ví dụ cổ điển của một nhóm Lie; nó là một đa tạp trong không gian 4-chiều. Các giới hạn thêm trên các ma trận 2×2 biểu diễn cácphép quay cho chúng ta mộtnhóm con, được ký hiệu là SO2(R), cũng là một nhóm Lie; mặt đa tạp của đó là 1-chiều, vòng tròn đơn vị, với góc quay là tham số. Trong ví dụ thứ 2 này chúng ta có thể viết một phần tử của nhóm như là
và quan sát rằng phần tử nghịch đảo của phần tử với tham số λ chỉ đơn giản là phần tử với tham số −λ, trong khi phần tử tích của hai phần tử với tham số λ và μ được cho bởi λ+μ; và do đó 2 toán tử của nhóm đều liên tục, như là được yêu cầu.
Một nhóm Lie thực là mộtnhóm mà cũng là mộtđa tạp trơn (smooth manifold) hữu hạn chiều, mà trong đó cácphép toán nhân vàphép nghịch đảo là cácbiến đổi trơn.
Có một số khái niệm liên quan khá gần với khái niệm này. Mộtnhóm Lie phức được định nghĩa một cách tương tự sử dụngđa tạp phức hơn là các đa tạp thực (ví dụ: SL2(C)), và tương tự người ta có thể định nghĩa được một nhóm Liep-adic trên cácsốp-adic. Mộtnhóm Lie vô hạn chiều được định nghĩa với một cách tương tự với việc cho phép đa tạp ẩn bên dưới định nghĩa được phép vô hạn chiều. Cácnhóm ma trận hoặc lànhóm đại số nói một cách nôm na là các nhóm của các ma trận, (ví dụ,nhóm trực giao vànhóm symplectic) đưa ra các ví dụ thường gặp nhất của nhóm Lie.
Có thể định nghĩa tương tự nhiềunhóm Lie trên các trường hữu hạn, và những nhóm này đưa ra các ví dụ của cácnhóm đơn hữu hạn. Người ta có thể thay đổi định nghĩa bằng cách sử dụng các đa tạp tô pô hay đa tạp giải tích (topological or analytic manifolds) thay vì các đa tạp trơn, nhưng hóa ra là các định nghĩa này không đưa ra thêm điều gì mới:Gleason,Montgomery vàZippin chứng minh trong những năm của thập kỉ 1950 rằng nếu là một đa tạp topo với các phép toán trên nhóm liên tục, thì tồn tại chính xác một cấu trúc giải tích trênG để biến đổi nó thành một nhóm Lie (xembài toán thứ năm của Hilbert vàphỏng đoán Hilbert-Smith).
Ngôn ngữ củalý thuyết phạm trù cung cấp định nghĩa rõ ràng cho nhóm Lie: nhóm Lie là mộtđối tượng nhóm trongphạm trù các đa tạp trơn. Đây là tính chất quan trọng, do nó cho phép các nhà toán học tổng quát hóa khái niệm nhóm Lie thànhsiêu nhóm Lie.
Sau đây là một ví dụ của các nhóm Lie và mối quan hệ của chúng đến các ngành khác của toán học và vật lý học.
Nhiều ví dụ khác trongbảng các nhóm Lie vàdanh sách các nhóm Lie đơn vànhóm ma trận.
Có những cách để tạo thành một nhóm Lie mới từ các nhóm Lie cho trước:
Vài ví dụ các nhómkhông phải là nhóm Lie:
| Khái niệm cơ bản | ||
|---|---|---|
| Các loại nhóm | ||
| Nhóm rời rạc |
| |
| Nhóm Lie | ||
| Nhóm vô hạn |
| |
Các chủ đềhình học | ||
|---|---|---|
| Euclid |  | |
| Phi Euclid | ||
| Khác | ||
| Danh sách | ||
