Đồ thị của hàm logarit cơ số 2 cắt trục hoành tạix = 1 và đi qua các điểm(2, 1),(4, 2), và(8, 3), thể hiện rằng, chẳng hạn,log2(8) = 3 và23 = 8. Khix càng gần 0 thì đồ thị dần tiệm cận trục tung, nhưng không cắt trục đó.
Trongtoán học,logarit (tiếng Anh:logarithm) của một số làlũy thừa mà một giá trị cố định, gọi làcơ số, phải được nâng lên để tạo ra số đó. Ví dụ, logarit cơ số10 của1000 là3 vì1000 là10 lũy thừa3:1000 = 10 × 10 × 10 = 103. Tổng quát hơn, nếux =by thìy được gọi là logarit cơ sốb củax và được ký hiệu làlogbx.
Logarit doJohn Napier giới thiệu lần đầu tiên vào năm 1614 như là một cách để đơn giản hóa việc tính toán. Về sau, nó đã nhanh chóng được nhiều nhà khoa học sử dụng để hỗ trợ trong tính toán, đặc biệt là các phép tính yêu cầu độ chính xác cao, thông quathước loga vàbảng logarit. Các công cụ này dựa trên tính chất rằng logarit của mộttích bằngtổng các logarit của các thừa số:
Khái niệm logarit như ngày nay đến từLeonhard Euler, người đã liên hệ nó vớihàm mũ vào thế kỷ 18.
Phép cộng,phép nhân vàlũy thừa là ba trong các phép toán số học cơ bản nhất. Phép toán ngược lại với phép cộng làphép trừ, ngược lại với phép nhân làphép chia. Một cách tương tự, logarit là phép toán ngược lại với lũy thừa. Lũy thừa tức là khi một sốb, gọi làcơ số, được nâng lên lũy thừay, gọi làsố mũ, để cho giá trịx, ký hiệu là
Ví dụ,2 nâng lên lũy thừa3 bằng8, vì8 là tích của ba thừa số2 nhân với nhau:23 = 2 × 2 × 2 = 8. Phép lũy thừa có thể được mở rộng cho mọi số thựcy.[1]
Logarit cơ sốb chính là phép toán ngược, cho giá trị lày từ một sốx ban đầu. Có nghĩa là,y = logbx tương đương vớix =by vớib làsố thực dương. (Nếub không phải là số thực dương, phép lũy thừa và logarit vẫn xác định nhưng có thể cho các giá trị khác nhau, dẫn đến việc định nghĩa phức tạp hơn.)
Một trong những cơ sở lịch sử cho sự ra đời của logarit là công thức
cho phép đưa các phép tính nhân và chia thành phép cộng, phép trừ và việc tra cứubảng số logarit (trước khi máy tính được phát minh).
Ta cólog2 16 = 4 vì24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16. Logarit có thể là số âm:
vì
Một ví dụ khác:log10150 gần bằng 2,176, một số nằm giữa 2 và 3, giống như khi 150 nằm giữa102 = 100 và103 = 1000. Cuối cùng, với mọi cơ sốb thìlogbb = 1 vàlogb 1 = 0 vìb1 =b vàb0 = 1.
Logarit của một tích là tổng các logarit của các thừa số; logarit của một thương gồm hai số là hiệu logarit của hai số đó. Logarit của một số lũy thừap bằngp lần logarit của số đó; logarit của một số căn bậcp là logarit của số đó chia chop. Bảng dưới đây liệt kê các phép tính logarit cơ bản nêu trên và các ví dụ.
Logaritlogbx có thể được tính từ logarit cơ số trung giank củax vàb theo công thức:[nb 2]
Cácmáy tính bỏ túi điển hình thường tính logarit cơ số 10 vàe.[4] Logarit cơ sốb bất kỳ có thể được xác định bằng cách đưa một trong hai logarit đặc biệt này vào công thức trên:
Cho một sốx và logarit cơ sốb của nólogbx vớib chưa biết, thìb được tính bằng
Đồ thị của ba hàm số logarit phổ biến nhất với cơ số 2,e và 10
Trong các giá trị của cơ sốb, có ba cơ số đặc biệt. Chúng gồmb = 10,b =e (hằngsố vô tỉ xấp xỉ bằng 2,71828) vàb = 2. Tronggiải tích toán học, logarit cơ sốe là phổ biến nhất nhờ các tính chất được giải thích dưới đây. Mặt khác, có thể dễ dàng tính logarit cơ số 10 tronghệ thập phân:[5]
Bảng dưới đây liệt kê các ký hiệu logarit thông dụng và lĩnh vực mà chúng được sử dụng. Một số tài liệu viếtlogx thay vìlogbx khi cơ số của logarit là cố định tùy theo trường hợp. Cột "Ký hiệu ISO" liệt kê các ký hiệu doTổ chức tiêu chuẩn hóa quốc tế khuyến nghị (ISO 80000-2).[9]
Từ thế kỷ 3 TCN, trong cuốnNgười đếm cát,Archimedes đã quan sát và đưa ra khái niệm rằng "bậc" của một số tương đương với số mũ của lũy thừa cơ số108 = 100.000.000. Ông cũng nhắc đếnquy tắc nhân hai số với nhau bằng cách cộng "bậc" của chúng lại với nhau. Nguyên lý này về sau là một cơ sở dẫn đến sự ra đời khái niệm logarit.[19] Khoảng 1000 năm sau đó,Virasena, một nhà toán họcKỳ Na ngườiẤn Độ, tìm ra khái niệmardhacheda: số lần một số có thể chia hết cho 2. Với lũy thừa của 2, đó chính là giá trị nguyên của logarit cơ số 2, còn đối với các số khác thì giá trị đó không bằng logarit của chúng. Thời điểm đó, ông cũng đã phát hiện và giới thiệu thêm hai khái niệm tương tự làtrakacheda (cơ số 3) vàcaturthacheda (cơ số 4).[20][21] Năm 1544,Michael Stifel cho xuất bản cuốnArithmetica Integra có chứa một bảng số nguyên và lũy thừa của 2 tương ứng,[22] mà khi đảo ngược các hàng lại thì có thể được xem là dạng ban đầu của bảng logarit.[23] Đến thế kỷ 16–17, kỹ thuậtprosthaphaeresis (tạm dịch: thuật nhân và chia số bằng các công thức lượng giác) xuất hiện và được dùng để chuyển phép nhân thành phép cộng thông qua cácđẳng thức lượng giác.[24][25]
Khái niệmlogarit doJohn Napier công bố lần đầu tiên vào năm 1614 trong một cuốn sách có tựa đề làMirifici logarithmorum canonis descriptio.[26][27] Nó có liên quan đến các điểm chuyển động thẳng: Napier đã tưởng tượng một điểm thứ nhấtP chuyển động đến điểm cuối của một đoạn thẳng với vận tốc giảm dần, và điểm thứ haiL chuyển động đều trên một nửa đường thẳng với độ dài vô hạn, sau đó liên hệ khoảng cách giữaP với điểm cuối của đoạn thẳng và giữaL với điểm đầu của nửa đường thẳng để nêu ra định nghĩa logarit.[28] Phát hiện này được đánh giá cao và nhanh chóng lan rộng sang nhiều quốc gia khác, bao gồmTrung Quốc và một số nước ởchâu Âu trong những năm sau đó.[29]Jost Bürgi cũng tìm ra logarit một cách độc lập nhưng xuất bản công trình của mình sáu năm sau Napier.[30] Từlogarithmorum của Napier trongtiếng Latinh có nguồn gốc từtiếng Hy Lạp, chỉ một số biểu thị tỉ số: λόγος (logos) có nghĩa là "tỉ số" và ἀριθμός (arithmos) có nghĩa là "số".
Alphonse Antonio de Sarasa, một học trò và cộng sự của ông, về sau đã liên hệ tính chất này với logarit để dẫn đến khái niệmlogarit hyperbol, tương đương vớilogarit tự nhiên.[31] Logarit tự nhiên lần đầu tiên được mô tả trong cuốnLogarithmotechnia củaNicholas Mercator năm 1668.[32] Khoảng năm 1730,Leonhard Euler định nghĩahàm mũ và hàm logarit tự nhiên bằng
Euler cũng chứng minh được rằng hai hàm số này là haihàm ngược nhau.[33] Cũng trong khoảng thời gian này, ông lần đầu tiên ký hiệu cơ số của logarit tự nhiên bằng chữe.[34]
Trong chương 6, tập I của bộIntroductio in analysin infinitorum (1748), Euler đưa ra một hướng tiếp cận giống với khái niệm logarit hiện nay. Ông nhận thấy hàm mũy =az vớia là mộtsố thực dương không đổi không phải là mộthàm số đại số, mà là mộthàm số siêu việt; đồng thời, nó cũng làhàm số tăng khia > 1. Khi đó, mỗi sốa đều tương ứng với mộthàm ngược được gọi là logarit cơ sốa:z = logay.[35]
Bằng cách đơn giản hóa các phép tính phức tạp trước khi máy tính ra đời, logarit đóng góp đáng kể cho sự phát triển của khoa học, đặc biệt làthiên văn học. Nó cũng đóng góp cho sự tiến bộ củakhảo sát xây dựng,hàng hải thiên văn và nhiều lĩnh vực khác.Pierre-Simon Laplace đã gọi logarit là
"...[một] thủ thuật đáng ngưỡng mộ có thể rút ngắn một công việc từ vài tháng xuống còn vài ngày, từ đó kéo dài cuộc đời của nhà thiên văn lên gấp đôi, và loại bỏ những sai sót cũng như sự chán nản không thể tách rời khỏi những phép tính dài lê thê."[36]
Một công cụ góp phần lớn trong việc ứng dụng logarit vào thực tế làbảng logarit.[37] Bảng đầu tiên như vậy doHenry Briggs biên soạn năm 1617 ngay sau phát minh của Napier, tiếp đó là các bảng số với phạm vi và độ chính xác lớn hơn. Các bảng số này liệt kê các giá trị củalogbx vàbx với mỗi sốx nằm trong một giới hạn nhất định, với độ chính xác nhất định theo một cơ sốb nhất định (thường là cơ số 10). Chẳng hạn, bảng đầu tiên của Briggs chứalogarit thập phân của tất cả các số nguyên từ 1 đến 1000 chính xác đến 14 chữ số thập phân. Vì hàmf(x) =bx là hàm ngược củalogbx nên nó còn được gọi là antilogarit.[38] Tích và thương của hai số dươngc vàd thường được tính bằng tổng và hiệu các logarit của chúng. Tíchcd hoặc thươngc/d có được bằng cách tra cứu antilogarit của tổng và hiệu đó thông qua bảng logarit đó:
và
Đối với các phép tính thông thường yêu cầu độ chính xác cao, việc tra cứu hai logarit, tính tổng hoặc hiệu của chúng rồi tra cứu antilogarit nhanh hơn rất nhiều so với khi thực hiện phép nhân bằng các công cụ trước đây nhưprosthaphaeresis, vốn phụ thuộc vào cácđẳng thức lượng giác. Phép tính lũy thừa vàcăn được đưa về phép nhân hoặc phép chia và tra cứu theo công thức
và
Nhiều bảng số còn liệt kê các giá trị logarit bằng cách cho biết phần đặc số và phần định trị củax, nghĩa làphần nguyên vàphần thập phân củalog10x.[39] Đặc số của10 ·x là 1 cộng cho đặc số củax, và phần định trị của chúng là giống nhau. Tính chất này làm mở rộng phạm vi của bảng logarit: với một bảng liệt kê các giá trị củalog10x với mọi số nguyênx từ 1 đến 1000, logarit cơ số 10 của 3542 được tính gần đúng bằng
Một ứng dụng quan trọng khác của logarit làthước loga, một cặp thước chia độ theo logarit được sử dụng trong tính toán, như hình minh họa dưới đây:
Sơ đồ miêu tả thước loga. Bắt đầu từ vị trí 2 ở thước bên dưới, cộng khoảng cách đến 3 ở thước bên trên để đạt tích bằng 6. Thước loga hoạt động được vì nó được chia độ sao cho khoảng cách từ 1 đếnx tỉ lệ thuận với logarit củax.
Tiền thân của nó,thước Gunter, được phát minh ngay sau công bố của Napier.William Oughtred sau đó đã phát triển nó lên thành thước loga, một cặp thước logarit có thể trượt lẫn nhau. Các số được đặt trên thước với khoảng cách về độ dài tỉ lệ thuận với hiệu các logarit của chúng. Khi trượt thước bên trên tức là ta đã cộng cơ học các logarit với nhau. Ví dụ, cộng khoảng cách từ 1 đến 2 ở thước bên dưới với khoảng cách từ 1 đến 3 ở thước bên trên cho tích của chúng bằng 6, và giá trị đó được đọc ở thước bên dưới. Thước loga từng là một công cụ tính toán thiết yếu của các nhà khoa học cho đến thập niên 1970, vì nó cho phép tính toán nhanh hơn nhiều so với kỹ thuật tra bảng số.[40]
Người ta nghiên cứu sâu hơn về logarit thông qua khái niệmhàm số. Hàm số là quy tắc cho một số duy nhất từ một số bất kỳ cho trước.[41] Ví dụ, hàm số cho lũy thừa bậcx củab từ bất kỳ số thựcx nào vớib là cơ số được viết là
Để giải thích định nghĩa logarit, cần phải chứng minh rằng phương trình
có một nghiệmx duy nhất vớiy vàb là số dương vàb khác 1. Để chứng minh điều này, ta cần đếnđịnh lý giá trị trung gian tronggiải tích sơ cấp.[42] Theo định lý, mộthàm số liên tục cho hai giá trịm vàn cũng cho bất kỳ giá trị nào nằm giữam vàn. Hàm số liên tục là hàm mà đồ thị có thể vẽ trên mặt phẳng tọa độ mà không cần nhấc bút lên.
Tính chất này có thể được chứng minh là đúng với hàmf(x) =bx. Vìf có thể mang giá trị dương lớn hay nhỏ tùy ý, nên mỗi sốy > 0 đều nằm giữaf(x0) vàf(x1) vớix0 vàx1 thích hợp. Do đó, định lý giá trị trung gian đảm bảo rằng phương trìnhf(x) =y có một nghiệm. Hơn nữa, nghiệm này là duy nhất vì hàm sốf làhàm số tăng nếub > 1 và là hàm số giảm nếu0 <b < 1.[43]
Nghiệmx đó chính là logarit cơ sốb củay,logby. Hàm số gán choy giá trị logarit của nó được gọi làhàm số logarit. Hàm số logarity = logbx xác định trên tập hợp số thực dương, cho giá trị là một số thực bất kỳ, và là hàm số tăng duy nhất thỏa mãnf(b) = 1 vàf(uv) =f(u) +f(v).[44]
Đồ thị của hàm logaritlogb(x) (màu xanh)đối xứng với đồ thị của hàm mũbx (màu đỏ) theo đường thẳngx =y.
Công thức logarit của một lũy thừa cho thấy với một sốx bất kỳ,
Lần lượt lấy lũy thừa bậcx củab rồi lấy logarit cơ sốb, ta lại có đượcx. Ngược lại, với một số dươngy bất kỳ, biểu thức
cho thấy khi lấy logarit rồi lũy thừa, ta lại có đượcy. Như vậy, khi đồng thời thực hiện phép lũy thừa và logarit trong cùng một số, ta có được số ban đầu. Vì vậy, logarit cơ sốb làhàm ngược củaf(x) =bx.[45]
Hàm ngược có liên hệ mật thiết với hàm số gốc ban đầu.Đồ thị của chúng đối xứng nhau qua đường thẳngx =y như hình bên phải: một điểm(t,u =bt) trong đồ thị củaf(x) tương ứng với điểm(u,t = logbu) trong đồ thị của hàm logarit và ngược lại. Như vậy,logb(x)phân kỳ lên vô hạn (lớn hơn bất kỳ số nào đã biết) nếux tăng đến vô hạn, vớib lớn hơn 1. Trong trường hợp này,logb(x) làhàm số tăng. Khib < 1 thì ngược lại,logb(x) dần về âm vô hạn. Khix dần về 0 thì giới hạn củalogbx là âm vô hạn vớib > 1 và là dương vô hạn vớib < 1.
Đồ thị của hàmlogarit tự nhiên (màu xanh lá) và tiếp tuyến của nó tạix = 1,5 (màu đen)
Các tính chất giải tích của hàm số cũng đúng với hàm ngược của chúng.[42]f(x) =bx là một hàm số liên tục vàkhả vi, vàlogby cũng vậy. Một cách đại khái rằng, một hàm số liên tục là hàm số khả vi nếu đồ thị của nó không bị "đứt gãy" ở bất cứ điểm nào. Hơn nữa, vìđạo hàm củaf(x) bằngln(b)bx theo tính chất củahàm mũ nên theoquy tắc hàm hợp, đạo hàm củalogbx được tính bằng
tức làhệ số góc củatiếp tuyến đồ thị hàm logarit cơ sốb tại điểm(x, logb(x)) bằng1/(x ln(b)).[43][46] Đặc biệt, đạo hàm củaln(x) là1/x, nghĩa lànguyên hàm của1/x bằngln(x) +C. Đạo hàm với đối số hàm tổng quátf(x) là
Nói cách khác,ln(t) là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và đồ thị của hàm số1/x, từx = 1 đếnx =t (hình bên phải). Đó là hệ quả từ việc áp dụngđịnh lý cơ bản của giải tích và việc đạo hàm củaln(x) là1/x. Vế phải của phương trình trên có thể được xem là khái niệm vềlogarit tự nhiên. Các công thức logarit của tích và lũy thừa đều có thể được suy ra từ khái niệm này.[50] Chẳng hạn, ta có công thức tíchln(tu) = ln(t) + ln(u) vì
Đẳng thức (1) chia tích phân thành hai phần, còn đẳng thức (2) là phép đổi biến số (w =x/t). Trong hình dưới đây, phép tách tích phân này tức là chia hình phẳng thành hai phần màu vàng và màu xanh. Thay đổi kích thước phần hình phẳng màu xanh bên trái theo hàng dọc tỉ lệ theo biếnt và thu nhỏ lại nó theo hàng ngang theo tỉ lệ đó không làm thay đổi diện tích của nó. Di chuyển phần hình màu xanh một cách thích hợp thì nó lại khớp với đồ thị hàm sốf(x) = 1/x. Do đó, phần hình phẳng màu xanh bên trái, tức là tích phân củaf(x) từt đếntu bằng tích phân từ 1 đếnu. Tính chất này giải thích cho đẳng thức (2) một cách trực quan.
Hình ảnh minh họa công thức tích của logarit tự nhiên
Chứng minh tương tự, ta cũng có công thức lũy thừaln(tr) =r ln(t):
Ngoài ra,ln(x) còn có một biểu diễn tích phân được suy ra từtích phân Frullani khif(x) =e−x vàa = 1, được ứng dụng trong vật lý và một số trường hợp khác:[52]
Các phím logarit (LOG cho cơ số 10 và LN cho cơ sốe) trong một máy tính bỏ túi TI-83 Plus
Ta dễ dàng tính được logarit trong một số trường hợp, chẳng hạn nhưlog10(1000) = 3. Tổng quát, logarit có thể tính bằngchuỗi lũy thừa hoặctrung bình hình học–đại số, hoặc tra cứu trongbảng số logarit tính sẵn với độ chính xác nhất định.[55][56]Phương pháp Newton, một phương pháp lặp đi lặp lại để tìm nghiệm gần đúng của một phương trình, cũng có thể được sử dụng để tính logarit, vì hàm ngược của nó (hàm mũ) có thể tính được một cách có hiệu quả.[57] Thông qua bảng số, các phương pháp tương tự nhưCORDIC có thể dùng để tính logarit chỉ qua phép cộng vàphép dịch bit.[58][59] Hơn nữa,thuật toán logarit nhị phân tínhlb(x) một cáchđệ quy dựa vào phép bình phươngx lặp đi lặp lại và áp dụng biểu thức
Chuỗi Taylor củaln(z) có tâm tạiz = 1. Hình ảnh động này thể hiện 10 xấp xỉ đầu tiên cùng xấp xỉ thứ 99 và 100. Các xấp xỉ này không hội tụ ngoài khoảng cách 1 đơn vị từ tâm.
Với mỗi số thựcz thỏa mãn0 <z ≤ 2, ta có:[60][nb 5]
Nói một cách ngắn gọn,ln(z) có thể được tính gần đúng theo dãy biểu thức
Ví dụ, vớiz = 1,5, biểu thức thứ ba cho kết quả là 0,4167, lớn hơn khoảng 0,011 so vớiln(1,5) = 0,405465.Chuỗi này ước lượngln(z) với độ chính xác tùy ý, miễn rằng số hạng tử là đủ lớn. Trong giải tích sơ cấp,ln(z) còn được gọi làgiới hạn của chuỗi. Nó làchuỗi Taylor củalogarit tự nhiên tạiz = 1. Đặc biệt, nếu đặtz = 1 +x thì chuỗi trên được viết lại thànhchuỗi Mercator
với−1 <x ≤ 1.[60] Chuỗi này doIsaac Newton vàNicholas Mercator tìm ra một cách độc lập và xuất hiện lần đầu tiên trong cuốnLogarithmotechnia của Mercator năm 1668.[61][62] Ví dụ, khix = 0,1 thì xấp xỉ bậc nhất của chuỗi này cho giá trị là 0,1 với sai số dưới 5% so với kết quả chính xác làln(1,1) = 0,0953. Từ chuỗi Taylor củaln(1 +x) vàln(1 −x) (có được bằng cách thayx bằng−x trong chuỗi Mercator), ta suy ra
với−1 <x < 1.[63] Chuỗi này doJames Gregory phát hiện năm 1668 và có thể được áp dụng để tính logarit tự nhiên của một số dương bất kỳ.[64]
Chuỗi trên được suy ra từ chuỗi Taylor của bằng cách đặt.[64] Nó hội tụ nhanh hơn nhiều so với chuỗi Taylor, nhất là khiz gần bằng 1. Chẳng hạn, vớiz = 1,5, ba hạng tử đầu tiên của chuỗi tính được gần đúngln(1,5) với sai số khoảng 3 × 10−6. Tính hội tụ nhanh chóng khiz gần bằng 1 có thể được tận dụng theo cách sau: cho một xấp xỉy ≈ ln(z) với độ chính xác thấp và đặt
logarit củaz là:
Nếu giá trịy càng gần đúng thì giá trịA càng gần 1, do đó có thể tính logarit của nó một cách hiệu quả.A có thể được tính quachuỗi lũy thừa, vốn hội tụ nhanh khiy không quá lớn. Phép tính logarit của một sốz lớn có thể được đưa về phép tính các số nhỏ hơn bằng cách viếtz =a · 10b, khi đóln(z) = ln(a) +b · ln(10).
Một phương pháp khác liên quan có thể được áp dụng để tính logarit tự nhiên của một số nguyên dương bất kỳ. Khi thay trong chuỗi trên, ta có
Nếu đã biết logarit tự nhiên của một số nguyênn lớn thì chuỗi này hội tụ rất nhanh vớitốc độ là.
Phương pháp sử dụngtrung bình hình học–đại số cho phép tính gần đúnglogarit tự nhiên với độ chính xác rất cao. TheoSasaki & Kanda (1982)Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFSasakiKanda1982 (trợ giúp), phương pháp này đặc biệt nhanh với độ chính xác khoảng 400 đến 1000 chữ số thập phân, trong khi phương pháp dùngchuỗi Taylor thường nhanh chóng hơn nếu không đòi hỏi độ chính xác cao. Trong bài báo được trích dẫn,ln(x) được ước lượng với sai số2−p theo công thức sau (bởiCarl Friedrich Gauss):[65][66]
Ở đâyM(x,y) chỉtrung bình hình học–đại số củax vày, có được bằng cách thực hiện lặp đi lặp lại các phép tính (trung bình cộng) và (trung bình nhân) rồi lấy hai kết quả thu được làm giá trị mới củax vày. Hai số này nhanh chóng hội tụ lại về một giới hạn, và giới hạn đó là giá trị củaM(x,y). Giá trịm được chọn sao cho
để đảm bảo độ chính xác cần thiết. Nếum càng lớn thì phép tínhM(x,y) cần nhiều bước hơn nhưng độ chính xác càng cao. Các hằng sốπ vàln(2) có thể tính nhanh qua các chuỗi hội tụ.
TheoDanny Hillis, một trong những cộng sự củaRichard Feynman, khi còn ởPhòng thí nghiệm Quốc gia Los Alamos thực hiệnDự án Manhattan, Feynman đã phát triển một thuật toán gần giống vớiphép chia số lớn. Thuật toán này về sau được sử dụng trên các máy tính song song (Connection Machine). Thuật toán dựa trên cơ sở rằng mọi số thực có thể được biểu diễn thành tích của các thừa số khác nhau dạng với là số nguyên. Thuật toán tuần tự lập tích đó: nếu thì thuật toán thay bằng, và tăng giá trị thêm 1 đơn vị bất kể đúng hay sai. Thuật toán dừng lại nếu đủ lớn để đạt được độ chính xác cần thiết. Vì là tổng của các số hạng dạng tương ứng với giá trị sao cho thừa số thuộc tích nên có thể được tính bằng phép cộng đơn giản sử dụng bảng với mọi giá trị của ở bất kỳ cơ số nào.[67][68]
Một conốc anh vũ thể hiện đường cong xoắn ốc logarit
Logarit có nhiều ứng dụng cả trong lẫn ngoài toán học. Một vài trong số đó có liên quan đến khái niệm vềtỉ lệ bất biến. Chẳng hạn, mỗi buồng trong vỏốc anh vũ đều gần giống với buồng liền sau, thu nhỏ lại bởi một hằng số tỉ lệ. Đó là một ví dụ vềxoắn ốc logarit.[69]Luật Benford về tần suất xuất hiện chữ số đầu tiên cũng có thể được giải thích qua tỉ lệ bất biến.[70] Logarit cũng có liên hệ với tính chấttự đồng dạng. Chẳng hạn, logarit xuất hiện trong việc nghiên cứu các thuật toán giải bài toán bằng cách chia thành nhiều bài toán con tương tự rồi gộp các kết quả của chúng lại với nhau.[71] Số chiều của các hình không gian tự đồng dạng, tức là những hình mà mỗi phần của nó đều giống như hình tổng thể, cũng dựa trên logarit.Thang đo logarit rất cần thiết để định lượng mức độ thay đổi tỉ đối của một đại lượng so với mức độ thay đổi tuyệt đối của nó. Hơn nữa, vì hàm số logaritlog(x) tăng rất chậm khix ngày càng lớn nên thang đo logarit được sử dụng để "nén" lại dữ liệu khoa học quy mô lớn. Logarit cũng xuất hiện trong nhiều phương trình khoa học nhưphương trình tên lửa Tsiolkovsky,phương trình Fenske hayphương trình Fernst.
Các đại lượng khoa học thường được biểu diễn theo logarit của các đại lượng khác quathang đo logarit. Chẳng hạn,decibel làđơn vị đo dựa trên các đại lượng liên quan đến logarit. Nó được dựa trên logarit thập phân củatỉ lệ – 10 lần logarit thập phân của một tỉ lệcông suất hoặc 20 lần logarit thập phân của tỉ lệhiệu điện thế, và được dùng để định lượng sự hao phí mức điện áp trong truyền tải tín hiệu điện,[72] để miêu tả độ lớn của âm trongâm học,[73] và khả năng hấp thụ bức xạ ánh sáng trongquang học.Tỉ số tín hiệu trên nhiễu mô tả lượng âm không cần thiết so vớitín hiệu cũng được đo bằng decibel.[74] Tương tự,tỉ số tín hiệu cực đại trên nhiễu thường được sử dụng để đánh giá chất lượng âm thanh và phương phápnén ảnh thông qua logarit.[75]
Độ lớn của một trậnđộng đất được đo theo logarit thập phân của năng lượng do nó sinh ra quathang độ lớn mô men haythang độ Richter. Chẳng hạn, một trận động đất 5,0 độ giải phóng năng lượng gấp 32 lần(101.5) và một trận động đất 6,0 độ giải phóng năng lượng gấp 1000 lần(103) so với một trận động đất 4,0 độ.[76]Cấp sao biểu kiến là một thang đo logarit thông dụng khác, dùng để đo độ sáng của các ngôi sao qua logarit.[77] Một ví dụ khác nữa làpH tronghóa học; pH là số đối của logarit thập phân của hoạt độ của các ionhydroni H3O+ trong dung dịch.[78] Hoạt độ của các ion hydroni trong nước cất là 10−7 mol·L−1, nên pH của nước cất là 7. Giấm thường có pH là khoảng 3. Hiệu số bằng 4 tương đương với tỉ lệ hoạt độ của H3O+ trong một chất lớn hơn chất còn lại104 lần, tức là hoạt độ của các ion hydroni trong giấm là khoảng 10−3 mol·L−1.
Đồ thị bán logarit (logarit-tuyến tính) ứng dụng logarit theo cách trực quan: một trục (thường là trục tung) được chia tỉ lệ theo logarit. Chẳng hạn, đồ thị ở bên phải thu nhỏ mức tăng từ 1 triệu lên 1 nghìn tỷ xuống cùng độ dài (trên trục tung) so với mức tăng từ 1 lên 1 triệu. Ở những đồ thị như vậy, cáchàm mũ dạngf(x) =a ·bx là đường thẳng vớihệ số góc bằng với logarit củab.Đồ thị logarit chia tỉ lệ cả hai trục theo logarit, nên hàm mũ dạngf(x) =a ·xk là đường thẳng có hệ số góc bằng với số mũk. Nó được ứng dụng trong việc nghiên cứu cácquy tắc lũy thừa.[79]
Logarit xuất hiện trong các luật liên quan đếntri giác con người.[80][81]Định luật Hick nhấn mạnh mối liên hệ logarit giữa thời gian mà một người bỏ ra để chọn một phương án và số lựa chọn mà người đó có.[82]Định luật Fitts dự đoán rằng thời gian cần để di chuyển nhanh đến một vùng mục tiêu là một hàm logarit của quãng đường đến vùng đó và kích thước của mục tiêu.[83] Trongtâm vật lý học,định luật Weber–Fechner nhắc đến mối liên hệ logarit giữa kích thích vàgiác quan, chẳng hạn như khối lượng thực tế so với khối lượng cảm giác của một vật mà một người đang cầm.[84] (Tuy nhiên "định luật" này thiếu thực tế so với các mô hình mới hơn, chẳng hạn nhưđịnh luật lũy thừa của Stevens.[85])
Các nghiên cứu về tâm lý học cho thấy những người ít được giáo dục về toán học thường ước lượng các đại lượng theo logarit, tức là họ đặt một số trên một đường thẳng không được đánh dấu dựa trên logarit của nó sao cho 10 gần với 100 như khi 100 gần với 1000. Khi được đào tạo kỹ càng hơn, họ có xu hướng chuyển sang ước lượng tuyến tính (đặt 1000 xa hơn 10 lần) trong một số trường hợp, trong khi logarit được dùng thay thế khi các số cần đặt quá lớn.[86][87]
Bahàm mật độ xác suất (PDF) của biến ngẫu nhiên và phân phối loga chuẩn của chúng. Tham số vị tríμ, vốn bằng 0 với cả ba hàm trên, là trung bình của logarit biến ngẫu nhiên, không phải là trung bình của biến đó.Biểu đồ thể hiện tần suất xuất hiện của chữ số đầu tiên trong dữ liệudân số của 237 quốc gia trên thế giới. Các chấm đen chỉ phân bố do luật Benford dự đoán.
Logarit cũng xuất hiện trongphân phối loga chuẩn. Khi logarit của mộtbiến ngẫu nhiên có mộtphân phối chuẩn, biến đó được gọi là có một phân phối loga chuẩn.[89] Phân phối loga chuẩn thường gặp trong nhiều lĩnh vực khi một biến là tích của nhiều biến dương độc lập ngẫu nhiên, chẳng hạn như trong nghiên cứu sự nhiễu loạn.[90]
Logarit được dùng trong phéphợp lý cực đại của cácmô hình thống kê tham số. Với một mô hình như vậy,hàm khả năng phụ thuộc vào ít nhất mộttham số cần được lấy gần đúng. Giá trị lớn nhất của hàm khả năng xảy ra tại cùng giá trị tham số với giá trị lớn nhất của logarit của khả năng đó ("hợp lý logarit"), vì logarit là hàm số tăng. Giá trị lớn nhất của hợp lý logarit là dễ tìm hơn đặc biệt với các khả năng được nhân cho biếnđộc lập ngẫu nhiên.[91]
Luật Benford mô tả sự xuất hiện của các chữ số trong nhiềubộ dữ liệu, chẳng hạn như chiều cao của các tòa nhà. Theo luật này thì xác suất để chữ số đầu tiên của một dữ liệu trong bộ dữ liệu đó làd (từ 1 đến 9) bằnglog10(d + 1) − log10(d)bất kể đơn vị đo.[92] Vì vậy, khoảng 30% dữ liệu có thể bắt đầu bằng chữ số 1, khoảng 18% bắt đầu bằng chữ số 2... Các kiểm toán viên thường đối chiếu dữ liệu với luật Benford để phát hiện các hành vi gian lận trong kế toán.[93]
Chẳng hạn, để tìm một số trong một mảng đã sắp xếp, thuật toántìm kiếm nhị phân sẽ kiểm tra phần tử đứng giữa mảng và tiếp đến kiểm tra nửa khoảng nằm trước hoặc nằm sau phần tử đứng giữa nếu không tìm thấy số đó. Thuật toán này cần trung bìnhlog2(N) bước so sánh vớiN là số phần tử của mảng.[96] Tương tự, thuật toánsắp xếp trộn sắp xếp một mảng bằng cách chia đôi thành hai mảng con và sắp xếp chúng trước khi gộp lại các kết quả.Thuật toán sắp xếp trộn thường tốn một khoảng thời gianxấp xỉ tỉ lệ thuận vớiN · log(N).[97] Cơ số của logarit không được nhắc đến cụ thể, vì kết quả chỉ thay đổi theo một hằng số nhất định khi dùng cơ số khác. Người ta không quan tâm đến hằng số đó khi phân tích thuật toán dướimô hình chi phí thống nhất tiêu chuẩn.[98]
Một hàm sốf(x) được gọi làhàm số tăng logarit nếuf(x) tỉ lệ thuận với logarit củax. (Tuy nhiên, một số tài liệu sinh học sử dụng thuật ngữ này đối với hàm mũ khi viết về sự sinh trưởng của sinh vật.[99]) Chẳng hạn, mọisố tự nhiênN đều có thể được biểu diễn dướidạng nhị phân sử dụng không quálog2(N) + 1bit. Nói cách khác, lượngbộ nhớ cần dùng để lưu trữN tăng theo logarit củaN.
Một mô hìnhbàn bida. Hai hạt điểm bắt đầu chuyển động từ vị trí trung tâm với hai góc sai khác nhau 1 độ, sau đó tách ra di chuyển hỗn loạn do sựphản xạ trên thành bàn.
Entropy là một phép đo về sự hỗn loạn của một hệ. Trongcơ học thống kê, entropyS của một hệ vật lý được xác định là
Tổng này được lấy trên tất cả các trạng tháii của hệ được xét, chẳng hạn như vị trí của các phân tử khí trong bình chứa, trong đópi là xác suất để hệ nằm ở trạng tháii vàk làhằng số Boltzmann. Tương tự,entropy thông tin mô tả mức độ hỗn loạn của thông tin. Nếu người nhận một thông điệp kỳ vọng nhận được bất kỳ trong sốN thông điệp có thể với khả năng giống nhau thì lượng thông tin truyền tải bởi một thông điệp như vậy được định lượng làlog2(N) bit.[100]
Lũy thừa Lyapunov sử dụng logarit để đo mức độ hỗn loạn của mộthệ thống động lực. Chẳng hạn, khi mộtchất điểm di chuyển trên mộtbàn bida, chỉ một thay đổi rất nhỏ về góc cũng có thể làm thay đổi hoàn toàn hướng đi của chất điểm đó. Hệ thống như vậyhỗn loạn một cáchtất định, vì những sai sót nhỏ ở điều kiện ban đầu thường dẫn đến những kết quả khác hẳn nhau.[101] Ít nhất một lũy thừa Lyapunov của một hệ hỗn loạn tất định có giá trị dương.
Tam giác Sierpinski (bên phải) được tạo nên bằng cách lặp đi lặp lại việc thay thế mộttam giác đều bằng ba tam giác đều nhỏ hơn.
Logarit xuất hiện trong định nghĩa về số chiềuphân dạng.[102] Phân dạng là một đối tượng hình học có cấu trúctự đồng dạng: mỗi hình nhỏ hơn đều trông giống như hình tổng thể.Tam giác Sierpinski (hình bên) được tạo ra từ ba bản sao của chính nó, mỗi hình có cạnh bằng một nửa hình ban đầu. Theo đó,số chiều Hausdorff của cấu trúc này làln(3)/ln(2) ≈ 1,58. Một khái niệm khác về số chiều dựa trên logarit được suy ra bởi việcđếm số hình vuông đơn vị để bao phủ hết bề mặt phân dạng được xét.
Bốn quãng tám khác nhau trên thang đo tuyến tính và thang đo logarit.
Logarit có liên hệ đếncung vàquãng trong âm nhạc. Tronghệ thống âm tự nhiên, tỉ lệ tần số chỉ phụ thuộc vào quãng giữa haitông nhạc, không phụ thuộc vào tần số haycao độ của từng tông cụ thể. Chẳng hạn,nốt A có tần số là 440Hz vànốt B♭ có tần số là 466 Hz. Quãng giữa nốt A và nốt B♭ lànửa cung, giống như quãng giữa nốt B♭ vànốt B (tần số 493 Hz), vì tỉ lệ tần số của hai quãng trên gần bằng nhau:
Do đó, logarit có thể được dùng để miêu tả các quãng: một quãng được đo theo đơn vị nửa cung bằng cách lấy logarit cơ số21/12 của tỉ lệtần số, trong khi logarit cơ số21/1200 của nó đo quãng đó theocent, bằng một phần trăm so với nửa cung.[103]
trong đó "gần đúng" ở đây có nghĩa là tỉ số giữaπ(x) vàx/ln(x) tiệm cận về 1 khix tiến dần ra vô hạn.[104] Nói cách khác, xác suất để một số được chọn ngẫu nhiên nằm giữa 1 vàx là số nguyên tốtỉ lệ nghịch với số chữ số củax. Một xấp xỉ chính xác hơn nữa củaπ(x) được cho bởihàm tích phân logarit bùLi(x), được định nghĩa là
được gọi làlogarit phức củaz, vớiz là một số phức. Mỗi số phức thường có dạngz = x + iy vớix vày là số thực vài làđơn vị ảo (căn bậc hai của −1). Một số như vậy có thể được biểu diễn bằng một điểm trongmặt phẳng phức như hình bên phải. Mặt phẳng phức thường biểu thị một số phứcz khác không theogiá trị tuyệt đối của nó, tức là khoảng cáchr đến điểm gốc, và một góc hợp bởi trục hoành thựcRe và đường thẳng đi qua gốc tọa độ vàz. Góc này được gọi làargumen củaz.
Giá trị tuyệt đốir củaz được tính bằng
Áp dụng biểu diễn hình học của và và tính tuần hoàn của chúng với chu kỳ, mỗi số phứcz cũng có thể được biểu diễn dưới dạng
vớik là số nguyên. Rõ ràng argumen củaz không phải là duy nhất: cảφ vàφ' =φ + 2kπ đều là argumen củaz với mọi số nguyênk, vì thêm 2kπradian hoặck⋅360° vàoφ tức là "quay" gócφ quanh gốc tọa độk vòng.[nb 7] Số phức cuối cùng luôn làz, như được minh họa trong hình bên phải vớik = 1. Ta có thể chọn đúng một trong số các argumen củaz làmargumen chính, ký hiệu làArg(z) với chữ cáiA in hoa, bằng cách giới hạnφ xuống một vòng quay nhất định, chẳng hạn như[107] hoặc[108] Các nửa khoảng này được gọi lànhánh đơn trị chính của hàm argumen.
Miền tô màu của logarit phứcLog(z). Điểm màu đen tạiz = 1 tương ứng với giá trị tuyệt đối bằng không. Màu sáng hơn, sẫm hơn biểu thị giá trị tuyệt đối lớn hơn. Sắc độ của màu chỉ argumen củaLog(z).
Áp dụng công thức trên và tính chất tuần hoàn, ta có:[109]
vớiln(r) là logarit tự nhiên thực duy nhất,ak là logarit phức củaz vàk là một số nguyên bất kỳ. Do đó, logarit phức củaz, bao gồm tất cả các số phứcak sao cho lũy thừa bậcak củae bằngz, là một tập hợp vô số các giá trịak thỏa mãn
vớik là một số nguyên.
Đặtk sao cho nằm trong các nửa khoảng được xác định như trên thìak được gọi làgiá trị chính của logarit phức, ký hiệu làLog(z) với chữ cáiL in hoa. Argumen chính của mọi số thực dươngx bằng 0; do đóLog(x) là một số thực bằng với logarit tự nhiên thực. Tuy vậy, các công thức về logarit của một tích hay lũy thừakhông áp dụng được cho giá trị chính của logarit phức.[110]
Hình bên phải miêu tả miền tô màu củaLog(z), trong đóz được giới hạn về nửa khoảng(-π,π]. Có thể thấy nhánh đơn trị tương ứng của logarit phức bị đứt đoạn trên toàn bộ phần âm của trục hoành thực, tại đó sắc độ thay đổi bất chợt. Sự đứt đoạn này nảy sinh từ việc chuyển sang phân vùng khác trong cùng một nhánh khi đi qua một đường biên (không chuyển qua giá trịk tương ứng của nhánh lân cận). Mộtquỹ tích như vậy được gọi lànhánh cắt. Hiện tượng này chỉ có thể bị phá vỡ bằng cách loại bỏ điều kiện của argumen, và khi đó argumen củaz và logarit của nó đều trở thànhhàm đa trị.
Trongnhóm hữu hạn, lũy thừa là nhân lặp đi lặp lại một phần tửb trong nhóm với chính nó.Logarit rời rạc là nghiệm nguyênn của phương trình
vớix là một phần tử trong nhóm. Phép lũy thừa rời rạc có thể dễ dàng thực hiện được, nhưng logarit rời rạc được cho là khó tính được trong một số nhóm. Tính bất đối xứng này có những ứng dụng quan trọng trongmật mã hóa khóa công khai, chẳng hạn như trongtrao đổi khóa Diffie–Hellman, một phương pháp cho phép trao đổi khóamật mã một cách bảo mật trên các kênh thông tin không an toàn.[114]Logarit Zech có liên hệ với logarit rời rạc đối với nhóm nhân của các phần tử khác không trong mộttrường hữu hạn.[115]
^Chứng minh:Lấy logarit cơ sốk của cả hai vế trong đồng nhất thức ta được Biểu diễn lại kết quả này theo cho ta công thức đổi cơ số.
^Một số nhà toán học không chấp nhận ký hiệu này. Trong cuốn tự truyện năm 1985, Paul Halmos chỉ trích thứ mà ông gọi là "ký hiệu ln trẻ con" và cho rằng chưa có nhà toán học nào từng sử dụng nó.[14]Ký hiệu này được tìm ra bởi nhà toán học Irving Stringham.[15][16]
^Fiche, Georges; Hebuterne, Gerard (2013),Mathematics for Engineers, John Wiley & Sons, tr. 152,ISBN978-1-118-62333-6,In the following, and unless otherwise stated, the notationlogx always stands for the logarithm to the base2 ofx.
^Xem chú thích 1 trongPerl, Yehoshua; Reingold, Edward M. (tháng 12 năm 1977), "Understanding the complexity of interpolation search",Information Processing Letters,6 (6):219–22,doi:10.1016/0020-0190(77)90072-2
^Halmos, Paul (1985),I Want to Be a Mathematician: An Automathography, Berlin, New York: Springer-Verlag,ISBN978-0-387-96078-4
^Joseph, G. G. (2011),The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (ấn bản thứ 3), Princeton University Press, tr. 352,ISBN978-0-691-13526-7.
^Pierce Jr., R. C. (tháng 1 năm 1977), "A Brief History of Logarithms",The Two-Year College Mathematics Journal,8 (1), Mathematical Association of America:22–26,doi:10.2307/3026878,JSTOR3026878
^Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., biên tập (1972),Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (ấn bản thứ 10), New York:Dover Publications,ISBN978-0-486-61272-0, mục 4.7., tr. 89
^Spiegel, Murray R.; Moyer, R.E. (2006),Schaum's outline of college algebra, Schaum's outline series, New York:McGraw-Hill, tr. 264,ISBN978-0-07-145227-4
^Muller, Jean-Michel (2006),Elementary functions (ấn bản thứ 2), Boston, MA: Birkhäuser Boston,ISBN978-0-8176-4372-0, chương 4.2.2 (tr. 72) và 5.5.2 (tr. 95)
^Hart; Cheney; Lawson; và đồng nghiệp (1968),Computer Approximations, SIAM Series in Applied Mathematics, New York: John Wiley,ISBN978-0471356301, mục 6.3, tr. 105–111
^Zhang, M.; Delgado-Frias, J.G.; Vassiliadis, S. (1994), "Table driven Newton scheme for high precision logarithm generation",IEE Proceedings - Computers and Digital Techniques,141 (5):281–92,doi:10.1049/ip-cdt:19941268,ISSN1350-2387, mục 1
^Ahrendt, Timm (1999), "Fast Computations of the Exponential Function",Stacs 99, Lecture notes in computer science, quyển 1564, Berlin, New York: Springer, tr. 302–12,doi:10.1007/3-540-49116-3_28,ISBN978-3-540-65691-3
^Maling, George C. (2007), "Noise", trong Rossing, Thomas D. (biên tập),Springer handbook of acoustics, Berlin, New York:Springer-Verlag,ISBN978-0-387-30446-5, mục 23.0.2
^Crauder, Bruce; Evans, Benny; Noell, Alan (2008),Functions and Change: A Modeling Approach to College Algebra (ấn bản thứ 4), Boston: Cengage Learning,ISBN978-0-547-15669-9, mục 4.4.
^Breiman, Leo (1992),Probability, Classics in applied mathematics, Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics,ISBN978-0-89871-296-4, mục 12.9
^Rose, Colin; Smith, Murray D. (2002),Mathematical statistics with Mathematica, Springer texts in statistics, Berlin, New York:Springer-Verlag,ISBN978-0-387-95234-5, mục 11.3
^Helmberg, Gilbert (2007),Getting acquainted with fractals, De Gruyter Textbook, Berlin, New York: Walter de Gruyter,ISBN978-3-11-019092-2
^Wright, David (2009),Mathematics and music, Providence, RI: AMS Bookstore,ISBN978-0-8218-4873-9, chương 5
^Bateman, P.T.; Diamond, Harold G. (2004),Analytic number theory: an introductory course, New Jersey: World Scientific,ISBN978-981-256-080-3,OCLC492669517, định lý 4.1
^Higham, Nicholas (2008),Functions of Matrices. Theory and Computation, Philadelphia, PA: SIAM,ISBN978-0-89871-646-7, chương 11.
^Neukirch, Jürgen (1999),Algebraic Number Theory, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, quyển 322, Berlin: Springer-Verlag,ISBN978-3-540-65399-8, mục II.5.
^Cherkassky, Vladimir; Cherkassky, Vladimir S.; Mulier, Filip (2007),Learning from data: concepts, theory, and methods, Wiley series on adaptive and learning systems for signal processing, communications, and control, New York:John Wiley & Sons,ISBN978-0-471-68182-3, tr. 357
Glaisher, James Whitbread Lee (1911)."Logarithm" . Trong Chisholm, Hugh (biên tập).Encyclopædia Britannica. Quyển 16 (ấn bản thứ 11). Cambridge University Press. tr. 868–77.
