Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Bước tới nội dung
WikipediaBách khoa toàn thư mở
Tìm kiếm

Hyperbol

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Trong toán học,hyperbol hayhypecbol (từtiếng Hy Lạp: ὑπερβολή, nghĩa đen là "vượt quá" hay "thái quá") là một kiểuĐường cô-nic, được định nghĩa là đường giao của mộtmặt nón với mộtmặt phẳng cắt cả hai nửa của hình nón.

Đường hyperbol còn được nghĩa định làquỹ tích của những điểm trong mặt phẳng có giá trị tuyết đối của hiệu khoảng cách tới hai điểm cố định là mộthằng số bằng 2a.a đồng thời cũng bằng độ dàibán trục lớn của Hyberbol. Hai điểm cố định đó gọi là hai tiêu điểm của hyperbol. Đường thẳng đi qua hai tiêu điểm này được gọi là trục thực của hyberbol vàtrung điểm củađoạn thẳng nối hai tiêu điểm này được gọi là tâm của hình hyperbol.

Hình hyperbol được tạo bởi giao của mộtmặt phẳng với mộtmặt nón

Trong đại số, đường hyperbol là một đường cong trênmặt phẳng Descartes được định nghĩa bằng công thức tổng quát

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0{\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}

vớiB2>4AC{\displaystyle B^{2}>4AC}, trong đó A, B, C, D, E đều là các hệ số thực, và có nhiều hơn một cách giải, với mỗi điểm (x, y) thuộc hình Hyperbol.

Định nghĩa

[sửa |sửa mã nguồn]

Hình hyberbol có thể được định nghĩa theo 3 cách:

  • Đường giao tạo bởi hai mặt nón với một mặt phẳng khi mặt phẳng cắt cả hai hình nón.
  • Quỹ tích của các điểm mà hiệu khoảng cách tới hai điểm cho trước (hai tiêu điểm) là mộthằng số.
  • Quỹ tích của các điểm thỏa mãn tỉ lệ khoảng cách từ điểm đó đến tiêu điểm trên khoảng cách từ điểm đó đến mộtđường thẳng (được gọi là đường chuẩn) là mộthằng số lớn hơn 1.Hằng số này được gọi là tâm sai của hyberbol.

Đường hyperbol có hai nhánh với hai tiêu điểm và haiđường tiệm cận. Hai đường tiệm cận đi qua tâm của hình hyperbol có phương trìnhy=bxa{\displaystyle y={\frac {bx}{a}}} vày=−bxa{\displaystyle y=-{\frac {bx}{a}}}

Đường hyperbol có tính chất là mộttia bắt đầu tại một tiêu điểm sẽ bịphản xạ qua giao điểm của nó với hyperbol (đườngtiếp tuyến với hyperbol tại điểm đó là đường pháp tuyến) tạo thành mộtđường thẳng đi qua tiêu điểm còn lại, và ngược lại.

Các hình mà theo tên tiếng Anh làrectangular hyperbola (xanh lam và xanh lá cây) và các đường tiệm cận (đỏ)

Trường hợp đặc biệt của hyperbol theo tên tiếng Anh được gọi làrectangular hyperbola khi hai đường tiệm cận tạo thành mộtgóc vuông. Hình hyperbol đều với trục tọa độ là cácđường tiệm cận được xác định bởi công thứcxy=c2{\displaystyle c^{2}}, trong đóc là một hằng số (theo hình bên dưới). Điểm nằm trên Hyperbol gần gốc tọa độ nhất có tọa độ là(c,c){\displaystyle ({\sqrt {c}},{\sqrt {c}})}. Đồng thời, đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm đó thì vuông góc với tiếp tuyến tại điểm đó.

Vìhàm số sin vàhàm số cos làhàm lượng giác dành cho đườngelíp, nên hàm sin của hyperbol và hàm cos của hyperbol làhàm lượng giác của hyperbol.

Công thức

[sửa |sửa mã nguồn]

Hình hyper tuyển

[sửa |sửa mã nguồn]

Hình Hyperbol nằm theo hướng Đông-Tây với tâm có tọa độ là (h,k):

(x−h)2a2−(y−k)2b2=1{\displaystyle {\frac {\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}}=1}

Phương trình chính tắc của đường hyperbol tronghệ tọa độ Descartes khi có tâm trùng với gốc tọa độ:

(x)2a2−(y)2b2=1{\displaystyle {\frac {\left(x\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(y\right)^{2}}{b^{2}}}=1}

Trong đóc2=a2+b2{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}} và 2c là tiêu cự

  • Trục thực của hyperbol đi qua tâm của hình hyperbol và cắt các nhánh tại các đỉnh của mỗi nhánh. Các tiêu điểm cũng nằm trên đường thẳng chứatrục thực của hyperbol.
  • Trục ảo vuông góc vớitrục thực tại tâm của hyperbol.
  • Hình chữ nhật cơ sở là hình chữ nhật có các đỉnh nằm trên các đường tiệm cận và có hai cạnh là hai tiếp tuyến của hyberbol, độ dài của hai cạnh này bằng2b đơn vị độ dài, hai cạnh còn lại song song với trục thực có độ dài bằng2a đơn vị độ dài. Chú ý rằngb có thể lớn hơna.

Tính khoảng cách từ một điểm bất kì tới hai tiêu điểm, hiệu hai giá trị này luôn luôn bằng2a.

  • Tâm sai được tính bằng công thức
ε=1+b2a2=sec⁡(arctan⁡(ba))=cosh⁡(arsinh⁡(ba)){\displaystyle \varepsilon ={\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}=\sec \left(\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)\right)=\cosh \left(\operatorname {arsinh} \left({\frac {b}{a}}\right)\right)}

Nếuc bằng khoảng cách từ tâm cho đến mỗi tiêu điểm, ta có

ε=ca{\displaystyle \varepsilon ={\frac {c}{a}}}

trong đó

c=a2+b2{\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.

Khoảng cáchc được hiểu là nửatiêu cự của hyperbol. Khoảng cách giữa hai tiêu điểm (tiêu cự) bằng 2c hay 2aε.

  • Tiêu điểm của đường hyperbol nằm theo hướng Đông-Tây được xác định bởi công thức:
(h±c,k){\displaystyle \left(h\pm c,k\right)}

và đối với đường hyperbol Bắc-Nam được xác định bởi công thức

(h,k±c){\displaystyle \left(h,k\pm c\right)}.
  • Đường chuẩn của đường hyperbol nằm theo hướng Đông-Tây được xác định bởi công thức
x=h±acos⁡(arctan⁡(ba)){\displaystyle x=h\pm a\;\cos \left(\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)\right)}

và đối với đường hyperbol nằm theo hướng Bắc-Nam được xác định bởi công thức

y=k±acos⁡(arctan⁡(ba)){\displaystyle y=k\pm a\;\cos \left(\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)\right)}.

Hình hyperbol đều

[sửa |sửa mã nguồn]
Hình của hyperbol đềuy=1x{\displaystyle y={\frac {1}{x}}}.

Đối với đường hyperbol đều có trục tọa song song với các đường tiệm cận:

(x−h)(y−k)=c{\displaystyle (x-h)(y-k)=c\,}

Ví dụ đơn giản nhất của hình hyperbol đều

y=mx{\displaystyle y={\frac {m}{x}}\,}.

Cực của đường hyperbol

[sửa |sửa mã nguồn]

Hình hyperbol nằm theo hướng đông-tây:

r2=asec⁡2θ{\displaystyle r^{2}=a\sec 2\theta \,}

Hình hyperbol nằm theo hướng bắc-nam:

r2=−asec⁡2θ{\displaystyle r^{2}=-a\sec 2\theta \,}

Hình hyperbol nằm theo hướng Đông Bắc-Tây Nam:

r2=acsc⁡2θ{\displaystyle r^{2}=a\csc 2\theta \,}

Hình hyperbol nằm theo hướng Tây Bắc-Đông Nam

r2=−acsc⁡2θ{\displaystyle r^{2}=-a\csc 2\theta \,}

Hàm số

[sửa |sửa mã nguồn]

Hình hyperbol nằm theo hướng Đông-Tây

x=asec⁡t+hy=btan⁡t+korx=±acosh⁡t+hy=bsinh⁡t+k{\displaystyle {\begin{matrix}x=a\sec t+h\\y=b\tan t+k\\\end{matrix}}\qquad \mathrm {or} \qquad {\begin{matrix}x=\pm a\cosh t+h\\y=b\sinh t+k\\\end{matrix}}}

Hình hyperbol nằm theo hướng Bắc-Nam:

x=atan⁡t+hy=bsec⁡t+korx=asinh⁡t+hy=±bcosh⁡t+k{\displaystyle {\begin{matrix}x=a\tan t+h\\y=b\sec t+k\\\end{matrix}}\qquad \mathrm {or} \qquad {\begin{matrix}x=a\sinh t+h\\y=\pm b\cosh t+k\\\end{matrix}}}

Trong công thức (h,k) là tọa độ tâm của hyperbol,a bằng nửa độ dài trục thực, vàb bằng nửa độ dài trục ảo.

Hyperbol chữ nhật

[sửa |sửa mã nguồn]
A graph of the rectangular hyperbolay=1x{\displaystyle y={\tfrac {1}{x}}}, thereciprocal function

Hyperbol chữ nhật,hyperbol đều, hoặchyperbol vuông là một hyperbol với haiđường tiệm cậnvuông góc.[1]

Phương trình của Hyperbol chữ nhật trong hệ trục tọa độ song song với hai đường tiệm cận:

(x−h)(y−k)=m{\displaystyle (x-h)(y-k)=m\,\,\,}.

Phương trình tối giản của hyperbol chữ nhật có dạng sau đây:

y=mx{\displaystyle y={\frac {m}{x}}\,}

Mộtconic ngoại tiếp đi quatrực tâm của mộttam giác là một hyperbol chữ nhật.[2]

Định lý Feuerbach phát biểu rằng nếu một hyperbol chữ nhật đi qua ba điểm A,B,C thì tâm của hyperbol này nằm trênđường tròn chín điểm củatam giác ABC.

Một hyperbol chữ nhật đi qua ba điểm A,B,C và cắtđường tròn ngoại tiếptam giác ABC tại T thì tâm của hyperbol này làtrung điểm của đoạn thẳng nối trực tâmtam giác ABC và T.[3]

Trongtam giác có ba đường hyperbol chữ nhật nổi tiếng làhyperbol Kiepert,hyperbol Jerabek vàhyperbol Feuerbach.

Xem thêm

[sửa |sửa mã nguồn]

Chú thích

[sửa |sửa mã nguồn]
  1. ^“Rectangular Hyperbola”. Truy cập 8 tháng 10 năm 2015.
  2. ^Weisstein, Eric W. "Jerabek Hyperbola." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.http://mathworld.wolfram.com/JerabekHyperbola.htm[liên kết hỏng]
  3. ^https://cms.math.ca/crux/v39/n7/Lưu trữ 2015-03-31 tạiWayback Machine vấn đề 3869 Volumm 39 tạp chí toán học Crux Mathematicorum

Tham khảo

[sửa |sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài

[sửa |sửa mã nguồn]
Wikimedia Commons có thêm hình ảnh và phương tiện truyền tải vềHyperbol.
Lấy từ “https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Hyperbol&oldid=71224877”
Thể loại:
Thể loại ẩn:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp