Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Bước tới nội dung
WikipediaBách khoa toàn thư mở
Tìm kiếm

Giá trị tuyệt đối

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bài viết nàycần thêmchú thích nguồn gốc đểkiểm chứng thông tin. Mời bạn giúphoàn thiện bài viết này bằng cách bổ sung chú thích tớicác nguồn đáng tin cậy. Các nội dung không có nguồn có thể bị nghi ngờ và xóa bỏ. (Tìm hiểu cách thức và thời điểm xóa thông báo này)
Đồ thị hàm sốy = |x|

Giá trị tuyệt đối(tiếng Anh:Absolute value) - còn thường được gọi làmô-đun (modulus) của mộtsố thựcx được viết là |x|, là giá trị của nó nhưng bỏ dấu. Như vậy |x| = -x nếux là số âm (-x là số dương), và |x| =x nếux là số dương, và |0| =0. Giá trị tuyệt đối của một số có thể hiểu làkhoảng cách của số đó đến số 0.

Trong toán học, việc sử dụng giá trị tuyệt đối có trong hàng loạt hàm toán học, và còn được mở rộng cho cácsố phức,véctơ,trường,... liên hệ mật thiết với khái niệmgiá trị.

Đồ thị của mộthàm số có các biến số nằm trong dấu "giá trị tuyệt đối" thì luôn luôn nằm phía trên củatrục hoành.

Số thực

[sửa |sửa mã nguồn]

Với mọi số thựca{\displaystyle a}, giá trị tuyệt đối củaa{\displaystyle a} - ký hiệu là|a|{\displaystyle |a|} - được định nghĩa:

|a|={a,ne^´u a≥0−a,ne^´u a<0.{\displaystyle \left|a\right|={\begin{cases}a,&{\mbox{n}}{\acute {\hat {\mbox{e}}}}{\mbox{u}}\ a\geq 0\\-a,&{\mbox{n}}{\acute {\hat {\mbox{e}}}}{\mbox{u}}\ a<0.\end{cases}}}

Định nghĩa trên cho thấy, giá trị tuyệt đối củaa{\displaystyle a} luôn là một số không âm.

Giá trị tuyệt đối của -3 là khoảng cách từ điểm -3 đến điểm 0 trên đường thẳng thực.

Hiểu theo góc độhình học, giá trị tuyệt đối của một số thực là khoảng cách từ số đó đến điểm 0 trênđường thẳng thực (real number line, còn gọi làtrục số thực). Tổng quát hơn, giá trị tuyệt đối giữa hai số thực khác nhau là khoảng cách giữa chúng trên đường thẳng thực, ví dụ: |5 - 3| = 2 (khoảng cách giữa 5 và 3).

Mệnh đề 1 dưới đây là mộtđồng nhất thức (identity). Nó tương đương với định nghĩa trên và đôi khi có thể được sử dụng để định nghĩa về giá trị tuyệt đối.

MỆNH ĐỀ 1:

|a|=a2.{\displaystyle |a|={\sqrt {a^{2}}}.}

MỆNH ĐỀ 2:

|a|≥0{\displaystyle \left|a\right|\geq 0}Tính không âm
|a|=0⇔a=0{\displaystyle \left|a\right|=0\Leftrightarrow a=0}Xác định tính dương
|ab|=|a||b|{\displaystyle |ab|=|a||b|\,}Tính kết hợp
|a+b|≤|a|+|b|{\displaystyle |a+b|\leq |a|+|b|}Subadditivity

Chứng minh:

a=0⟺|a+b|=|0+b|=|0|+|b|=|a|+|b|{\displaystyle a=0\iff |a+b|=|0+b|=|0|+|b|=|a|+|b|}
|a+b|=|a|+|b|{\displaystyle |a+b|=|a|+|b|}

Vì|a|{\displaystyle |a|} và|b|{\displaystyle |b|} đều lớn hơn 0 nên|a|−|b|{\displaystyle |a|-|b|} hoặc|b|−|a|{\displaystyle |b|-|a|} đều nhỏ hơn tổng|a|+|b|{\displaystyle |a|+|b|}.Vậy ta luôn có:|a+b|≤|a|+|b|{\displaystyle |a+b|\leq |a|+|b|}.

MỆNH ĐỀ 3:

|−a|=|a|{\displaystyle |-a|=|a|\,}Tính đối xứng
|a−b|=0⟺a=b{\displaystyle |a-b|=0\iff a=b}Đẳng thức indiscernibles (tương đương với xác định dương)
|a−b|≤|a−c|+|c−b|{\displaystyle |a-b|\leq |a-c|+|c-b|}Bất đẳng thức tam giác (tương đương với subadditivity)
|ab|=|a||b| (ne^´u b≠0){\displaystyle |{\frac {a}{b}}|={\frac {|a|}{|b|}}\ ({\mbox{n}}{\acute {\hat {\mbox{e}}}}{\mbox{u}}\ b\neq 0)\,}Bảo toàn trong phép chia (tương đương với multiplicativeness)
|a−b|≥|a|−|b|{\displaystyle |a-b|\geq |a|-|b|}Điều phải chứng minh (Articles need to prove)

Ta cũng có haibất đẳng thức (inequalities) quan trọng:

|a|≤b⟺−b≤a≤b{\displaystyle |a|\leq b\iff -b\leq a\leq b}
|a|≥b⟺a≤−b hoặc b≤a{\displaystyle |a|\geq b\iff a\leq -b\ {\mbox{hoặc}}\ b\leq a}

Hai bất đẳng thức trên thường được sử dụng để giải các bài toán bất đẳng thức khác. Ví dụ:

|x−3|≤9{\displaystyle |x-3|\leq 9}⟺−9≤x−3≤9{\displaystyle \iff -9\leq x-3\leq 9}
⟺−6≤x≤12{\displaystyle \iff -6\leq x\leq 12}

Số phức

[sửa |sửa mã nguồn]

Vìsố phức (complex number) không có thứ tự, nên định nghĩa về giá trị tuyệt đối của các số phức không thể được suy ra từ định nghĩa tương ứng của các số thực. Tuy nhiên, từ đồng nhất thức ở mệnh đề 1 (xem phần số thực ở trên), ta có định nghĩa sau:

Biểu diễn véc tơ số phức z = x + iy

Với mọi số phức:

z=x+yi,{\displaystyle z=x+yi,}

giá trị tuyệt đối hay mô-đun của z - ký hiệu là |z| - được định nghĩa là:

|z|=x2+y2.{\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}

Về góc độ hình học, ta thấy định nghĩa trên giống nhưđịnh lý Pitago:|z|2=x2+y2{\displaystyle |z|^{2}=x^{2}+y^{2}}

Tham khảo

[sửa |sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài

[sửa |sửa mã nguồn]
Lấy từ “https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Giá_trị_tuyệt_đối&oldid=73333810”
Thể loại:
Thể loại ẩn:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp