Movatterモバイル変換


[0]ホーム

URL:


Bước tới nội dung
WikipediaBách khoa toàn thư mở
Tìm kiếm

Diện tích

Đây là một bài viết cơ bản. Nhấn vào đây để biết thêm thông tin.
Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Diện tích
Diện tích hình vuông vàhình tròn bằng nhau.
Ký hiệu thường gặp
S
Đơn vị SImét vuông [m2]
Trong hệ SIm2
Thứ nguyênL2{\displaystyle {\mathsf {L}}^{2}}
Three shapes on a square grid
Tổng diện tích của 3 hình xấp xỉ 15.57 hình vuông đơn vị

Diện tích là đại lượng biểu thị phạm vi của hình hoặchìnhhai chiều hoặclamina phẳng, trongmặt phẳng.Diện tích bề mặt là tương tự của diện tích trênbề mặt hai chiều của một vật thểba chiều. Diện tích có thể được hiểu là lượng vật liệu có độ dày nhất định sẽ cần thiết để tạo kiểu cho mô hình hình dạng hoặc lượngsơn cần thiết để phủ lên bề mặt bằng một lớp sơn.[1] Nó là tương tự về mặt hai chiều đối vớichiều dài củađường cong (khái niệm một chiều) hoặcthể tích của vật rắn (khái niệm ba chiều).

Diện tích của hình có thể được đo bằng cách so sánh hình với cáchình vuông có kích thước cố định.[2] TrongHệ thống đơn vị quốc tế (SI), đơn vị diện tích tiêu chuẩn làmét vuông (viết là m²), là diện tích của một hình vuông có cạnh dài mộtmét.[3] Một hình có diện tích ba mét vuông sẽ có cùng diện tích với ba hình vuông như vậy. Trongtoán học,hình vuông đơn vị được xác định là có diện tích bằng một và diện tích của bất kỳ hình dạng hoặc bề mặt nào khác là mộtsố thựckhông thứ nguyên.

Có một sốcông thức nổi tiếng cho các diện tích có hình dạng đơn giản nhưhình tam giác,hình chữ nhậthình tròn. Sử dụng các công thức này, diện tích của bất kỳđa giác nào đều có thể được tính toán bằngcách chia đa giác thành các hình tam giác.[4] Đối với các hình có ranh giới cong,tích phân thường được dùng để tính diện tích. Thật vậy, vấn đề xác định diện tích các hình phẳng là một động lực chính cho sựphát triển lịch sử của tích phân.[5]

Đối với một hình dạng rắn nhưhình cầu,hình nón hoặchình trụ, diện tích bề mặt ranh giới của nó được gọi làdiện tích bề mặt.[1][6][7] Các công thức cho các diện tích bề mặt của các hình dạng đơn giản đã đượcngười Hy Lạp cổ đại tính toán, nhưng tính toán diện tích bề mặt của một hình dạng phức tạp hơn thường đòi hỏitích phân đa biến.

Diện tích đóng một vai trò quan trọng trong toán học hiện đại. Ngoài tầm quan trọng rõ ràng của nó tronghình học và tính toán, diện tích có liên quan đến định nghĩa cácyếu tố quyết định trongđại số tuyến tính, và là một tính chất cơ bản của các bề mặt tronghình học vi phân. Trong phân tích, diện tích của một tập hợp con của mặt phẳng được xác định bằng cách sử dụngthước đo Lebesgue,[8] mặc dù không phải mọi tập hợp con đều có thể đo được.[9] Nói chung, diện tích trong toán học cấp cao hơn được coi là một trường hợp đặc biệt về thể tích cho các vùng có hai chiều.[1]

Diện tích có thể được xác định thông qua việc sử dụng các tiên đề, xác định nó là một hàm của một tập hợp các hình mặt phẳng nhất định chiếu đến tập hợp các số thực. Nó có thể được chứng minh rằng một hàm như vậy là tồn tại.

Định nghĩa hình thức

[sửa |sửa mã nguồn]

Một cách tiếp cận để xác định ý nghĩa của "diện tích" là thông quacác tiên đề. "Diện tích" có thể được định nghĩa là một hàm a từ tập hợp M gồm các hình phẳng đặc biệt (gọi là tập hợp có thể đo được) đến tập các số thực, thỏa mãn các tính chất sau:

  • Với mọiS thuộcM thìa (S) ≥ 0.
  • NếuST nằm trongM thìSTST, vàa (ST) =a (S) +a (T) -a (ST).
  • NếuST nằm trongM vớiST thìT -S thuộcMa (T -S) =a (T) -a (S).
  • Nếu một tập hợpS thuộcMS đồng nhất vớiT thìT cũng thuộcMa (S) =a (T.
  • Mọi hình chữ nhậtR đều nằm trongM. Nếu hình chữ nhật có chiều dàih và chiều rộngk thìa (R) =hk.
  • GọiQ là một tập hợp nằm giữa hai vùng bướcST. Vùng bước được hình thành từ sự kết hợp hữu hạn của các hình chữ nhật liền kề nằm trên một cơ sở chung, tức làSQT. Nếu tồn tại một số duy nhấtc sao choa (S) ≤ c ≤a (T) đối với tất cả các vùng bướcST như vậy, thìa (Q) =c.

Có thể chứng minh rằng một hàm diện tích như vậy thực sự tồn tại.[10]

Đơn vị

[sửa |sửa mã nguồn]
A square made of PVC pipe on grass
Một mét vuôngô tiêu chuẩn làm bằng ống PVC.

Mọiđơn vị độ dài đều có một đơn vị diện tích tương ứng là diện tích hình vuông có độ dài cạnh bằng đơn vị độ dài đã cho. Do đó diện tích có thể được đo bằngmét vuông (m2), vuông cm (cm2), milimét vuông (mm2),kilômét vuông (km²),feet vuông (ft2), yard vuông (yd2),dặm vuông (mi2), v.v.[11] Về mặt đại số, các đơn vị này có thể được coi làbình phương của các đơn vị độ dài tương ứng.

Đơn vị diện tích SI là mét vuông, được coi là mộtđơn vị dẫn xuất SI.[3]

Chuyển đổi

[sửa |sửa mã nguồn]
A diagram showing the conversion factor between different areas
Mặc dù có 10 mm trong 1 cm, có 100 mm² trong 1 cm².

Tính diện tích của một hình vuông có chiều dài và chiều rộng là 1 mét sẽ là:

1 mét × 1 mét = 1 m²

và do đó, một hình chữ nhật có các cạnh khác nhau (giả sử chiều dài 3 mét và chiều rộng 2 mét) sẽ có diện tích tính bằng đơn vị hình vuông có thể được tính như sau:

3 mét × 2 mét = 6 m². Điều này tương đương với 6 triệu mm vuông. Các chuyển đổi hữu ích khác là:

  • 1 km vuông =1.000.000 mét vuông
  • 1 mét vuông =10.000 cm vuông = 1.000.000 mm vuông
  • 1 cm vuông =100 mm vuông.

Đơn vị không phải hệ mét

[sửa |sửa mã nguồn]

Trong đơn vị không thuộc hệ mét, việc chuyển đổi giữa hai đơn vị vuông làbình phương của việc chuyển đổi giữa các đơn vị chiều dài tương ứng.

1foot = 12inch,

mối quan hệ giữa feet vuông và inch vuông là

1 foot vuông = 144 inch vuông,

trong đó 144 = 122 = 12 × 12. Tương tự:

  • 1 yard vuông =9 feet vuông
  • 1 dặm vuông = 3.097.600 yard vuông = 27.878.400 feet vuông

Ngoài ra, các yếu tố chuyển đổi bao gồm:

  • 1 inch vuông = 6.4516 cm vuông
  • 1 foot vuông =0.09290304 mét vuông
  • 1 yard vuông =0.83612736 mét vuông
  • 1 dặm vuông =2.589988110336 km vuông

Các đơn vị khác bao gồm các đơn vị mang tính lịch sử

[sửa |sửa mã nguồn]

Có một số đơn vị phổ biến khác cho diện tích. A là đơn vị diện tích ban đầu tronghệ mét, với:

  • 1 a = 100 mét vuông

Mặc dù đã không còn sử dụng,hecta vẫn thường được sử dụng để đo đất:[12]

  • 1 hecta = 100 a = 10.000 mét vuông = 0,01 ki lô mét vuông

MẫuAnh cũng thường được sử dụng để đo diện tích đất

  • 1 mẫu Anh = 4,840 yard vuông = 43,560 feet vuông.

Một mẫu Anh là khoảng 40% của một hecta.

Trên quy mô nguyên tử, diện tích được đo bằng đơn vị barn:[13]

  • 1 barn = 10−28 mét vuông.

Barn được sử dụng phổ biến trong việc mô tả vùng tương tác mặt cắt ngang trongvật lý hạt nhân.[14]

Ở Ấn Độ,

  • 20 dhurki = 1 dhur
  • 20 dhur = 1 khatha
  • 20 khata = 1 bigha
  • 32 khata = 1 mẫu Anh

Lịch sử

[sửa |sửa mã nguồn]

Diện tích hình tròn

[sửa |sửa mã nguồn]

Vào thế kỷ thứ 5 trước Công nguyên,Hippocrates xứ Chios là người đầu tiên chỉ ra rằng diện tích của một cái đĩa (vùng được bao quanh bởi một vòng tròn) tỷ lệ với bình phương đường kính của nó, như một phần của việccầu phương của ông,[15] nhưng không xác định đượchằng số tỷ lệ.Eudoxus của Cnidus, cũng vào thế kỷ thứ 5 trước Công nguyên, cũng phát hiện ra rằng diện tích của một cái đĩa tròn tỷ lệ thuận với bình phương bán kính của nó.[16]

Sau đó, Quyển I củaCơ sở của Euclid đề cập đến sự bằng nhau về diện tích giữa các hình hai chiều. Nhà toán họcArchimedes sử dụng các công cụ củaEuclid để chứng minh rằng diện tích bên trong một vòng tròn là tương đương với của mộttam giác vuông có đáy là chiều dài của chu vi của vòng tròn và có chiều cao tương đương với bán kính của vòng tròn, trong cuốn sách của ôngĐo một hình tròn. (Chu vi là 2πr, và diện tích của một tam giác bằng một nửa đáy nhân với chiều cao, mang lại diện tíchπr2 cho hình tròn.) Archimedes đã tính gần đúng giá trị của π (và do đó là diện tích của một hình tròn bán kính đơn vị) bằngphương pháp nhân đôi của mình, trong đó ông nội tiếp một tam giác đều trong một vòng tròn và ghi nhận diện tích của nó, sau đó nhân đôi số cạnh để tạo ra mộthình lục giác đều., sau đó liên tục nhân đôi số cạnh khi diện tích của đa giác ngày càng gần với diện tích của hình tròn (và thực hiện tương tự vớiđa giác ngoại tiếp).

Nhà khoa học người Thụy SĩJohann Heinrich Lambert năm 1761 đã chứng minh rằngπ, tỷ số giữa diện tích hình tròn với bán kính bình phương của nó, làsố vô tỉ, nghĩa là nó không bằng thương số của hai số nguyên bất kỳ.[17] Năm 1794, nhà toán học người PhápAdrien-Marie Legendre đã chứng minh rằng π2 là vô tỉ; điều này cũng chứng tỏ rằng π là vô tỉ.[18] Năm 1882, nhà toán học người ĐứcFerdinand von Lindemann đã chứng minh rằng π làsố siêu việt (không phải lànghiệm của bất kỳphương trình đa thức nào với hệ số hữu tỉ), chứng minh này xác nhận một phỏng đoán của cảLegendre và Euler.[17]:p. 196

Diện tích tam giác

[sửa |sửa mã nguồn]

Heron (hay Hero) của Alexandria đã tìm ra cái được gọi làcông thức Heron cho diện tích tam giác tính theo các cạnh của nó, và một phép chứng minh có trong cuốn sách của ông,Metrica, được viết vào khoảng năm 60 CN. Có ý kiến cho rằngArchimedes đã biết công thức hơn hai thế kỷ trước đó,[19] và vìMetrica là tập hợp các kiến thức toán học có sẵn trong thế giới cổ đại, nên có thể công thức có trước tham chiếu được đưa ra trong công trình đó.[20]

Năm 499,Aryabhata, mộtnhà toán học -thiên văn học vĩ đại của thời đại cổ điển củatoán học Ấn Độthiên văn học Ấn Độ, đã biểu thị diện tích của một tam giác bằng một nửa đáy nhân với chiều cao trongAryabhatiya (phần 2.6).

Một công thức tương đương với Heron đã được người Trung Quốc tìm ra độc lập với người Hy Lạp. Nó được xuất bản vào năm 1247 trongShushu Jiuzhang ("Cửu chương toán thuật"), tác phẩm củaQin Jiushao.

Diện tích tứ giác

[sửa |sửa mã nguồn]

Trong thế kỷ thứ 7,Brahmagupta đã phát triển một công thức, bây giờ được gọi làcông thức Brahmagupta, cho diện tích của mộttứ giác nội tiếp (mộttứ giác có các đỉnh nằm trên một vòng tròn) theo các cạnh của nó. Năm 1842, các nhà toán học người ĐứcCarl Anton BretschneiderKarl Georg Christian von Staudt đã độc lập với nhau, cùng tìm ra một công thức, được gọi làcông thức Bretschneider, cho diện tích của bất kỳ hình tứ giác nào.

Diện tích đa giác

[sửa |sửa mã nguồn]

Sự phát triển củatọa độ Descartes doRené Descartes xây dựng vào thế kỷ 17 cho phép phát triển công thức cho diện tích của bất kỳ đa giác nào có vị trí đỉnh đã biết củaGauss vào thế kỷ 19.

Diện tích được xác định bằng phép tính tích phân

[sửa |sửa mã nguồn]

Sự phát triển củaphép tính tích phân vào cuối thế kỷ 17 đã cung cấp các công cụ sau đó có thể được sử dụng để tính toán các diện tích phức tạp hơn, chẳng hạn như diện tíchhình elipdiện tích bề mặt của các vật thể ba chiều cong khác nhau.

Công thức diện tích

[sửa |sửa mã nguồn]

Đa giác

[sửa |sửa mã nguồn]

Đối với một đa giác không tự cắt (đa giác đơn),tọa độ Descartes(xi,yi){\displaystyle (x_{i},y_{i})} (i = 0, 1,...,n -1) củanđỉnh đã biết, diện tích được cho bởi công thức của người đóng móng:[21]

A=12|i=0n1(xiyi+1xi+1yi)|{\displaystyle A={\frac {1}{2}}|\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})|}

trong đó khii =n -1, thìi +1 được biểu thị dưới dạngmôđunn và do đó quy về 0.

Hình chữ nhật

[sửa |sửa mã nguồn]
A rectangle with length and width labelled
Diện tích của hình chữ nhật này là lw.

Công thức diện tích cơ bản nhất là công thức diện tíchhình chữ nhật. Cho một hình chữ nhật có chiều dàil và chiều rộngw, công thức của diện tích là:[2][22]

A =lw.

Nghĩa là, diện tích của hình chữ nhật bằng chiều dài nhân với chiều rộng. Trong trường hợp đặc biệt, vìl =w trong trường hợp hình vuông, diện tích của hình vuông có độ dài cạnhs được cho bởi công thức:[1][2][23]

A =s2

Công thức cho diện tích hình chữ nhật trực tiếp dựa trên các tính chất cơ bản của diện tích, và đôi khi được coi là mộtđịnh nghĩa hoặctiên đề. Mặt khác, nếuhình học được phát triển trướcsố học, công thức này có thể được sử dụng để định nghĩaphép nhân cácsố thực.

Phương pháp tách hình, hình bình hành và hình tam giác

[sửa |sửa mã nguồn]

Hầu hết các công thức đơn giản khác cho diện tích đều tuân theo phương pháptách hình. Điều này bao gồm việc cắt một hình thành từng hình nhỏ, và việc tính diện tích hình đó sẽ làviệc dùng phép cộng các diện tích các hình con.

Sơ đồ cho thấy cách một hình bình hành có thể được sắp xếp lại thành hình chữ nhật.

Ví dụ, bất kỳhình bình hành nào cũng có thể được chia nhỏ thànhhình thangtam giác vuông, như thể hiện trong hình bên trái. Nếu tam giác được di chuyển sang phía bên kia của hình thang, thì hình thu được là một hình chữ nhật. Theo đó diện tích của hình bình hành bằng diện tích của hình chữ nhật đó:[2]

A =bh  (hình bình hành).

Một hình bình hành chia thành hai tam giác bằng nhau.

Tuy nhiên, cùng một hình bình hành cũng có thể được cắt theo mộtđường chéo thành hai tam giáctương đẳng, như trong hình bên phải. Như vậy diện tích của mỗitam giác bằng một nửa diện tích của hình bình hành:[2]

A=12bh{\displaystyle A={\frac {1}{2}}bh} (Tam giác).

Các phép chứng minh tương tự có thể được sử dụng để tìm công thức diện tích chohình thang[24] cũng như cácđa giác phức tạp hơn.[25]

Diện tích các hình cong

[sửa |sửa mã nguồn]

Hình tròn

[sửa |sửa mã nguồn]
A circle divided into many sectors can be re-arranged roughly to form a parallelogram
Một hình tròn có thể được chia thànhcác hình quạt mà sắp xếp lại để tạo thành một xấp xỉhình bình hành.

Công thức tính diện tíchhình tròn (được gọi đúng hơn là diện tích được bao bởi hình tròn hay diện tíchđĩa) dựa trên một phương pháp tương tự. Cho một vòng tròn bán kínhr nó có thể phân vùng các vòng tròn vàocác lĩnh vực, như thể hiện trong hình bên phải. Mỗi cung có dạng hình tam giác gần đúng và các cung có thể được sắp xếp lại để tạo thành một hình bình hành gần đúng. Chiều cao của hình bình hành này làr, và chiều rộng bằng nửachu vi của hình tròn, hayπr. Như vậy, tổng diện tích của hình tròn làπr2:[2]

A = πr2  (hình tròn).

Mặc dù việc phân tách hình tròn được sử dụng trong công thức này chỉ là gần đúng, nhưng sai số ngày càng nhỏ hơn khi vòng tròn được phân chia thành ngày càng nhiều cung.Giới hạn diện tích của các hình bình hành gần đúng làπr2, là diện tích của hình tròn.[26]

Lập luận này thực sự là một ứng dụng đơn giản của các ý tưởng củaphép tính vi tích phân. Trong thời cổ đại,phương pháp cạn kiệt được sử dụng một cách tương tự để tìm diện tích hình tròn, và phương pháp này ngày nay được công nhận là tiền thân củaphép tính tích phân. Sử dụng các phương pháp hiện đại, diện tích hình tròn có thể được tính bằng cách sử dụng mộttích phân xác định:

A=2rrr2x2dx=πr2.{\displaystyle A\;=\;2\int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx\;=\;\pi r^{2}.}

Hình elip

[sửa |sửa mã nguồn]

Công thức cho diện tích được bao bởi mộthình elip có liên quan đến công thức của một hình tròn; đối với một hình elip với các bán trục chính và bán trục phụxy, với công thức là:[2]

A=πxy.{\displaystyle A=\pi xy.}

Diện tích bề mặt

[sửa |sửa mã nguồn]
A blue sphere inside a cylinder of the same height and radius
Archimedes đã chỉ ra rằng diện tích bề mặt của mộthình cầu bằng bốn lần diện tích của mộtđĩa phẳng có cùng bán kính, và thể tích của hình cầu bằng 2/3 thể tích của mộthình trụ có cùng chiều cao và bán kính.

Hầu hết các công thức cơ bản chodiện tích bề mặt có thể thu được bằng cách cắt các bề mặt và làm phẳng chúng. Ví dụ, nếu bề mặt bên của mộthình trụ (hoặc bất kỳhình lăng trụ nào) được cắt theo chiều dọc, bề mặt đó có thể được làm phẳng thành hình chữ nhật. Tương tự, nếu một vết cắt được thực hiện dọc theo mặt bên củahình nón, bề mặt bên có thể được làm phẳng thành một phần của hình tròn và diện tích kết quả có thể được tính ra.

Công thức cho diện tích bề mặt của mộthình cầu khó tìm hơn: bởi vì một hình cầu cóđộ cong Gauss khác 0, nó không thể bị cán dẹt ra. Công thức về diện tích bề mặt của một hình cầu lần đầu tiên đượcArchimedes thu được trong tác phẩmVề hình cầu và hình trụ. Công thức là:[6]

  • A = 4πr2  (hình cầu), với r là bán kính của hình cầu. Cũng giống như công thức về diện tích hình tròn, bất kỳ suy luận nào của công thức này đều sử dụng các phương pháp tương tự nhưtích phân.

Công thức chung

[sửa |sửa mã nguồn]

Diện tích của các hình 2 chiều

[sửa |sửa mã nguồn]
Diện tích tam giácA=bh2{\displaystyle A={\tfrac {b\cdot h}{2}}}

Diện tích trong giải tích

[sửa |sửa mã nguồn]
A diagram showing the area between a given curve and the x-axis
Tích phân có thể được coi là đo diện tích dưới một đường cong, được xác định bởif (x), giữa hai điểm (ở đâylà ab).
A diagram showing the area between two functions
Diện tích giữa hai đồ thị có thể được đánh giá bằng cách tính hiệu giữa tích phân của hai hàm

Các công thức thông dụng

[sửa |sửa mã nguồn]
Các công thức diện tích hay dùng:
HìnhCông thứcBiến sốCách đọc
Hình chữ nhậtab{\displaystyle a\cdot b\,}a{\displaystyle a}:Chiều dài,b{\displaystyle b}:Chiều rộng.Diện tích bằng tíchchiều dài 2 cạnh.
Hình vuônga2{\displaystyle a^{2}}a{\displaystyle a}:Chiều dài cạnh hình vuông.Diện tích bằng bình phươngchiều dài 1 cạnh.
Hình bình hànhah{\displaystyle a\cdot h}a{\displaystyle a}:Chiều dài 1 cạnh,h{\displaystyle h}:chiều cao tương ứng với a.Diện tích bằng 1 cạnh nhân vớichiều cao tương ứng với cạnh đó.
Hình thoi12ab{\displaystyle {\frac {1}{2}}a\cdot b\,}a,b{\displaystyle a,b}:Chiều dài 2 đường chéo.Diện tích bằng 1 nửa tích độ dài 2 đường chéo.
Tam giác12bh{\displaystyle {\frac {1}{2}}b\cdot h\,}b{\displaystyle b}: cạnh đáy,h{\displaystyle h}:chiều cao.Diện tích bằng 1 nửa tíchchiều dài 1 cạnh với đường cao tương ứng với nó.
Hình trònπR2{\displaystyle \pi \cdot R^{2}\,}R{\displaystyle R}:bán kính.Diện tích bằng số pi nhân với bình phương bán kính
Hình e-lípπab{\displaystyle \pi \cdot a\cdot b\,}a{\displaystyle a}b{\displaystyle b} độ dàinửa trục thựcnửa trục ảo.
Mặt cầu4πr2{\displaystyle 4\pi r^{2}\,}, hoặcπd2{\displaystyle \pi d^{2}\,}r{\displaystyle r}: bán kính,d{\displaystyle d}:đường kính hình cầu.Diện tích bằng số Pi nhân với bình phươngchiều dài đường kính.
Hình thang12(a+b)h{\displaystyle {\frac {1}{2}}(a+b)h\,}a{\displaystyle a}b{\displaystyle b}: các cạnh đáy,h{\displaystyle h}:chiều cao.Diện tích bằng trung bình cộng 2 đáy nhân vớichiều cao.
Hình trụ tròn2πr(h+r){\displaystyle 2\pi r(h+r)\,}r{\displaystyle r}: bán kính,h{\displaystyle h}:chiều cao.
Diện tích xung quanh của hình trụ2πrh{\displaystyle 2\pi rh\,}r{\displaystyle r}: bán kính,h{\displaystyle h}:chiều cao
Mặt nónπr(l+r){\displaystyle \pi r(l+r)\,}r{\displaystyle r}: bán kính,l{\displaystyle l} độ dài đường sinh (slant height).
Diện tích xung quanh của hình nónπrl{\displaystyle \pi rl\,}r{\displaystyle r}: bán kính,l{\displaystyle l} độ dài đường sinh (slant height).
Hình quạtπr2θ360=lr2{\displaystyle {\frac {\pi r^{2}\theta }{360}}={\frac {lr}{2}}\,}r{\displaystyle r}: bán kính,θ{\displaystyle \theta } số đo góc ở tâm,l là độ dài cung.

Xem thêm

[sửa |sửa mã nguồn]

Tham khảo

[sửa |sửa mã nguồn]
  1. ^abcdefWeisstein, Eric W."Area".Wolfram MathWorld.Bản gốc lưu trữ ngày 5 tháng 5 năm 2012. Truy cập ngày 3 tháng 7 năm 2012.
  2. ^abcdefghi"Area Formulas". Math.com.Bản gốc lưu trữ ngày 2 tháng 7 năm 2012. Truy cập ngày 2 tháng 7 năm 2012.
  3. ^ab"Resolution 12 of the 11th meeting of the CGPM (1960)".Bureau International des Poids et Mesures.Bản gốc lưu trữ ngày 28 tháng 7 năm 2012. Truy cập ngày 15 tháng 7 năm 2012.
  4. ^Mark de Berg; Marc van Kreveld;Mark Overmars; Otfried Schwarzkopf (2000). "Chapter 3: Polygon Triangulation".Computational Geometry (ấn bản thứ 2).Springer-Verlag. tr. 45–61.ISBN 978-3-540-65620-3.
  5. ^Boyer, Carl B. (1959).A History of the Calculus and Its Conceptual Development. Dover.ISBN 978-0-486-60509-8.
  6. ^abWeisstein, Eric W."Surface Area".Wolfram MathWorld.Bản gốc lưu trữ ngày 23 tháng 6 năm 2012. Truy cập ngày 3 tháng 7 năm 2012.
  7. ^Foundation, CK-12."Surface Area".CK-12 Foundation (bằng tiếng Anh). Truy cập ngày 9 tháng 10 năm 2018.{{Chú thích web}}: Quản lý CS1: tên số: danh sách tác giả (liên kết)
  8. ^Walter Rudin (1966).Real and Complex Analysis, McGraw-Hill,ISBN0-07-100276-6.
  9. ^Gerald Folland (1999).Real Analysis: modern techniques and their applications, John Wiley & Sons, Inc., p. 20,ISBN0-471-31716-0
  10. ^Moise, Edwin (1963).Elementary Geometry from an Advanced Standpoint. Addison-Wesley Pub. Co. Truy cập ngày 15 tháng 7 năm 2012.
  11. ^Bureau international des poids et mesures (2006)."The International System of Units (SI)"(PDF). 8th ed.Bản gốc(PDF) lưu trữ ngày 5 tháng 11 năm 2013. Truy cập ngày 13 tháng 2 năm 2008.{{Chú thích tạp chí}}:Chú thích magazine cần|magazine= (trợ giúp) Chapter 5.
  12. ^Bureau international des poids et mesures (2006)."The International System of Units (SI)"(PDF). 8th ed.Bản gốc(PDF) lưu trữ ngày 5 tháng 11 năm 2013. Truy cập ngày 13 tháng 2 năm 2008.{{Chú thích tạp chí}}:Chú thích magazine cần|magazine= (trợ giúp) Chapter 5.
  13. ^Bureau international des poids et mesures (2006)."The International System of Units (SI)"(PDF). 8th ed.Bản gốc(PDF) lưu trữ ngày 5 tháng 11 năm 2013. Truy cập ngày 13 tháng 2 năm 2008.{{Chú thích tạp chí}}:Chú thích magazine cần|magazine= (trợ giúp) Chapter 5.
  14. ^Bureau international des poids et mesures (2006)."The International System of Units (SI)"(PDF). 8th ed.Bản gốc(PDF) lưu trữ ngày 5 tháng 11 năm 2013. Truy cập ngày 13 tháng 2 năm 2008.{{Chú thích tạp chí}}:Chú thích magazine cần|magazine= (trợ giúp) Chapter 5.
  15. ^Sir Thomas L. Heath (2003),A Manual of Greek Mathematics,ISBN 978-0-486-43231-1
  16. ^Stewart, James (2003).Single variable calculus early transcendentals (ấn bản thứ 5). Toronto ON: Brook/Cole. tr. 3.ISBN 978-0-534-39330-4.However, by indirect reasoning, Eudoxus (fifth century B.C.) used exhaustion to prove the familiar formula for the area of a circle:A=πr2.{\displaystyle A=\pi r^{2}.}
  17. ^abArndt, Jörg; Haene l, Christoph (2006).Pi Unleashed. Springer-Verlag.ISBN 978-3-540-66572-4. Truy cập ngày 5 tháng 6 năm 2013. English translation by Catriona and David Lischka.
  18. ^Howard Eves (1990),An Introduction to the History of Mathematics,ISBN 978-0-03-029558-4
  19. ^Heath, Thomas L. (1921).A History of Greek Mathematics (Vol II). Oxford University Press. tr. 321–323.
  20. ^Weisstein, Eric W., "Diện tích" từMathWorld.
  21. ^Bourke, Paul (tháng 7 năm 1988)."Calculating The Area And Centroid Of A Polygon"(PDF).Bản gốc(PDF) lưu trữ ngày 16 tháng 9 năm 2012. Truy cập ngày 6 tháng 2 năm 2013.
  22. ^"Area of Parallelogram/Rectangle". ProofWiki.org.Bản gốc lưu trữ ngày 20 tháng 6 năm 2015. Truy cập ngày 29 tháng 5 năm 2016.
  23. ^"Area of Square". ProofWiki.org.Bản gốc lưu trữ ngày 4 tháng 11 năm 2017. Truy cập ngày 29 tháng 5 năm 2016.
  24. ^Problem Solving Through Recreational Mathematics, 2012,ISBN 978-0-486-13174-0
  25. ^Calculus for Scientists and Engineers: An Analytical Approach, 2002,ISBN 978-0-8493-1319-6
  26. ^Braden, Bart (tháng 9 năm 1986)."The Surveyor's Area Formula"(PDF).The College Mathematics Journal. Quyển 17 số 4. tr. 326–337.doi:10.2307/2686282.JSTOR 2686282.Bản gốc(PDF) lưu trữ ngày 27 tháng 6 năm 2012. Truy cập ngày 15 tháng 7 năm 2012.
  27. ^Trainin, J. (tháng 11 năm 2007)."An elementary proof of Pick's theorem".Mathematical Gazette. Quyển 91 số 522. tr. 536–540.

Liên kết ngoài

[sửa |sửa mã nguồn]
Wikiquote có bộ sưu tập danh ngôn về:
Đại lượng tuyến tínhĐại lượng quay
Thứ nguyên1LL2Thứ nguyên1θθ2
Tthời gian:t
s
absement:A
m s
Tthời gian:t
s
1khoảng cách:d,vị trí:r,s,x,độ dời
m
diện tích:A
m2
1góc:θ,angular displacement:θ
rad
góc khối:Ω
rad2, sr
T−1tần số:f
s−1,Hz
tốc độ:v,vận tốc:v
m s−1
độ nhớt động học:ν,
specific angular momentumh
m2 s−1
T−1tần số:f,rotational speed:n,rotational velocity:n
s−1,Hz
tần số góc:ω,vận tốc góc:ω
rad s−1
T−2gia tốc:a
m s−2
T−2rotational acceleration
s−2
gia tốc góc:α
rad s−2
T−3jerk:j
m s−3
T−3jerk góc:ζ
rad s−3
Mkhối lượng:m
kg
mô men:Mx⟩ = ∑mxmô men quán tínhI
kg m2
ML
MT−1Mass flow rate:m˙{\displaystyle {\dot {m}}}
kg s−1
động lượng:p,xung lượng:J
kg m s−1,N s
action:𝒮,actergy:
kg m2 s−1,J s
MLT−1mô men động lượng:L,angular impulse:ΔL
kg m rad s−1
MT−2lực:F,trọng lượng:Fg
kg m s−2,N
năng lượng:E,công:W,Lagrange:L
kg m2 s−2,J
MLT−2mô men lực:τ,mô men:M
kg m rad s−2,N m
MT−3yank:Y
kg m s−3, N s−1
công suất:P
kg m2 s−3W
MLT−3rotatum:P
kg m rad s−3, N m s−1
Quốc tế
Quốc gia
Khác
Lấy từ “https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Diện_tích&oldid=74296911
Thể loại:
Thể loại ẩn:

[8]ページ先頭

©2009-2025 Movatter.jp