Tổng diện tích của 3 hình xấp xỉ 15.57 hình vuông đơn vị
Diện tích là đại lượng biểu thị phạm vi của hình hoặchìnhhai chiều hoặclamina phẳng, trongmặt phẳng.Diện tích bề mặt là tương tự của diện tích trênbề mặt hai chiều của một vật thểba chiều. Diện tích có thể được hiểu là lượng vật liệu có độ dày nhất định sẽ cần thiết để tạo kiểu cho mô hình hình dạng hoặc lượngsơn cần thiết để phủ lên bề mặt bằng một lớp sơn.[1] Nó là tương tự về mặt hai chiều đối vớichiều dài củađường cong (khái niệm một chiều) hoặcthể tích của vật rắn (khái niệm ba chiều).
Diện tích của hình có thể được đo bằng cách so sánh hình với cáchình vuông có kích thước cố định.[2] TrongHệ thống đơn vị quốc tế (SI), đơn vị diện tích tiêu chuẩn làmét vuông (viết là m²), là diện tích của một hình vuông có cạnh dài mộtmét.[3] Một hình có diện tích ba mét vuông sẽ có cùng diện tích với ba hình vuông như vậy. Trongtoán học,hình vuông đơn vị được xác định là có diện tích bằng một và diện tích của bất kỳ hình dạng hoặc bề mặt nào khác là mộtsố thựckhông thứ nguyên.
Diện tích đóng một vai trò quan trọng trong toán học hiện đại. Ngoài tầm quan trọng rõ ràng của nó tronghình học và tính toán, diện tích có liên quan đến định nghĩa cácyếu tố quyết định trongđại số tuyến tính, và là một tính chất cơ bản của các bề mặt tronghình học vi phân. Trong phân tích, diện tích của một tập hợp con của mặt phẳng được xác định bằng cách sử dụngthước đo Lebesgue,[8] mặc dù không phải mọi tập hợp con đều có thể đo được.[9] Nói chung, diện tích trong toán học cấp cao hơn được coi là một trường hợp đặc biệt về thể tích cho các vùng có hai chiều.[1]
Diện tích có thể được xác định thông qua việc sử dụng các tiên đề, xác định nó là một hàm của một tập hợp các hình mặt phẳng nhất định chiếu đến tập hợp các số thực. Nó có thể được chứng minh rằng một hàm như vậy là tồn tại.
Một cách tiếp cận để xác định ý nghĩa của "diện tích" là thông quacác tiên đề. "Diện tích" có thể được định nghĩa là một hàm a từ tập hợp M gồm các hình phẳng đặc biệt (gọi là tập hợp có thể đo được) đến tập các số thực, thỏa mãn các tính chất sau:
Với mọiS thuộcM thìa (S) ≥ 0.
NếuS vàT nằm trongM thìS ∪T vàS ∩T, vàa (S ∪T) =a (S) +a (T) -a (S ∩T).
NếuS vàT nằm trongM vớiS ⊆T thìT -S thuộcM vàa (T -S) =a (T) -a (S).
Nếu một tập hợpS thuộcM vàS đồng nhất vớiT thìT cũng thuộcM vàa (S) =a (T.
Mọi hình chữ nhậtR đều nằm trongM. Nếu hình chữ nhật có chiều dàih và chiều rộngk thìa (R) =hk.
GọiQ là một tập hợp nằm giữa hai vùng bướcS vàT. Vùng bước được hình thành từ sự kết hợp hữu hạn của các hình chữ nhật liền kề nằm trên một cơ sở chung, tức làS ⊆Q ⊆T. Nếu tồn tại một số duy nhấtc sao choa (S) ≤ c ≤a (T) đối với tất cả các vùng bướcS vàT như vậy, thìa (Q) =c.
Có thể chứng minh rằng một hàm diện tích như vậy thực sự tồn tại.[10]
Mọiđơn vị độ dài đều có một đơn vị diện tích tương ứng là diện tích hình vuông có độ dài cạnh bằng đơn vị độ dài đã cho. Do đó diện tích có thể được đo bằngmét vuông (m2), vuông cm (cm2), milimét vuông (mm2),kilômét vuông (km²),feet vuông (ft2), yard vuông (yd2),dặm vuông (mi2), v.v.[11] Về mặt đại số, các đơn vị này có thể được coi làbình phương của các đơn vị độ dài tương ứng.
Mặc dù có 10 mm trong 1 cm, có 100 mm² trong 1 cm².
Tính diện tích của một hình vuông có chiều dài và chiều rộng là 1 mét sẽ là:
1 mét × 1 mét = 1 m²
và do đó, một hình chữ nhật có các cạnh khác nhau (giả sử chiều dài 3 mét và chiều rộng 2 mét) sẽ có diện tích tính bằng đơn vị hình vuông có thể được tính như sau:
3 mét × 2 mét = 6 m². Điều này tương đương với 6 triệu mm vuông. Các chuyển đổi hữu ích khác là:
Vào thế kỷ thứ 5 trước Công nguyên,Hippocrates xứ Chios là người đầu tiên chỉ ra rằng diện tích của một cái đĩa (vùng được bao quanh bởi một vòng tròn) tỷ lệ với bình phương đường kính của nó, như một phần của việccầu phương của ông,[15] nhưng không xác định đượchằng số tỷ lệ.Eudoxus của Cnidus, cũng vào thế kỷ thứ 5 trước Công nguyên, cũng phát hiện ra rằng diện tích của một cái đĩa tròn tỷ lệ thuận với bình phương bán kính của nó.[16]
Sau đó, Quyển I củaCơ sở của Euclid đề cập đến sự bằng nhau về diện tích giữa các hình hai chiều. Nhà toán họcArchimedes sử dụng các công cụ củaEuclid để chứng minh rằng diện tích bên trong một vòng tròn là tương đương với của mộttam giác vuông có đáy là chiều dài của chu vi của vòng tròn và có chiều cao tương đương với bán kính của vòng tròn, trong cuốn sách của ôngĐo một hình tròn. (Chu vi là 2πr, và diện tích của một tam giác bằng một nửa đáy nhân với chiều cao, mang lại diện tíchπr2 cho hình tròn.) Archimedes đã tính gần đúng giá trị của π (và do đó là diện tích của một hình tròn bán kính đơn vị) bằngphương pháp nhân đôi của mình, trong đó ông nội tiếp một tam giác đều trong một vòng tròn và ghi nhận diện tích của nó, sau đó nhân đôi số cạnh để tạo ra mộthình lục giác đều., sau đó liên tục nhân đôi số cạnh khi diện tích của đa giác ngày càng gần với diện tích của hình tròn (và thực hiện tương tự vớiđa giác ngoại tiếp).
Nhà khoa học người Thụy SĩJohann Heinrich Lambert năm 1761 đã chứng minh rằngπ, tỷ số giữa diện tích hình tròn với bán kính bình phương của nó, làsố vô tỉ, nghĩa là nó không bằng thương số của hai số nguyên bất kỳ.[17] Năm 1794, nhà toán học người PhápAdrien-Marie Legendre đã chứng minh rằng π2 là vô tỉ; điều này cũng chứng tỏ rằng π là vô tỉ.[18] Năm 1882, nhà toán học người ĐứcFerdinand von Lindemann đã chứng minh rằng π làsố siêu việt (không phải lànghiệm của bất kỳphương trình đa thức nào với hệ số hữu tỉ), chứng minh này xác nhận một phỏng đoán của cảLegendre và Euler.[17]:p. 196
Heron (hay Hero) của Alexandria đã tìm ra cái được gọi làcông thức Heron cho diện tích tam giác tính theo các cạnh của nó, và một phép chứng minh có trong cuốn sách của ông,Metrica, được viết vào khoảng năm 60 CN. Có ý kiến cho rằngArchimedes đã biết công thức hơn hai thế kỷ trước đó,[19] và vìMetrica là tập hợp các kiến thức toán học có sẵn trong thế giới cổ đại, nên có thể công thức có trước tham chiếu được đưa ra trong công trình đó.[20]
Một công thức tương đương với Heron đã được người Trung Quốc tìm ra độc lập với người Hy Lạp. Nó được xuất bản vào năm 1247 trongShushu Jiuzhang ("Cửu chương toán thuật"), tác phẩm củaQin Jiushao.
Sự phát triển củatọa độ Descartes doRené Descartes xây dựng vào thế kỷ 17 cho phép phát triển công thức cho diện tích của bất kỳ đa giác nào có vị trí đỉnh đã biết củaGauss vào thế kỷ 19.
Sự phát triển củaphép tính tích phân vào cuối thế kỷ 17 đã cung cấp các công cụ sau đó có thể được sử dụng để tính toán các diện tích phức tạp hơn, chẳng hạn như diện tíchhình elip vàdiện tích bề mặt của các vật thể ba chiều cong khác nhau.
Đối với một đa giác không tự cắt (đa giác đơn),tọa độ Descartes (i = 0, 1,...,n -1) củanđỉnh đã biết, diện tích được cho bởi công thức của người đóng móng:[21]
trong đó khii =n -1, thìi +1 được biểu thị dưới dạngmôđunn và do đó quy về 0.
Công thức diện tích cơ bản nhất là công thức diện tíchhình chữ nhật. Cho một hình chữ nhật có chiều dàil và chiều rộngw, công thức của diện tích là:[2][22]
A =lw.
Nghĩa là, diện tích của hình chữ nhật bằng chiều dài nhân với chiều rộng. Trong trường hợp đặc biệt, vìl =w trong trường hợp hình vuông, diện tích của hình vuông có độ dài cạnhs được cho bởi công thức:[1][2][23]
A =s2
Công thức cho diện tích hình chữ nhật trực tiếp dựa trên các tính chất cơ bản của diện tích, và đôi khi được coi là mộtđịnh nghĩa hoặctiên đề. Mặt khác, nếuhình học được phát triển trướcsố học, công thức này có thể được sử dụng để định nghĩaphép nhân cácsố thực.
Phương pháp tách hình, hình bình hành và hình tam giác
Hầu hết các công thức đơn giản khác cho diện tích đều tuân theo phương pháptách hình. Điều này bao gồm việc cắt một hình thành từng hình nhỏ, và việc tính diện tích hình đó sẽ làviệc dùng phép cộng các diện tích các hình con.
Sơ đồ cho thấy cách một hình bình hành có thể được sắp xếp lại thành hình chữ nhật.
Ví dụ, bất kỳhình bình hành nào cũng có thể được chia nhỏ thànhhình thang vàtam giác vuông, như thể hiện trong hình bên trái. Nếu tam giác được di chuyển sang phía bên kia của hình thang, thì hình thu được là một hình chữ nhật. Theo đó diện tích của hình bình hành bằng diện tích của hình chữ nhật đó:[2]
A =bh (hình bình hành).
Một hình bình hành chia thành hai tam giác bằng nhau.
Tuy nhiên, cùng một hình bình hành cũng có thể được cắt theo mộtđường chéo thành hai tam giáctương đẳng, như trong hình bên phải. Như vậy diện tích của mỗitam giác bằng một nửa diện tích của hình bình hành:[2]
(Tam giác).
Các phép chứng minh tương tự có thể được sử dụng để tìm công thức diện tích chohình thang[24] cũng như cácđa giác phức tạp hơn.[25]
Công thức tính diện tíchhình tròn (được gọi đúng hơn là diện tích được bao bởi hình tròn hay diện tíchđĩa) dựa trên một phương pháp tương tự. Cho một vòng tròn bán kínhr nó có thể phân vùng các vòng tròn vàocác lĩnh vực, như thể hiện trong hình bên phải. Mỗi cung có dạng hình tam giác gần đúng và các cung có thể được sắp xếp lại để tạo thành một hình bình hành gần đúng. Chiều cao của hình bình hành này làr, và chiều rộng bằng nửachu vi của hình tròn, hayπr. Như vậy, tổng diện tích của hình tròn làπr2:[2]
A = πr2 (hình tròn).
Mặc dù việc phân tách hình tròn được sử dụng trong công thức này chỉ là gần đúng, nhưng sai số ngày càng nhỏ hơn khi vòng tròn được phân chia thành ngày càng nhiều cung.Giới hạn diện tích của các hình bình hành gần đúng làπr2, là diện tích của hình tròn.[26]
Lập luận này thực sự là một ứng dụng đơn giản của các ý tưởng củaphép tính vi tích phân. Trong thời cổ đại,phương pháp cạn kiệt được sử dụng một cách tương tự để tìm diện tích hình tròn, và phương pháp này ngày nay được công nhận là tiền thân củaphép tính tích phân. Sử dụng các phương pháp hiện đại, diện tích hình tròn có thể được tính bằng cách sử dụng mộttích phân xác định:
Công thức cho diện tích được bao bởi mộthình elip có liên quan đến công thức của một hình tròn; đối với một hình elip với các bán trục chính và bán trục phụx vày, với công thức là:[2]
Archimedes đã chỉ ra rằng diện tích bề mặt của mộthình cầu bằng bốn lần diện tích của mộtđĩa phẳng có cùng bán kính, và thể tích của hình cầu bằng 2/3 thể tích của mộthình trụ có cùng chiều cao và bán kính.
Hầu hết các công thức cơ bản chodiện tích bề mặt có thể thu được bằng cách cắt các bề mặt và làm phẳng chúng. Ví dụ, nếu bề mặt bên của mộthình trụ (hoặc bất kỳhình lăng trụ nào) được cắt theo chiều dọc, bề mặt đó có thể được làm phẳng thành hình chữ nhật. Tương tự, nếu một vết cắt được thực hiện dọc theo mặt bên củahình nón, bề mặt bên có thể được làm phẳng thành một phần của hình tròn và diện tích kết quả có thể được tính ra.
Công thức cho diện tích bề mặt của mộthình cầu khó tìm hơn: bởi vì một hình cầu cóđộ cong Gauss khác 0, nó không thể bị cán dẹt ra. Công thức về diện tích bề mặt của một hình cầu lần đầu tiên đượcArchimedes thu được trong tác phẩmVề hình cầu và hình trụ. Công thức là:[6]
A = 4πr2 (hình cầu), với r là bán kính của hình cầu. Cũng giống như công thức về diện tích hình tròn, bất kỳ suy luận nào của công thức này đều sử dụng các phương pháp tương tự nhưtích phân.
Hình tam giác: (trong đóB là cạnh bất kỳ vàh là khoảng cách từ đường thẳng màB nằm đến đỉnh còn lại của tam giác). Có thể sử dụng công thức này nếu biết chiều caoh. Nếu biết độ dài của ba cạnh thì có thể sử dụngcông thức Heron: trong đóa,b,c là các cạnh của tam giác và là một nửa chu vi của nó.[2] Nếu cho một góc và hai cạnh bên của nó, diện tích là trong đóC là góc đã cho vàa vàb là các cạnh của nó.[2] Nếu tam giác được vẽ đồ thị trên một mặt phẳng tọa độ, một ma trận có thể được sử dụng và được đơn giản hóa thành giá trị tuyệt đối của. Công thức này còn được gọi làcông thức dây giày và là một cách dễ dàng để giải diện tích của một tam giác tọa độ bằng cách thay thế 3 điểm(x1, y1),(x2, y2) và(x3, y3). Công thức dây giày cũng có thể được sử dụng để tìm diện tích của các đa giác khác khi các đỉnh của chúng đã biết. Một cách tiếp cận khác cho tam giác tọa độ là sử dụngphép tính để tìm diện tích.
Mộtđa giác đơn được xây dựng trên một lưới các điểm có khoảng cách bằng nhau (tức là các điểm có tọa độnguyên) sao cho tất cả các đỉnh của đa giác là các điểm lưới:, vớii là số điểm lưới bên trong đa giác vàb là số điểm biên. Kết quả này được gọi làđịnh lý Pick.[27]
Tích phân có thể được coi là đo diện tích dưới một đường cong, được xác định bởif (x), giữa hai điểm (ở đâylà a vàb).Diện tích giữa hai đồ thị có thể được đánh giá bằng cách tính hiệu giữa tích phân của hai hàm
Diện tích giữa đường cong có giá trị dương và trục hoành, được đo giữa hai giá trịa vàb (b được định nghĩa là lớn hơn trong hai giá trị) trên trục hoành, được cho bởi tích phân từa đếnb của hàm đại diện cho đường cong:[1]
^Foundation, CK-12."Surface Area".CK-12 Foundation (bằng tiếng Anh). Truy cập ngày 9 tháng 10 năm 2018.{{Chú thích web}}: Quản lý CS1: tên số: danh sách tác giả (liên kết)
^Walter Rudin (1966).Real and Complex Analysis, McGraw-Hill,ISBN0-07-100276-6.
^Gerald Folland (1999).Real Analysis: modern techniques and their applications, John Wiley & Sons, Inc., p. 20,ISBN0-471-31716-0
^abArndt, Jörg; Haene l, Christoph (2006).Pi Unleashed. Springer-Verlag.ISBN978-3-540-66572-4. Truy cập ngày 5 tháng 6 năm 2013. English translation by Catriona and David Lischka.