Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Bước tới nội dung
WikipediaBách khoa toàn thư mở
Tìm kiếm

Dòng chảy Poiseuille

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bài viết nàycần thêm liên kết tới các bài bách khoa khác đểtrở thành một phần của bách khoa toàn thư trực tuyến Wikipedia. Xin hãy giúpcải thiện bài viết này bằng cách thêm các liên kết có liên quan đến ngữ cảnh trong văn bản hiện tại.(tháng 7 2018) (Tìm hiểu cách thức và thời điểm xóa thông báo này)

Dòng chảy Poiseuille làdòng chảy tầng của chất lỏng qua một ống dẫn có dạng hình trụ (hoặc phần không gian giữa 2 hình trụ đồng tâm) hoặc giữa 2 mặt phẳng song song. Dòng chảy Poisseuille cũng được coi là một trong những nghiệm chính xác và đơn giản nhất củaphương trình Navier-Stokes.

Bài toán đặt ra

[sửa |sửa mã nguồn]

Xét dòng chảy xuôi theo trục của ống của một chất lỏngkhông bị nén và làdòng dừng có độ nhớtη{\displaystyle \eta } trong ống hình trụ cótiết diện ngang tròn và có chết độdòng chảy tầng. Giả sử 2 đầu ống hình trụ (có độ dài l) được giữ bởi áp suất p1, p2, bán kính hình trụ là R, ta xét tiết diện ngang của ống:

Sử dụng hệ tọa độ cực, xét lớp nước chứa tronghình xuyến trụ có bán kính trong là r, bán kính ngoài là r+dr với độ dài là l, lựcma sát nhớt động học tác dụng lên lớp chất lỏng ở mặt trong hình xuyến trụ, theo công thức Newton:

F1=−ηdvdr2πrl{\displaystyle F1=-\eta {dv \over dr}2\pi rl} (1)

Lực ma sát tác dụng lên lớp chất lỏng ở mặt ngoài hình xuyến trụ:

Khi đó,

F2=−F1+dF1=ηdvdr2πrl+η2πld(rdvdr){\displaystyle F2=-F1+dF1=\eta {dv \over dr}2\pi rl+\eta 2\pi ld(r{dv \over dr})} (2)

Vì là dòng chảy tầng, chất lỏng trong hình xuyến trụ còn chịu tác dụng của lực sinh ra do chênh lệch áp suất ở 2 đầu ống:

F3=(p1−p2)d(πr2)=(p1−p2)2πrd(r){\displaystyle F3=(p1-p2)d(\pi r^{2})=(p1-p2)2\pi rd(r)} (3)

Vì là dòng dừng, gia tốc của phần chất lỏng hình xuyến trụ trên bằng không, theo tiên đề 2 newton cho động lực học:

∑i=13Fi=0{\displaystyle \sum _{i=1}^{3}Fi=0} (4)

Từ (1)(2)(3) và (4):

η2πld(rdvdr)+(p1−p2)2πrdr=0{\displaystyle \eta 2\pi ld(r{dv \over dr})+(p1-p2)2\pi rdr=0}

Tích phân 2 vế ta được:

∫η2πld(rdvdr)+∫(p1−p2)2πrdr=const{\displaystyle {\displaystyle \int \eta 2\pi ld(r{dv \over dr})+\int (p1-p2)2\pi rdr=const}}

2ηlrdvdr+(p1−p2)r2=const{\displaystyle {\displaystyle 2\eta lr{dv \over dr}+(p1-p2)r^{2}=const}}

Với r=0, ta có const=0

Phương trình trên được viết lại:2ηldvdr+(p1−p2)r=0{\displaystyle {\displaystyle 2\eta l{dv \over dr}+(p1-p2)r=0}}

−∫dv=(p1−p22ηl)∫rdr{\displaystyle -\int dv=\left({\frac {p1-p2}{2\eta l}}\right)\int rdr}

=> Với điều kiện biên khi r=R thì v=0 ta được:

v(r)=14ηp1−p2l(R2−r2){\displaystyle v(r)={\frac {1}{4\eta }}{\frac {p1-p2}{l}}(R^{2}-r^{2})} (*)

Từ phương trình (*) ta tính lưu lượng toàn phần:

V(t)=∫0Rvd(πr2)t=∫0Rtv2πrdr=π8ηp1−p2lR4t{\displaystyle V(t)=\int _{0}^{R}vd(\pi r^{2})t=\int _{0}^{R}tv2\pi rdr={\frac {\pi }{8\eta }}{\frac {p1-p2}{l}}R^{4}t}

Đây chính là phương trình Poiseuille cho dòng chất lỏng chảy qua một ống tiết diện tròn.

Định luật Poiseuille

[sửa |sửa mã nguồn]

Phương trình (định luật)Poiseuille - cho phép ta xác định lưu lượng chất lỏng khi dòng chảy (của chất lỏng nhớt không bị nén) đã được thiết lập trong ống hình trụ tròn:

V(t)=π8ηp1−p2lR4t{\displaystyle {\displaystyle V(t)={\frac {\pi }{8\eta }}{\frac {p1-p2}{l}}R^{4}t}}

Tham khảo

[sửa |sửa mã nguồn]

Bài viết này vẫn cònsơ khai. Bạn có thể giúp Wikipediamở rộng nội dung để bài được hoàn chỉnh hơn.

Giáo trình Cơ học- Bạch Thành Công

Lấy từ “https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Dòng_chảy_Poiseuille&oldid=71926736”
Thể loại:
Thể loại ẩn:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp