Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Bước tới nội dung
WikipediaBách khoa toàn thư mở
Tìm kiếm

Dãy Fibonacci

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Dãy Fibonacci làdãyvô hạn cácsố tự nhiên bắt đầu bằng hai phần tử 0 hoặc 1 và 1, các phần tử sau đó được thiết lập theo quy tắcmỗi phần tử luôn bằng tổng hai phần tử trước nó.Công thức truy hồi của dãy Fibonacci là:

F(n):={1,  khi n=1;  1,khi n=2;  F(n−1)+F(n−2)khi n>2.{\displaystyle F(n):=\left\{{\begin{matrix}1\,,\qquad \qquad \qquad \quad \,\ \ \,&&{\mbox{khi }}n=1\,;\ \ \\1,\qquad \qquad \qquad \qquad \,&&{\mbox{khi }}n=2;\ \ \,\\F(n-1)+F(n-2)&&{\mbox{khi }}n>2.\end{matrix}}\right.}
Xếp các hình vuông có các cạnh là các số Fibonacci

Lịch sử

[sửa |sửa mã nguồn]
Leonardo Fibonacci (1170 - 1250)
Một trang củaLiber Abaci từThư viện Trung tâm Quốc gia (Florence) với dãy Fibonacci với vị trí trong chuỗi được mô tả bằngSố La Mã và giá trị bằngchữ số Ả Rập.

Dãy số Fibonacci đượcFibonacci, mộtnhà toán họcngười Ý, công bố vào năm 1202 trong cuốn sách Liber Abacci - Sách về toán đồ qua 2 bài toán: Bài toán con thỏ và bài toán số các "cụ tổ" của một ong đực.

Henry Dudeney (1857 - 1930) (là một nhà văn và nhà toán học người Anh) nghiên cứu ở bò sữa, cũng đạt kết quả tương tự.

Thế kỉ XIX, nhà toán họcEdouard Lucas xuất bản một bộ sách bốn tập với chủ đề toán học giải trí, ông đã dùng tên Fibonacci để gọi dãy số kết quả của bài toán từ cuốn Liber Abaci – bài toán đã sinh ra dãy Fibonacci.

Những bài toán mở đầu

[sửa |sửa mã nguồn]

2 bài toán sau đây được trích từ sách Liber Abacci do Fibonacci viết vào năm 1202. Đây là những bài toán mẫu mực dẫn đến khảo sát dãy số Fibonacci.

Mười ba ( F 7) cách sắp xếp các âm tiết dài và ngắn theo một nhịp độ dài sáu. Năm ( F 5) kết thúc bằng âm tiết dài và tám ( F 6) kết thúc bằng âm tiết ngắn.

Bài toán số con thỏ

[sửa |sửa mã nguồn]

Một đôi thỏ (gồm một thỏ đực và một thỏ cái) không sinh cho đến khi chúng đủ 2 tháng tuổi. Sau khi đủ 2 tháng tuổi, mỗi đôi thỏ sinh một đôi thỏ con (gồm một thỏ đực và một thỏ cái) mỗi tháng. Hỏi sau n tháng có bao nhiêu đôi thỏ, nếu đầu năm (tháng Giêng) có một đôi thỏ sơ sinh

GIA ĐÌNH NHÀ THỎ SAU 6 THÁNG
GIA ĐÌNH NHÀ THỎ SAU 6 THÁNG

Trong hình vẽ trên, ta quy ước:

  • Cặp thỏ xám là cặp thỏ có độ tuổi 1 tháng.
  • Cặp thỏ được đánh dấu (màu đỏ và màu xanh) là cặp thỏ có khả năng sinh sản.

Nhìn vào hình vẽ trên ta nhận thấy:

  • Tháng Giêng và tháng Hai: Chỉ có 1 đôi thỏ.
  • Tháng Ba: đôi thỏ này sẽ đẻ ra một đôi thỏ con, do đó trong tháng này có 2 đôi thỏ.
  • Tháng Tư: chỉ có đôi thỏ ban đầu sinh con nên đến thời điểm này có 3 đôi thỏ.
  • Tháng Năm: có hai đôi thỏ (đôi thỏ đầu và đôi thỏ được sinh ra ở tháng Ba) cùng sinh con nên ở tháng này có 2 + 3 = 5 đôi thỏ.
  • Tháng Sáu: có ba đôi thỏ (2 đôi thỏ đầu và đôi thỏ được sinh ra ở tháng Tư) cùng sinh con ở thời điểm này nên đến đây có 3 + 5 = 8 đôi thỏ.

Khái quát, nếu n là số tự nhiên khác 0, gọi f(n) là số đôi thỏ có ở tháng thứ n, ta có:

  • Với n = 1 ta được f(1) = 1.
  • Với n = 2 ta được f(2) = 1.
  • Với n = 3 ta được f(3) = 2.

Do đó với n > 2 ta được: f(n) = f(n-1) + f(n-2).

Điều đó có thể được giải thích như sau: Các đôi thỏ sinh ra ở tháng n -1 không thể sinh con ở tháng thứ n, và ở tháng này đôi thỏ tháng thứ n - 2 sinh ra một đôi thỏ con nên số đôi thỏ được sinh ra ở tháng thứ n chính là giá trị của f(n - 2).

Số các "cụ tổ" của một con ong đực

[sửa |sửa mã nguồn]

Fibonacci đã mô tả dãy các tổ tiên của một con ong đực như sau:(Loài ong có thể thụ tinh đơn tính hoặc lưỡng tính).Giả sử rằng:

  • Nếu một trứng ong thụ tinh bởi chính con ong cái nó nở thành một con ong đực
  • Tuy nhiên, nếu một trứng thụ tinh bởi một ong đực nó nở thành một con ong cái.
  • Như vậy một con ong đực sẽ luôn có một mẹ, và một con ong cái sẽ có cả bố và mẹ.
Số cụ tổ của một con ong đực

Ta bắt đầu tính số các con ong tổ tiên của một con ong đực. Xét một con ong đực ở thế hệ thứ n. Nhìn vào hình trên ta thấy:

  • Trước một đời, thế hện-1: Con ong đực chỉ có một mẹ (1 ong cái).
  • Trước hai đời, thế hện-2: Con ong cái đờin-1 có 2 bố mẹ, một ong bố (đực) và một ong mẹ (cái)(2 con ong: 1 đực+ một cái)).
  • Trước ba đời, thế hện-3: Con ong cái thế hện-2 lại có hai bố mẹ, một ong bố (đực) và một ong mẹ (cái), và con đực thế hện-2 có một mẹ (3 con ong: 1 ong đực + 2 ong cái)
  • Trước bốn đời, thế hện-4: Hai con cái, mỗi con có 2 cha, mẹ và mỗi con đực có một mẹ (5 con ong: 2 ong đực 3 ong cái)

Tiếp tục quá trình này ta sẽ có một dãy số Fibonacci.

Kết luận

[sửa |sửa mã nguồn]

Như vậy, công việc giải quyết hai bài toán trên của Fibonacci dẫn tới việc khảo sát dãy số f(n) xác định:

  • f(0)= 0.
  • f(1)= 1.
  • f(2)= 1.
  • f(n)= f(n-1) +f(n-2) với n > 2.

Đó là dãy Fibonacci và các số hạng trong dãy được gọi là các số Fibonacci.

Các phần tử đầu tiên của dãy

[sửa |sửa mã nguồn]
nF(n)nF(n)nF(n)
001121
324355
68713821
93410551189
121441323314377
1561016987171.597
182.584194.181206.765
2110.9462217.7112328.657
2446.3682575.02526121.393
27196.41828317.81129514.229
30832.040311.346.269322.178.309
333.524.578345.702.887359.227.465
3614.930.3523724.157.8173839.088.169
..................

Người ta chứng minh được rằng công thức tổng quát cho dãy Fibonacci là:

Fn=15[(1+52)n−(1−52)n]{\displaystyle F_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left[{\Big (}{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}{\Big )}^{n}-{\Big (}{\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}{\Big )}^{n}\right]}

Quan hệ với tỷ lệ vàng

[sửa |sửa mã nguồn]
Tỷ lệ vàng

Tỷ lệ vàngφ{\displaystyle \varphi } (phi), được đinh nghĩa là tỷ số khi chia đoạn thẳng thành hai phần sao cho tỷ lệ giữa cả đoạn ban đầu với đoạn lớn hơn bằng tỷ số giữa đoạn lớn và đoạn nhỏ. Có thể chứng minh rằng nếu quy độ dài đoạn lớn về đơn vị thì tỷ lệ này là nghiệm dương của phương trình:

1x=x1+x{\displaystyle {\frac {1}{x}}={\frac {x}{1+x}}}, hay tương đươngx2−x−1=0,{\displaystyle x^{2}-x-1=0,\,}

chính là sốφ=(1+5)2≈1.618033989{\displaystyle \varphi ={\frac {(1+{\sqrt {5}})}{2}}\approx 1.618\,033\,989}.

Công thức dạng tường minh

[sửa |sửa mã nguồn]

Cũng như mọi dãy số xác định bởi công thức đệ quy tuyến tính, các số Fibonacci có thể tìm được công thức dạng tường minh.

Ta sẽ chứng minh (công thứcBinet):

F(n)=φn−(1−φ)n5{\displaystyle F\left(n\right)={{\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}} \over {\sqrt {5}}}}, trong đóφ{\displaystyle \varphi } là tỷ lệ vàng ở trên.

Như vậy, từ hệ thức truy hồi Fibonacci ta có:

F(n+2)−F(n+1)−F(n)=0.{\displaystyle F(n+2)-F(n+1)-F(n)=0.\,}

sẽ dẫn tới phương trình xác định tỷ lệ vàng

x2−x−1=0,{\displaystyle x^{2}-x-1=0,\,}

(là phương trìnhđa thức đặc trưng của hồi quy).

Chứng minh

Chứng minh (bằngquy nạp):

Một nghiệm bất kỳ của phương trình trên thoả mãn tính chấtx2=x+1,{\displaystyle {\begin{matrix}x^{2}=x+1,\end{matrix}}\,}. Nhân hai vế vớixn−1{\displaystyle x^{n-1}\,} có:

xn+1=xn+xn−1{\displaystyle x^{n+1}=x^{n}+x^{n-1}\,}

Chú ý rằng, theo định nghĩaφ{\displaystyle \varphi } là một nghiệm của phương trình và nghiệm kia là1−φ{\displaystyle 1-\varphi }. Do đó:

φn+1{\displaystyle \varphi ^{n+1}\,}=φn+φn−1{\displaystyle =\varphi ^{n}+\varphi ^{n-1}\,} và
(1−φ)n+1{\displaystyle (1-\varphi )^{n+1}\,}=(1−φ)n+(1−φ)n−1{\displaystyle =(1-\varphi )^{n}+(1-\varphi )^{n-1}\,}

Bây giờ định nghĩa hàm:

Fa,b(n)=aφn+b(1−φ)n{\displaystyle F_{a,b}(n)=a\varphi ^{n}+b(1-\varphi )^{n}} xác định với mọi số thựca,b{\displaystyle a,b\,}

Tất cả các hàm này thỏa mãn hệ thức truy hồi Fibonacci, thật vậy:

Fa,b(n+1){\displaystyle F_{a,b}(n+1)\,}=aφn+1+b(1−φ)n+1{\displaystyle =a\varphi ^{n+1}+b(1-\varphi )^{n+1}}
=a(φn+φn−1)+b((1−φ)n+(1−φ)n−1){\displaystyle =a(\varphi ^{n}+\varphi ^{n-1})+b((1-\varphi )^{n}+(1-\varphi )^{n-1})}
=aφn+b(1−φ)n+aφn−1+b(1−φ)n−1{\displaystyle =a{\varphi ^{n}+b(1-\varphi )^{n}}+a{\varphi ^{n-1}+b(1-\varphi )^{n-1}}}
=Fa,b(n)+Fa,b(n−1){\displaystyle =F_{a,b}(n)+F_{a,b}(n-1)\,}

Bây giờ chọna=1/5{\displaystyle a=1/{\sqrt {5}}} vàb=−1/5{\displaystyle b=-1/{\sqrt {5}}}. Tiếp tuc:

Fa,b(0)=15−15=0{\displaystyle F_{a,b}(0)={\frac {1}{\sqrt {5}}}-{\frac {1}{\sqrt {5}}}=0\,\!}

và

Fa,b(1)=φ5−(1−φ)5=−1+2φ5=−1+(1+5)5=1,{\displaystyle F_{a,b}(1)={\frac {\varphi }{\sqrt {5}}}-{\frac {(1-\varphi )}{\sqrt {5}}}={\frac {-1+2\varphi }{\sqrt {5}}}={\frac {-1+(1+{\sqrt {5}})}{\sqrt {5}}}=1,}

những chứng minh ở trên chứng tỏ rằng

F(n)=φn−(1−φ)n5{\displaystyle F(n)={{\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}} \over {\sqrt {5}}}} với mọin.

Chú ý rằng, với hai giá trị khởi đầu bất kỳ củaa,b{\displaystyle a,b}, hàmFa,b(n){\displaystyle F_{a,b}(n)\,} là công thức tường minh cho một loạt các hệ thức truy hồi.

Giới hạn của thương kế tiếp

[sửa |sửa mã nguồn]

Johannes Kepler, đã chứng minh sự hội tụ sau:

F(n+1)F(n){\displaystyle {\frac {F(n+1)}{F(n)}}\,}hội tụ tớitỷ lệ vàngφ{\displaystyle \varphi } (phi)

Thực ra kết quả này đúng với mọi cặp giá trị khởi đầu, trừ (0, 0).

Từ công thức tường minh, ta có, với mọia≠0,b≠0{\displaystyle a\neq 0,b\neq 0}:

limn→∞Fa,b(n+1)Fa,b(n){\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{a,b}(n+1)}{F_{a,b}(n)}}}=limn→∞aφn+1−b(1−φ)n+1aφn−b(1−φ)n{\displaystyle =\lim _{n\to \infty }{\frac {a\varphi ^{n+1}-b(1-\varphi )^{n+1}}{a\varphi ^{n}-b(1-\varphi )^{n}}}}
=limn→∞aφ−b(1−φ)(1−φφ)na−b(1−φφ)n{\displaystyle =\lim _{n\to \infty }{\frac {a\varphi -b(1-\varphi )({\frac {1-\varphi }{\varphi }})^{n}}{a-b({\frac {1-\varphi }{\varphi }})^{n}}}}
=φ{\displaystyle =\varphi },

vì thế, như dễ dàng thấy,|1−φφ|<1{\displaystyle \left|{\frac {1-\varphi }{\varphi }}\right|<1} và như vậylimn→∞(1−φφ)n=0{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left({\frac {1-\varphi }{\varphi }}\right)^{n}=0}

Chứng minh

Phương pháp tính số

[sửa |sửa mã nguồn]

Việc giải một hệ thức truy hồi tổng quát dựa trên việcgiải phương trình đặc trưng của nó. Lấy ví dụ như, cho hệ thức truy hồi dạng an = c1an-1+ c2an-2 +... +ckan-k (1)

Khi đó nghiệm của hệ là r sẽ có dạng: rn = c1rn-1 + c2rn-2 +c3rn-3 +...+ckrn-k

Giải phương trình trên ta được các nghiệm phân biệt r1,r2,....,rn-1.Đồng thời ta có an=b1r1n +b2r2n +...+bn-1rn-1n (2)

Do vậy giải hệ phương trình (2) với a1,a2,.., an cho trước ta sẽ nhận được các giá trị b1,b2,...,bn-1, thay trở lại ta sẽ có phương trình tổng quát dành cho hệ thức truy hồi (1)

Biểu diễn ma trận

[sửa |sửa mã nguồn]

Từ hệ thức truy hồi ta có phương trìnhliên hệ lặp tuyến tính 2 chiều mô tả dãy Fibonacci là

(Fk+2Fk+1)=(1110)(Fk+1Fk){\displaystyle {F_{k+2} \choose F_{k+1}}={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}{F_{k+1} \choose F_{k}}}

có thể ký hiệu lại dưới dạng

F→k+1=AF→k,{\displaystyle {\vec {F}}_{k+1}=\mathbf {A} {\vec {F}}_{k},}

từ điều này suy ra:F→n=AnF→0{\displaystyle {\vec {F}}_{n}=\mathbf {A} ^{n}{\vec {F}}_{0}}. Cácgiá trị riêng của ma trậnA làφ=12(1+5){\displaystyle \varphi ={\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}})} và−φ−1=12(1−5){\displaystyle -\varphi ^{-1}={\frac {1}{2}}(1-{\sqrt {5}})} tương ứng với cácvectơ riêng

μ→=(φ1){\displaystyle {\vec {\mu }}={\varphi \choose 1}}

và

ν→=(−φ−11).{\displaystyle {\vec {\nu }}={-\varphi ^{-1} \choose 1}.}

Ta có vectơ của giá trị ban đầu có dạng

F→0=(10)=15μ→−15ν→,{\displaystyle {\vec {F}}_{0}={1 \choose 0}={\frac {1}{\sqrt {5}}}{\vec {\mu }}-{\frac {1}{\sqrt {5}}}{\vec {\nu }},}

suy ra biểu thức số hạng thứn là

F→n=15Anμ→−15Anν→=15φnμ→−15(−φ)−nν→ =15(1+52)n(φ1)−15(1−52)n(−φ−11),{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {F}}_{n}&={\frac {1}{\sqrt {5}}}A^{n}{\vec {\mu }}-{\frac {1}{\sqrt {5}}}A^{n}{\vec {\nu }}\\&={\frac {1}{\sqrt {5}}}\varphi ^{n}{\vec {\mu }}-{\frac {1}{\sqrt {5}}}(-\varphi )^{-n}{\vec {\nu }}~\\&={\cfrac {1}{\sqrt {5}}}\left({\cfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}{\varphi \choose 1}-{\cfrac {1}{\sqrt {5}}}\left({\cfrac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}{-\varphi ^{-1} \choose 1},\end{aligned}}}

Từ đây ta có thể trực tiếp rút rabiểu thức dạng đóng cho số hạng thứn trong dãy Fibonacci:

Fn=15(1+52)n−15(1−52)n.{\displaystyle F_{n}={\cfrac {1}{\sqrt {5}}}\left({\cfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-{\cfrac {1}{\sqrt {5}}}\left({\cfrac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}.}

Một cách tương đương, ta có thể tính toán ma trậnlũy thừa bằng cáchchéo hóa ma trậnA sử dụngphân tích riêng của nó, vớiΛ{\displaystyle \Lambda } là ma trận đường chéo:

A=SΛS−1,An=SΛnS−1,{\displaystyle {\begin{aligned}A&=S\Lambda S^{-1},\\A^{n}&=S\Lambda ^{n}S^{-1},\end{aligned}}}

trong đóΛ=(φ00−φ−1){\displaystyle \Lambda ={\begin{pmatrix}\varphi &0\\0&-\varphi ^{-1}\end{pmatrix}}} vàS=(φ−φ−111).{\displaystyle S={\begin{pmatrix}\varphi &-\varphi ^{-1}\\1&1\end{pmatrix}}.}

Vì vậy biểu thức dạng đóng cho số hạng thứn của dãy Fibonacci được cho bởi phương trình:

(Fn+1Fn)=An(F1F0)=SΛnS−1(F1F0)=S(φn00(−φ)−n)S−1(F1F0)=(φ−φ−111)(φn00(−φ)−n)15(1φ−1−1φ)(10),{\displaystyle {\begin{aligned}{F_{n+1} \choose F_{n}}&=A^{n}{F_{1} \choose F_{0}}\\&=S\Lambda ^{n}S^{-1}{F_{1} \choose F_{0}}\\&=S{\begin{pmatrix}\varphi ^{n}&0\\0&(-\varphi )^{-n}\end{pmatrix}}S^{-1}{F_{1} \choose F_{0}}\\&={\begin{pmatrix}\varphi &-\varphi ^{-1}\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\varphi ^{n}&0\\0&(-\varphi )^{-n}\end{pmatrix}}{\frac {1}{\sqrt {5}}}{\begin{pmatrix}1&\varphi ^{-1}\\-1&\varphi \end{pmatrix}}{1 \choose 0},\end{aligned}}}

thực hiện nhân ma trận, tiếp tục ta suy ra được công thức Binet

Fn=φn−(−φ)−n5.{\displaystyle F_{n}={\cfrac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}.}

Ma trậnA cóđịnh thức là −1, và vì thế nó là một ma trận 2×2 đơn môđun (unimodular). Một ma trận đơn môđun là ma trận vuông có định thức là 1 hoặc −1.

Tính chất này có thể được hiểu theo cách biểu diễnliên phân số cho tỉ lệ vàng:

φ=1+11+11+11+⋱.{\displaystyle \varphi =1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}.}

Các số Fibonacci chính là tỉ số giữa hai giản phân liên tiếp của liên phân số choφ, mà ma trận được tạo ra từ các giản phân liên tiếp của một phân số liên tục bất kỳ thì có định thức là +1 hoặc −1, vậy nó là ma trận đơn môđun. Ta có biểu diễn ma trận đưa ra biểu thức dạng đóng sau đây cho các số Fibonacci:

(1110)n=(Fn+1FnFnFn−1).{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1}\end{pmatrix}}.}

Lấy định thức cho hai vế của phương trình này, ta có đượcđẳng thức Cassini:

(−1)n=Fn+1Fn−1−Fn2.{\textstyle (-1)^{n}=F_{n+1}F_{n-1}-F_{n}^{2}.}

Hơn nữa, vìAnAm =An+m cho bất kỳ ma trận vuôngA, có thể suy ra các đẳng thức bên dưới (chúng được rút ra từ hai hệ số khác nhau của ma trận tích, dễ dàng suy ra đẳng thức thứ hai từ cái đầu tiên bằng cách thayn bởin + 1),

FmFn+Fm−1Fn−1=Fm+n−1,FmFn+1+Fm−1Fn=Fm+n.{\displaystyle {\begin{aligned}{F_{m}}{F_{n}}+{F_{m-1}}{F_{n-1}}&=F_{m+n-1},\\F_{m}F_{n+1}+F_{m-1}F_{n}&=F_{m+n}.\end{aligned}}}

cụ thể, vớim =n,

F2n−1=Fn2+Fn−12F2n=(Fn−1+Fn+1)Fn=(2Fn−1+Fn)Fn.{\displaystyle {\begin{aligned}F_{2n-1}&=F_{n}^{2}+F_{n-1}^{2}\\F_{2n}&=(F_{n-1}+F_{n+1})F_{n}\\&=(2F_{n-1}+F_{n})F_{n}.\end{aligned}}}

Hai đẳng thức cuối cùng cho ta một cách tínhđệ quy các số Fibonacci vớiO(log(n)) phép toán số học trong thời gianO(M(n) log(n)), trong đóM(n) là thời gian để thực hiệnphép nhân hai số cón chữ số. Thời gian tính toán số hạng thứn của dãy Fibonacci sử dụng công thức này tương tự như cách tính với biểu thức ma trận dạng đóng, nhưng với ít hơn các bước không cần thiết nếu cần phải tránh thực hiện việc tính toán lại một số Fibonacci đã được tính ra trước đó (đệ quy có nhớ).[1]

Các đẳng thức

[sửa |sửa mã nguồn]
F(n + 1) =F(n) +F(n − 1)
F(0) +F(1) +F(2) +... +F(n) =F(n + 2) − 1
F(1) + 2F(2) + 3F(3) +... +n F(n) =n F(n + 2) −F(n + 3) + 2

Chuỗi lũy thừa

[sửa |sửa mã nguồn]
[icon]
Phần nàycần được mở rộng. Bạn có thể giúp bằng cáchmở rộng nội dung của nó.

Tổng các nghịch đảo

[sửa |sửa mã nguồn]

Tổng vô hạn các nghịch đảo của các số Fibonacci có tính chất tương tự cáchàm theta.

Giá trị mang tênhằng số nghịch đảo Fibonacci

C=∑k=1∞1Fk=3.359885…{\displaystyle C=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{k}}}=3.359885\dots }

đã được chứng minh làsố vô tỷ bởiRichard André-Jeannin, nhưng chưa biết một biểu thức dạng chính xác của nó.

Tổng quát hóa

[sửa |sửa mã nguồn]

Mở rộng cho các số âm

[sửa |sửa mã nguồn]

DùngFn-2 =Fn -Fn-1, có thể mở rộng các số Fibonacci cho các chỉ số nguyên âm. Khi đó ta có:... -8, -5, -3, -2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8,... vàF-n = -(-1)nFn.

Không gian vectơ

[sửa |sửa mã nguồn]

Thuật ngữdãy Fibonacci cũng được dùng cho các hàmg từ tập các số nguyên tới một trườngF thoả mãng(n+2) =g(n) +g(n+1). Các hàm này có thể biểu diễn dưới dạng

g(n) =F(n)g(1) +F(n-1)g(0),

do vậy các dãy Fibonacci hình thành mộtkhông gian vectơ với hàmF(n) vàF(n-1) là một cơ sở.

Tổng quát hơn, giá trị củag có thể lấy trong mộtnhóm abel (xem như mộtz-module). Khi đó dãy Fibonacci là một Z-module 2 chiều.

Các dãy số nguyên tương tự

[sửa |sửa mã nguồn]

Các số Lucas

[sửa |sửa mã nguồn]

Đặc biệt, dãy FibonacciL vớiL(1) = 1 vàL(2) = 3 được gọi làsố Lucas, theo tên củaEdouard Lucas. Dãy Lucas đã đượcLeonhard Euler đề cập đến năm 1748, trongNhập môn giải tích vô hạn (Introductio in Analysin Infinitorum). Về ý nghĩa, các sô LucasL(n) là luỹ thừa bậcn củatỷ lệ vàng

(12(1+5))n=12(L(n)+F(n)5).{\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)\right)^{n}={\frac {1}{2}}\left(L(n)+F(n){\sqrt {5}}\right).}

Các số Lucas quan hệ với các số Fibonacci theo hệ thức

L(n)=F(n−1)+F(n+1).{\displaystyle L\left(n\right)=F\left(n-1\right)+F\left(n+1\right).\,}

Một tổng quát hoá của dãy Fibonacci là các dãy Lucas. Nó có thể định nghĩa như sau:

U(0) = 0
U(1) = 1
U(n + 2) =PU(n + 1) −QU(n)

trong đó dãy Fibonacci là trường hợp đặc biệt khiP = 1 vàQ = −1. Một dạng khác của các dãy Lucas bắt đầu vớiV(0) = 2,V(1) =P. Các dãy này có ứng dụng tronglý thuyết số đểkiểm tra tính nguyên tố.

Cácdãy Padovan là tương tự với hệ thức truy hồiP(n) =P(n − 2) +P(n − 3).

Các số Tribonacci

[sửa |sửa mã nguồn]

Cácsố tribonacci tương tự các số Fibonacci, nhưng thay vì khởi động với hai phần tử, dãy này khởi động với ba phân tử và mỗi số tiếp theo bằng tổng của ba phần tử đứng trước. Sau đây là một số sô tribonacci A000073:

0,0,1,1,2,4,7,13,24,44,81,149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, 66012, ...

Giá trị củahằng số tribonacci là tỷ số (tỷ lệ mà các số tribonacci liền kề có xu hướng). Nó là nghiệm của đa thứcx3 −x2 −x − 1, xấp xỉ 1.83929, và cũng thoả mãn phương trìnhx +x−3 = 2. Nó có vai trò quan trọng khi nghiên cứukhối snub.

Các số tribonacci cũng được cho bởi

T(n)=[3b(13(a++a−+1))nb2−2b+4]{\displaystyle T(n)=\left[3\,b{\frac {\left({\frac {1}{3}}\left(a_{+}+a_{-}+1\right)\right)^{n}}{b^{2}-2b+4}}\right]}

ở đây cặp dấu ngoặc vuông ngoài là ký hiệu của hàmphần nguyên và

a±=(19±333)1/3{\displaystyle a_{\pm }=\left(19\pm 3{\sqrt {33}}\right)^{1/3}}
b=(586+10233)1/3{\displaystyle b=\left(586+102{\sqrt {33}}\right)^{1/3}}

(Simon Plouffe, 1993).[1]Lưu trữ ngày 5 tháng 4 năm 2006 tạiWayback Machine

Các tổng quát hóa khác

[sửa |sửa mã nguồn]

Cácđa thức Fibonacci là một tổng quát hoá khác của dãy Fibonacci.

Mộtdãy Fibonacci ngẫu nhiên có thể xác định bằng việc ném đồng xu cho mỗin trong dãy và lấyF(n)=F(n−1)+F(n−2) nếu đồng xu sấp và lấyF(n)=F(n−1)−F(n−2) nếu đồng xu ngửa.

Có thể định nghĩa dãy "ngẫu nhiên Fibonacci" là dãy các sốfn xác định theo đệ quy

f0 = 1,f1 = 1, and
fn={fn−1+fn−2,with probability 0.5fn−1−fn−2,with probability 0.5{\displaystyle f_{n}=\left\{{\begin{matrix}f_{n-1}+f_{n-2},&{\mbox{with probability 0.5}}\\f_{n-1}-f_{n-2},&{\mbox{with probability 0.5}}\end{matrix}}\right.}

Hầu chắc chắn rằng căn bậcn của trị tuyệt đối của số hạng thứn hội tụ về một hằng số khin tăng vô hạn.

|fn|n→1.13198824… as n→∞.{\displaystyle {\sqrt[{n}]{|f_{n}|}}\to 1.13198824\dots {\mbox{ as }}n\to \infty .}

Số nguyên tố Fibonacci

[sửa |sửa mã nguồn]

Một số các số Fibonacci cũng là cácsố nguyên tố như: 2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229,....

Cácsố nguyên tố Fibonacci với hàng nghìn chữ số đã được tìm thấy, song vẫn chưa biết liệu có vô số các số như vậy không.[2]

Fkn chia hết bởiFn, do đó, ngoại trừF4 = 3, bất cứ số nguyên tố Fibonacci prime phải có chỉ số thứ tự cũng là số nguyên tố.

Không có số Fibonacci từF6 = 8 trở đi mà lớn hơn hay nhỏ hơn một so với số nguyên tố.[3]

Số Fibonacci duy nhấtchính phương không tầm thường là số 144.[4] Attila Pethő đã chứng minh trong 2001 chỉ có hữu hạn sốlũy thừa hoàn hảo Fibonacci.[5] Trong 2006, Y. Bugeaud, M. Mignotte, và S. Siksek đã chứng minh rằng chỉ duy nhất 8 và 144 là số lũy thừa hoàn hảo không tầm thường.[6]

Các xâu (ký tự) Fibonacci

[sửa |sửa mã nguồn]

Choxâu Fibonacci được định nghĩa đệ quy như sau:

Fn:=F(n):={bkhi n=0;akhi n=1;F(n−1)+F(n−2)khi n>1.{\displaystyle F_{n}:=F(n):={\begin{cases}b&{\mbox{khi }}n=0;\\a&{\mbox{khi }}n=1;\\F(n-1)+F(n-2)&{\mbox{khi }}n>1.\\\end{cases}}},

trong đó dấu "+" ký hiệu cho phép ghép hai xâu.

Hãy viết giải thuật (đệ quy hoặc phi đệ quy) tính độ dài xâu.

Hãy cho biết giá trị của chuỗi với n = 7

Dãy các xâu Fibonacci khởi đầu là:

b, a, ab, aba, abaab, abaababa, abaababaabaab, ...

Độ dài của mỗi xâu Fibonacci chính là số Fibonacci, và có một xâu Fibonacci tương ứng với mỗi số Fibonacci.

Các xâu Fibonacci cung cấp dữ liệu vào cho các minh dụ cho một vàithuật toán máy tính.

Số Fibonacci trong tự nhiên

[sửa |sửa mã nguồn]

Thực vật

[sửa |sửa mã nguồn]

Dãy Fibonacci xuất hiện ở khắp nơi trongthiên nhiên. Những chiếclá trên một nhành cây mọc cách nhau những khoảng tương ứng với dãy số Fibonacci.

Các số Fibonacci xuất hiện trong những bông hoa. Hầu hết các bông hoa có số cánh hoa là một trong các số: 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 hoặc 89.Hoa loa kèn có 3 cánh,Họ Mao lương có 5 cánh,phi yến thường có 8 cánh, hoacúc vạn thọ có 13 cánh, hoacúc tây có 21 cánh,hoa cúc thường có 34, hoặc 55 hoặc 89 cánh.

Nếu quan sát các 'mắt' trên vỏ của một trái thơm già, bạn có thể may mắn tìm thấy được số mắt trên 2 đường vòng cung chéo trên vỏ trái thơm là 2 số Fibonacci nào đó, thí dụ 13 và 21.

Các số Fibonacci tronghoa hướng dương. Những nụ nhỏ sẽ kết thành hạt ở đầu bông hoa hướng dương được xếp thành hai tập các hìnhxoắn ốc: một tập cuộn theo chiều kim đồng hồ, còn tập kia cuộn ngược theo chiều kim đồng hồ. Số các đường xoắn ốc hướng thuận chiều kim đồng hồ thường là 34 còn ngược chiều kim đồng hồ là 55. Đôi khi các số này là 55 và 89, và thậm chí là 89 và 144. Tất cả các số này đều là các số Fibonacci kết tiếp nhau (tỷ số của chúng tiến tớiTỷ lệ vàng)
Đầu hoacúc vạn thọ thể hiện sự sắp xếp theoxoắn ốc 21 (xanh lam) và 13 (xanh dương).
Hình minh họa mô hình Vogel cho n = 1 ... 500
Hoa loa kèn có 3 cánh

Xem thêm

[sửa |sửa mã nguồn]

Chú thích

[sửa |sửa mã nguồn]

Tham khảo

[sửa |sửa mã nguồn]
  1. ^Dijkstra, Edsger W. (1978),In honour of Fibonacci(PDF)
  2. ^Weisstein, Eric W., "Fibonacci Prime" từMathWorld.
  3. ^Honsberger, Ross (1985), "Mathematical Gems III",AMS Dolciani Mathematical Expositions (9): 133,ISBN 978-0-88385-318-4
  4. ^Cohn, J. H. E. (1964), "On square Fibonacci numbers",The Journal of the London Mathematical Society,39:537–540,doi:10.1112/jlms/s1-39.1.537,MR 0163867
  5. ^Pethő, Attila (2001), "Diophantine properties of linear recursive sequences II",Acta Mathematica Academiae Paedagogicae Nyíregyháziensis,17:81–96
  6. ^Bugeaud, Y; Mignotte, M; Siksek, S (2006), "Classical and modular approaches to exponential Diophantine equations. I. Fibonacci and Lucas perfect powers",Ann. Math.,2 (163):969–1018,arXiv:math/0403046,Bibcode:2004math......3046B,doi:10.4007/annals.2006.163.969,S2CID 10266596

Liên kết ngoài

[sửa |sửa mã nguồn]
  • Hrant Arakelian,Mathematics and History of the Golden Section. Logos (2014), 404 p.ISBN 978-5-98704-663-0, (rus.) 

Tiếng Việt

[sửa |sửa mã nguồn]

Tiếng Anh

[sửa |sửa mã nguồn]
Wikimedia Commons có thêm hình ảnh và phương tiện truyền tải vềDãy Fibonacci.
Tiêu đề chuẩnSửa dữ liệu tại Wikidata
Cácdãy vàchuỗi
Dãy số nguyên
Đơn giản
Nâng cao
Xoắn ốc Fibonacci với kích thước hình vuông lên đến 34.
Tính chất
của các dãy
Tính chất
của các chuỗi
Các chuỗi cụ thể
Hội tụ
Phân kỳ
Các loại chuỗi
Chuỗi siêu bội
Lấy từ “https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Dãy_Fibonacci&oldid=71996160”
Thể loại:
Thể loại ẩn:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp