| Một phần của chuỗi bài viết về |
| Cơ học cổ điển |
|---|
Cơ học Hamilton là một lý thuyết phát biểu lại củacơ học cổ điển và tiên đoán cùng kết quả như của cơ học cổ điển phi-Hamilton. Lý thuyết sử dụng hình thức luận toán học khác và đem lại cách hiểu trừu tượng hơn đối với cơ học cổ điển, mà về sau đóng góp vào cáchphát biểu toán học củacơ học lượng tử.
Cơ học Hamilton doWilliam Rowan Hamilton phát biểu lần đầu tiên vào năm 1833, xuất phát từcơ học Lagrange, một lý thuyết phát biểu lại trước đó của cơ học cổ điển doJoseph Louis Lagrange đưa ra vào năm 1788.
Trong cơ học Hamilton, một hệ vật lý cổ điển được miêu tả bằng một tập hợp cáctọa độ chính tắc (canonical coordinates), mà mỗi thành phần của tọa độ được đánh chỉ số theohệ quy chiếu của hệ.
Tiến hóa thời gian (time evolution) của hệ được xác định duy nhất bằng phương trình Hamilton:[1]
với làhàm Hamilton hayHamiltonian, mà tương ứng với tổng năng lượng của hệ.[2] Đối với hệ kín, nó là tổng củađộng năng vàthế năng trong hệ.
Trong cơ học Newton, sự thay đổi trạng thái của hệ theo thời gian (tiến hóa thời gian) nhận được bằng cách tính tổng lực đang tác dụng lên từng hạt trong hệ, và từđịnh luật hai Newton sẽ tính được sự thay đổi của vị trí và vận tốc. Ngược lại, trong cơ học Hamilton, sự tiến hóa theo thời gian nhận được bằng cách tính hàm Hamilton của hệ trongtọa độ suy rộng và đưa chúng vào phương trình Hamilton. Cách tiếp cận này là tương đương với cách sử dụng trong cơ học Lagrange. Thực chất, như chỉ ra bên dưới, cơ học Hamilton chính làbiến đổi Legendre của cơ học Lagrange, và do đó cả hai cách tiếp cận cho ra các phương trình như nhau đối với cùng động lượng suy rộng. Động lực chính khi sử dụng cơ học Hamilton thay vì cơ học Lagrange đến từ cấu trúcsymplectic củahệ Hamilton.
Ngoài những hệ đơn giản có thể được miêu tả bằng cơ học Hamilton như quả bóng căng, con lắc hay lò xo dao động trong đấy năng lượng thay đổi từ động năng sang thế năng và ngược lại theo thời gian, sức mạnh của cơ học Hamilton ở chỗ nó áp dụng cho những hệ có động lực phức tạp hơn, nhưquỹ đạo hành tinh tronglý thuyết nhiễu loạn củacơ học thiên thể.[3] Hệ càng có nhiềubậc tự do thì nó tiến hóa theo thời gian càng phức tạp, thậm chí trở thànhhỗn độn.
Một lý giải đơn giản về cơ học Hamilton đến từ ứng dụng của nó về hệ thống một chiều chứa một hạt khối lượngm. Hàm Hamilton (Hamiltonian) biểu diễn tổng năng lượng khép kín trong hệ,đó là tổng củađộng năng vàthế năng, thông thường được ký hiệu lần lượt làT vàV. Ở đâyq là tọa độ vàp là động lượng,mv. Khi đó
Chú ý rằngT là hàm chỉ chứap, trong khiV chỉ chứa biếnq (ví dụ,T vàV là các hàm dừng (scleronomic)).
Trong ví dụ này, đạo hàm theo thời gian của động lượngp bằnglực Newton,do vậy phương trình Hamilton thứ nhất có nghĩa là lực bằng trừgradien của thế năng. Đạo hàm theo thời gian của tọa độq chính là vận tốc của hạt, do vậy phương trình Hamilton thứ hai có nghĩa là vận tốc của hạt bằng đạo hàm của động năng hạt theo động lượng của nó.
{{Chú thích}}: Quản lý CS1: nhiều tên: danh sách tác giả (liên kết){{Chú thích}}:Đã bỏ qua tham số không rõ|book-title= (trợ giúp)